Ensemble de points- Lieu de points Objectif
1 avr. 2014 Des points fixes sont donnés. M est un point du plan caractérisé par une relation r (géométrique analytique
APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE
Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire L'ensemble ? est le cercle de centre le point de coordonnées (1 ; 5) et de rayon 3.
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Méthode. Calculer des produits scalaires. Sur la figure ci-contre ABCD est un rectangle tel que On appelle ? l'ensemble des points M du plan tels que.
Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Déterminer l'ensemble des points M(x ;y ;z) de l'espace qui vérifient :.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal . Exemple : Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une
5. Produit scalaire de deux vecteurs
b) Autre méthode basée sur le produit scalaire : la droite d peut être vue comme l'ensemble des points P(x
Cours doptimisation
Addition de POINTS ensemble possible mais on s'interdira de le faire. 1.2. Vecteurs : Norme et Produit scalaire. 1.2.1. La norme.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
On en déduit que est le point du plan le plus proche du point . Méthode : Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à un
PRODUIT SCALAIRE (Partie 2)
Méthode : Calculer un produit scalaire par projection Propriété : L'ensemble des points M vérifiant l'égalité &&&&&&?.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
d passant par et de vecteur directeur {? est l'ensemble des points tels Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité.
Produit scalaire – Fiche de cours
3 Lieux de points - Lignes de niveaux Résoudre une ligne de niveau de valeur le réel k consiste à caractériser l’ensemble des points M du plan tel que f(M)=k Exemple : ?AB??AM=100 2/2 Produit scalaire – Fiche de cours Mathématiques Première générale - Année scolaire 2019/2020 https://physique-et-maths
PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan ) - Pierre Lux
PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877) ci-contre Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et
PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE - maths et tiques
Définition : Soit un point A et une droite d de l’espace La projection orthogonale de A sur d est le point H appartenant à d tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à la droite d 2) Projection orthogonale d’un point sur un plan Définition : Soit un point A et un plan P de l’espace
PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan ) - Pierre Lux
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment où O A et B sont trois points du plan tels que ?u=?OA et ?v=?OB H est le projeté orthogonal de B sur (OA) d ?u??v=?OA??OB={OA×OH ?OA×OH si ?OA et ?OH sont de même sens
ème Maths Chapitre : Produit scalaire:Ensemble points ww
Produit scalaire 2 Correction: I) A/ MA MB 0 c’est le cercle de diamètre [AB] B/ AM AB 0 L’ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A C/ AM AB 24 Soit H le point de (AB) tel que AH AB 24 On a AH AB AM AB donc AH AB AM AB 0 donc AB AH AM ( ) 0 donc ABMH 0
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Ces propriétés permettent d’effectuer des opérations sur le produit scalaire comme le produit et la somme de quantités algébriques C’est une sorte de distributivité Propriété : On a les propriétés suivantes : Q? et R sont colinéaires de même sens ? Q? R =? Q? ?×? R ?
Comment calculer le produit scalaire d’un vecteur ?
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment. où O , A et B sont trois points du plan tels que ?u=?OA et ?v=?OB . H est le projeté orthogonal de B sur (OA) d ?u??v=?OA??OB={OA×OH ?OA×OH si ?OAet ?OHsont de même sens si ?OAet ?OHsont de sens contraire
Qu'est-ce que le produit scalaire?
PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton(1805 ; 1865) en 1853.
Comment calculer le signe du produit scalaire ?
B ) REMARQUES - Signe du produit scalaire : On déduit facilement le signe du produit scalaire ?OA??OB suivant la nature de l’angle ^AOB. En effet les normes des deux vecteurs ?OA et ?OB sont positives . On en déduit donc que ?OA??OB est du signe de cos^AOB. 0?^AOB< ? 2 ^AOB=? 2 ? 2 0 ?OA??OB=0 ?OA??OB
Ensemble de points- Lieu de points
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie IndexObjectif : .................................................................................................................................................... 1
Quelques exemples déjà connus ................................................................................................................ 1
Exemple 1 ............................................................................................................................................. 1
Exemple 2 ............................................................................................................................................. 1
Exemple 3 ............................................................................................................................................. 1
Quelques modèles à partir du produit scalaire .......................................................................................... 2
Exemple 1 ............................................................................................................................................. 2
Exemple 2 ............................................................................................................................................. 2
Exemple 3 ............................................................................................................................................. 2
Exemple 4 ............................................................................................................................................. 2
Objectif :
Des points fixes sont donnés.
