Exercice 1 Considérons un échantillon de n = 5 individus où chaque
Calculer les écarts types σj de chacune des variables. 4. Calculer la matrice Z des données centrées-réduites. 5. Calculer la matrice de variance-covariance Σ
Exercices corrigés
2. En déduire les lois marginales de U et V . 3. Calculer les matrices de covariance de [X Y ]t et de [U V ]t
Exercices
En général une matrice de variances-covariances inversible est la matrice d'un produit Les notations sont celles de l'exercice précédent. a) Pour quelle ...
Régression linéaire
vecteur aléatoire ˆβ ou matrice de variance-covariance
Corrigés des exercices
Exercice 4. Solution. 1 La matrice de variance-covariance est donnée par V =.. 0 01000 0
TD01- COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET
=2X – Y Montrer que (U
coefficient de corrélation Exercice 6 : Matrice de variance-covariance
Exercice 6 : Matrice de variance-covariance. En Matlab il y a une commande « cov » pour calculer la matrice de variance-covariance pour des réalisations des
Sciences de gestion - Synthèse de cours exercices corrigés
.... . La matrice de variance et de covariance de u est : Σu = E(uui) =..... σ2. 1 σ12. ··· σ1m σ21 σ2. 2. ··· σ2m ... ... ... .
Se familiariser avec les bases/notations Exercice 1. Soient une
Donnez la matrice de variance–covariance des variables indicatrices 1{kœS}. k = yk
Master 1 BEM MQEM T. D. n II . LACP pratique. Exercice n 1. Ent
2) Calculer la covariance entre x1 et x1. Que représente cette quantité? Exercice n? 2 ... et V la matrice de variance-covariance. Après calculs :.
Exercice 1 Considérons un échantillon de n = 5 individus où chaque
Calculer les écarts types ?j de chacune des variables. 4. Calculer la matrice Z des données centrées-réduites. 5. Calculer la matrice de variance-covariance ?
Exercices corrigés
Calculer la variance Var{X1} de X1 et la covariance Cov{X1X2} de (X1
Exercices et problèmes de statistique et probabilités
Corrigés des exercices . Chapitre 5 Estimateur sans biais de variance minimale . ... f) Matrice des variances-covariances. M(XY) =.
1 Matrice de covariance
Typiquement son espérance ou sa variance. Un estimateur de ? est une variable aléatoire ?? à valeurs dans Rd
Exercices
Les variances et les covariances sont toutes égales. ? La matrice de corrélation est de rang 2. ? L'angle entre deux variables vaut au maximum 2.
TD 1 : Se familiariser avec les bases/notations Exercice 1. Soient
Ce qui est logique puisque nous avons vu que le fi–estimateur était un estimateur sans biais ! Exercice 3. Soit la matrice de variance–covariance. = (k¸)k¸ des
Corrigés des exercices
Corrigés des exercices Note : Dans la note de l'exercice 1.1 on a établi que P(X < x) = FX(x ... La matrice des variances-covariances est :.
PC 5 – Calcul de lois & Vecteurs gaussiens
20 mai 2019 Exercice 1. ... Le calcul du déterminant de la matrice jacobienne donne ... matrice de variance-covariance est donnée par. Var(U) = Var.
coefficient de corrélation Exercice 6 : Matrice de variance-covariance
Vos prévisions sont-elles vérifiées ? Exercice 6 : Matrice de variance-covariance. En Matlab il y a une commande « cov » pour calculer la
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Calculer la matrice de variance-covariance ? de Z et la matrice de corrélation R de X Commenter 6 Effectuer une décomposition spectrale de la matrice de
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La fiche donne des énoncés d'exercices d'algèbre et d'analyse des données En général une matrice de variances-covariances inversible est la matrice
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Le lecteur trouvera ici les énoncés et corrigés des exercices proposés dans Calculer les matrices de covariance de [X Y ]t et de [U V ]t Solution
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Exercice 5 1 (Questions de cours) A A C B Exercice 5 2 (Analyse de la covariance) Nous avons pour le modèle complet la matrice suivante : X =
[PDF] Leçon 14 Exercices corrigés
Leçon 14 Exercices corrigés L'objet de l'exercice est d'obtenir un bon encadrement de la dans R3 de matrice de covariance
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Typiquement son espérance ou sa variance Un estimateur de ? est une variable aléatoire ?? à valeurs dans Rd qui dépend de X1 Xn Il est consistant
[PDF] CORRIGÉ
CORRIGÉ TD 9 : Régression linéaire Exercice 1 : On reprend l'exemple des 5 Calculs effectués pour variances et covariance : Var(x) = µ(x2 ) ? µ(x)
[PDF] Synthèse de cours exercices corrigés - ACCUEIL
Sciences de gestion Synthèse de cours Exercices corrigés Économétrie Q où Ln est la matrice de variance et de covariance de u (?u = Ln)(3) et où Q
Comment trouver la matrice des variances covariances ?
D'ailleurs, la covariance d'une variable avec elle-même (autocovariance) est tout simplement la variance. Cov(X,X) = V(X). Donc, faisons un parallèle avec le théorème de König : la covariance est la moyenne du produit des valeurs de deux variables moins le produit des deux moyennes.Comment montrer qu'une matrice est une matrice de covariance ?
Propriétés de la matrice de covariance
La matrice de covariance est symétrique ; ses éléments diagonaux sont les variances et les éléments extra-diagonaux sont les covariances des couples de variables. La matrice de covariance est semi-définie positive (ses valeurs propres sont positives ou nulles).Comment Calculer COV ?
On calcule Cov( ? X , ? Y ) = E( ? X ? Y ) ? E( ? X ) E( ? Y ) = ? ? E( X Y ) ? ? ? E( X ) E( Y ).- En termes simples, les deux termes mesurent la relation et la dépendance entre deux variables. “Covariance” = la direction de la relation linéaire entre les variables. La “corrélation”, en revanche, mesure à la fois la force et le sens de la relation linéaire entre deux variables.
Exercices et problèmes
de statistique et probabilitésThérèse Phan
Jean-Pierre Rowenczyk
2 eédition
doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) 2012/4/27 14:21 page i #1Illustration de couverture :
digitalvision© Dunod, Paris, 2012
ISBN 978-2-10-056298-5
doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) 2012/4/27 14:21 page ii #2Table des matières
Avertissementvii
Chapitre 1 Probabilités....................................................... 1 Rappel de cours............................................................ 11.1 Rappels de Mathématiques.................................................... 1
1.2 Axiomes du calcul des probabilités............................................. 2
1.3 Notion de variable aléatoire.................................................... 3
1.4 Moments d"une variable aléatoire............................................. 4
1.5 Variables à deux dimensions................................................... 7
1.6 Indépendance de deux variables aléatoiresXetY.............................. 9
1.7 Probabilités individuelles....................................................... 9
1.8 Lois de la somme de variables indépendantes connues.......................... 10
Énoncés des exercices...................................................... 11 Énoncés des problèmes.................................................... 13 Du mal à démarrer ? ...................................................... 14 Corrigésdesexercices...................................................... 15 Corrigésdesproblèmes.................................................... 23 Chapitre 2 Convergences et échantillonnage................................ 29 Rappel de cours............................................................ 292.1 Lois statistiques............................................................... 29
2.2 Propriétés..................................................................... 29
2.3 Échantillon gaussien........................................................... 30
2.4 Convergences................................................................. 30
Énonces des exercices...................................................... 32Dunod - La photocopie non autorisée est un délit
doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) 2012/4/27 14:21 page iii #3∞ ivTable des matières Énoncés des problèmes.................................................... 34 Du mal à démarrer ? ...................................................... 36 Corrigésdesexercices...................................................... 36 Corrigésdesproblèmes.................................................... 41 Chapitre 3 Estimation ponctuelle............................................ 49 Rappel de cours............................................................ 493.1 Échantillonnage............................................................... 49
3.2 Estimation statistique.......................................................... 50
3.3 Éléments de théorie de la décision............................................. 51
Énoncés des exercices...................................................... 52 Énoncés des problèmes.................................................... 54 Du mal à démarrer ? ...................................................... 55 Corrigésdesexercices...................................................... 56 Corrigésdesproblèmes.................................................... 64 Chapitre 4 Information et exhaustivité...................................... 71 Rappel de cours............................................................ 714.1 Éléments de théorie de l"information........................................... 71
4.2 Méthode du maximum de vraisemblance....................................... 73
Énoncés des exercices...................................................... 74 Énoncés des problèmes.................................................... 76 Du mal à démarrer ? ...................................................... 78 Corrigésdesexercices...................................................... 79 Corrigésdesproblèmes.................................................... 88 Chapitre 5 Estimateur sans biais de variance minimale..................... 97 Rappel de cours............................................................ 975.1 Théorème..................................................................... 97doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) 2012/4/27 14:21 page iv #4
Table des matièresv
5.2 Théorème de Rao - Blackwell.................................................. 97
5.3 Théorème de Lehmann-Scheffe................................................ 97
Énoncés des exercices...................................................... 98 Enoncés des problèmes.................................................... 102 Du mal à démarrer ? ...................................................... 106 Corrigésdesexercices...................................................... 107 Corrigésdesproblèmes.................................................... 119 Chapitre 6 Intervalles de conance.......................................... 131 Rappel de cours............................................................ 1316.1 Définition d"un intervalle de confiance.......................................... 131
6.2 Intervalles de confiance pour des paramètres de lois normales................... 131
6.3 Intervalles de confiance pour les paramètres d"une loi inconnue................. 134
6.4 Intervalles de confiance pour une proportion................................... 135
Énoncés des exercices...................................................... 135 Énoncés des problèmes.................................................... 139 Du mal à démarrer ? ...................................................... 146 Corrigésdesexercices...................................................... 147 Corrigésdesproblèmes.................................................... 160 Chapitre 7 Tests paramétriques.............................................. 177 Rappel de cours............................................................ 1777.1 Définition générale d"un problème de test...................................... 177
7.2 Théorie de la décision......................................................... 178
7.3 Notion de risque.............................................................. 179
7.4 Théorème de Neyman et Pearson.............................................. 179
Énoncés des exercices...................................................... 180 Énoncés des problèmes.................................................... 185 Du mal à démarrer ? ...................................................... 188 Dunod - La photocopie non autorisée est un délit "doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) - 2012/4/27 - 14:21 - page v - #5? viTable des matières Corrigésdesexercices...................................................... 189 Corrigésdesproblèmes.................................................... 212 Chapitre 8 Tests d"adéquation et tests d"indépendance..................... 223 Rappel de cours............................................................ 2238.1 Test d"adéquation............................................................. 223
8.2 Test d"indépendance........................................................... 224
Énoncés des Problèmes sur les tests non paramétriques d"adéquation.... 227 Énoncés des Problèmes sur les tests non paramétriques d"indépendance. 229 Du mal à démarrer ? ...................................................... 229 Corrigésdesproblèmes.................................................... 230 Chapitre 9 Analyse de la variance (ou ANOVA) à un seul facteur........... 245 Rappel de cours............................................................ 2459.1 Hypothèses................................................................... 245
9.2 Position du test ANOVA....................................................... 245
9.1 Observations réalisées................................................ 246
9.1 Décomposition de la variance totale............................................ 246
9.2 Principe de l"ANOVA........................................................... 247
9.3 Calcul de la constanteC....................................................... 248
9.4 Comparaison des variancess
2i de chaque population........................... 2499.5 Mode opératoire pour l"ANOVA................................................ 250
Énoncé du problème....................................................... 251 Du mal à démarrer ? ...................................................... 252 Corrigéduproblème...................................................... 252Index255
doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) 2012/4/27 14:21 page vi #6Avertissement
Cet ouvrage est destiné aux étudiants de Licence, de première année des Grandes Écoles d"ingé-
nieurs, de commerce et de gestion ou d"Institut Universitaires de Technologie désireux d"appré-
hender les concepts et les notions de base de la statistique.Il peut être utile à tous ceux qui seraient désireux d"acquérir ou de revoir les notions opérationnelles
des méthodes de base de la statistique. Cet ouvrage comporte des rappels de cours sans démonstrations, des exercices classiques dedifcultés progressives (le niveau de difculté est repéré par un nombre d"étoiles), ainsi que des
problèmes plus complexes permettant d"aborder des cas concrets d"utilisation de la statistique dans
différents domaines d"application. Il est découpé en chapitres mais il comporte fondamentalement
deux grandes parties : €Une première partie concerne le calcul des probabilitésBien que comportant des rappels de cours relativement complets, nous avons choisi, délibéré-
ment, de ne proposer dans cette partie, que des exercices abordant des notions et des calculs deprobabilité qui sont utilisés en statistique : Théorème Central-Limite (ou théorème de la limite
centrale), Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi normale, du Khi-deux,
de Student, de Fisher...)Nous avons donc évité de proposer des exercices de probabilités calculatoires classiques (exer-
cices utilisant la combinatoire, calcul de paramètres de lois de probabilités...). Pour cette raison, avant d"aborder les chapitres de statistique, nous conseillons vivement aulecteur, de se reporter, en cas de besoin, aux ouvrages spécialisés, an de revoir ou de compléter
leurs connaissances en matière de calcul des probabilités.€Une deuxième partie est consacrée à l"étude des trois méthodes de base utilisées en statistique :
L"estimation ponctuelle
L"estimation par intervalle
Les tests d"hypothèse
Les chapitres concernant l"estimation ponctuelle permette d"aborder les notions essentielles permettant d"étudier les estimateurs de paramètres réels de lois de probabilités. Néanmoins, ces chapitres proposent quelques exemples d"estimation de paramètres vectoriels.Les chapitres consacrés à l"estimation par intervalle proposent un éventail large d"exercices
différents, permettant d"appréhender la plupart des cas concrets rencontrés dans les différents
domaines utilisant la statistique.Les chapitres consacrés aux tests d"hypothèses sont essentiellement consacrés à l"étude des
tests paramétriques dans le cas d"hypothèses simples et à l"étude de deux types de tests non
paramétriques, les tests d"ajustement et les tests d"indépendance.Les différents chapitres proposent toujours la même organisation : les énoncés, puis une rubrique
" Du mal à démarrer », et enn, les corrigés des exercices proposés. Chaque corrigé propose, en outre, un bilan " ce qu"il faut retenir ». Dunod - La photocopie non autorisée est un délit doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) 2012/4/27 14:21 page vii #7Remerciements
Nous tenons, tout d"abord à exprimer toute notre gratitude à nos collègues de l"École Centrale de
Paris et de l"École Spéciale des Travaux Publics, pour nous avoir incités à élaborer cet ouvrage et
pour nous avoir fourni de nombreux conseils de rédaction. En particulier, nous tenons à remercier, Alain MARRET et Michel LUCIEN, pour leur apport lors de l"élaboration du contenu de cet ouvrage. Nos remerciements vont ensuite à Franck PHAN, pour son aide précieuse pour l"utilisation de Latex et donc de la réalisation de la maquette de cet ouvrage. Enn, nous tenons également à remercier vivement les Éditions DUNOD, Anne Bourguignon etBenjamin Peylet, pour leur accueil, leur compétence et leur grande compréhension au cours de la
réalisation de cet ouvrage.Thérèse PHANetJean-Pierre ROWENCZYK
doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) 2012/4/27 14:21 page viii #8 1Probabilités
RAPPEL DE COURS
1.1 Rappels de Mathématiques
a) Opérations sur les ensembles SoitVun ensemble etA,B... des parties deV.SiAdésigne le complémentaire deAdansV, alors nous avons :A∞A=V
A∞B=A?B
A∞B=(A?B)∞(A?B)∞(A?B)
A→∞
i (A?B i ?si les évènementsB i sont incompatibles entre eux ?et siV→∞ i B i b) Analyse combinatoireNous rappellons ici quelques résultats :
Nombre d"arrangements depobjets pris parminavec répétition pn =n p Nombre d"arrangements depobjets pris parminsans répétition A pn =n(n-1)...(n-p+1)=n! (n-p)! Nombre de combinaisons depobjets pris parminavec répétition K pn =C p n+p1 Nombre de combinaisons depobjets pris parminsans répétition C pn =n! p!(n-p)!=A pn p!Nombre de permutations denobjets
Per(n)=n!
doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) 2012/4/27 14:21 page 1 #9 21Probabilités
1.2 Axiomes du calcul des probabilités
a) GénéralitésLa théorie des probabilités repose sur l"étude de phénomènes aléatoires. Une expérience est dite
aléatoire si on ne peut pas prévoir son résultat et si répétée dans les mêmes conditions, elle peut
donner des résultats différents. Les résultats possibles de cette expérience constituent l"ensemble
fondamentalV. Un événement aléatoire est une assertion relative au résultat de l"expérience.
On identifie usuellement l"événement aléatoire et la partie deVpour laquelle cet événement est
réalisé. Si P est une probabilité définie surV,etsiAetBsont deux parties deV,ona:P(∞)=0etP(V)=1
P(A)=1P(A)
P(A?B)=P(A)+P(B)P(A∂B)
P(A?B)=P(A)+P(B)siA∩B=
b) Probabilités conditionnellesOn définit la probabilité conditionnelle de l"événementAsachant que l"événementBest réalisé,
par :P(A/B)=P(A∂B)
P(B) c) Formule de décompositionSi l"ensemble des partiesU
j deVforme un système complet d"événements, c"est-à-dire si lesU j sont indépendants et si leur réunion formeVtout entier, alors : P(A)= n j=1 P(A/U j )P(U j d) Indépendance de deux événementsAetBindépendantsP(A∂B)=P(A)P(B)
e) Probabilités des causes ou probabilités de BAYESP(A/B)=P(A∂B)
P(B)=P(B/A)P(A)P(B)
Si l"ensemble des partiesA
i deVforme un système complet d"événements, P(A k /B)=P(B/A k )P(A k i P(B/A i )P(A i doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) 2012/4/27 14:21 page 2 #10Rappel de cours3
1.3 Notion de variable aléatoire
Lorsque l"ensemble fondamentalVest tout ou partie de l"ensemble des réelsR, le conceptd"événement aléatoire est remplacé par celui de variable aléatoire. On distingue usuellement :
1.les variables aléatoires discrètes pour lesquelles l"ensembleVest un ensemble discret de valeurs
numériques (par exempleNensemble des entiers naturels) 2. les variables aléatoires continues pour lesquelles l"ensembleVest un intervalle deRouRtout entier. a) Fonction de répartitionOn appelle " Fonction de répartition d"une variable aléatoire X » l"application F deRdans[0,1]
définie par :F(x)=P(X b) Variable aléatoire discrète On définit la probabilité attachée en un pointxdu domaine de définition de la variable aléatoireXdiscrète par : P(X=x)
Fonction de répartition deX:
F(x)=P(X tP(X=t)
c) Variable aléatoire continue On dit que la variable aléatoireXde fonction de répartitionFest continue si on peut définir une fonction densité de probabilitéfdeXvérifiant : f(x)=F (x)ouF(x)=→ x f(t)dt La probabilité attachée au segment [a,b] est alors : P[aXb]=→
b a f(x)dx=F(b)F(a) d) Formule de changement de variables €Cas discret p y =P(Y=y)=P(Xw 1quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
P(X=x)
Fonction de répartition deX:
F(x)=P(X tP(X=t)
c) Variable aléatoire continue On dit que la variable aléatoireXde fonction de répartitionFest continue si on peut définir une fonction densité de probabilitéfdeXvérifiant : f(x)=F (x)ouF(x)=→ x f(t)dt La probabilité attachée au segment [a,b] est alors : P[aXb]=→
b a f(x)dx=F(b)F(a) d) Formule de changement de variables €Cas discret p y =P(Y=y)=P(Xw 1quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] exercice aire et périmètre 3eme
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[PDF] figures isométriques exercices
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