M est un point du plan caractérisé par une relation r (géométrique, analytique, longueur, produit scalaire,
équation, ...).
On cherche l'ensemble e des points M du plan (tous et seulement eux) vérifiant cette relation r. Autrement dit : M ∈ e si et seulement si r est vraie.Quelques exemples déjà connus
Vous connaissez quelques cas depuis longtemps (et même plus!)Exemple 1
a) A est donné, quel est l'ensemble des points M du plan tels que AM = 3 ? Cercle de centre A et de rayon 3. AM = 3 si et seulement si M ∈ c(A, 3) b) A est donné, quel est l'ensemble des points M du plan tels que AM = 0 ? Le point A. AM = 0 si et seulement si M = A. c) A est donné, quel est l'ensemble des points M du plan tels que AM = -1 ? L'ensemble vide. On note : ∅ l'ensemble vide.Exemple 2
a) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AB et ⃗AM sont colinéaires ?Droite (AB).
⃗AB et ⃗AM sont colinéaires si et seulement si M ∈ (AB). b) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AB et ⃗AM sont orthogonaux ?Droite perpendiculaire à (AB) en A.
⃗AB et ⃗AM sont orthogonaux si et seulement si M ∈ avec A ∈ et ⊥ (AB). c) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AM et ⃗BM sont orthogonaux ?" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »
Jørn Riel in La maison de mes pères
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Ensemble de points- Lieu de points
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieCercle de diamètre [AB]. ⃗AM et ⃗BM sont orthogonaux si et seulement si M
appartient au cercle de diamètre [AB]d) A et B sont donnés et distincts, et I milieu de [AB], quel est l'ensemble des points M du plan tels que
⃗AB et ⃗IM sont orthogonaux ? Médiatrice de [AB] I milieu de [AB] et ⃗AB et ⃗IM sont orthogonaux si et seulement siM appartient à la médiatrice de [AB].
Exemple 3
Dans un repère du plan, quel est l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que a) 2x - y + 5 = 0Droite d'équation 2x - y + 5 = 0 (ou y = 2x + 5 = 0) ou droite passant par A(0 ; 5) et B(1 ; 7) ou ....
b) y = (x - 1)² + 2 Parabole d'équation y = (x - 1)² + 2, sommet S(1 ; 2), .... c) xy = 1Hyperbole d'équation y =
1 x (les asymptotes sont les axes de coordonnées) d) x = 5 Droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par A(5 ; 0) e) y = -1 Droite parallèle à l'axe des abscisses passant par A(0 ; -1) f) {2x+y=4 x-y=5Le point de coordonnées (3 ; -2).
Quelques modèles à partir du produit scalaire Dans ces quatre exemples, [AB] est un segment de longueur 4 et I est le milieu de [AB].Exemple 1
a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 26 ?On sait que MA² + MB² =
⃗MA² + ⃗MB² (c'est grâce à cette égalité que l'on peut passer des longueurs au
produit scalaire). Or, ⃗MA² = (⃗MI+⃗IA)² = ⃗MI² + ⃗IA² + 2⋅⃗MI⋅⃗IA et⃗MB² = (⃗MI+⃗IB)² = ⃗MI² + ⃗IB² + 2⋅⃗MI⋅⃗IBI, étant le milieu de [AB], on sait :
⃗IB = -⃗IA = 12⃗AB (ou encore : ⃗IA+⃗IB = ⃗0)
La somme : MA² + MB² =
⃗MA² + ⃗MB²⃗MI² + ⃗IA² + 2⋅⃗MI⋅⃗IA + ⃗MI² + (-⃗IA)2 - 2⋅⃗MI⋅⃗IA
" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »
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Ensemble de points- Lieu de points
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie On en déduit donc : MA² + MB² = 2MI² + 2.IA² = 2MI² + AB22 (Dans le deuxième membre, l'inconnu
(point M) n'apparaît qu'une seule fois.) La recherche de l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 26 revient à celle de l'ensemble des points M du plan tels que 2MI² + 2.IA² = 26. Avec les données numériques : IA = 2, donc : 2MI² = 26 - 2×4 = 18MI² = 9
et comme MI est une longueur, seule la solution positive est acceptable : MI = 3L'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 26 est l'ensemble des points M du plan tels que MI = 3.
Conclusion : L'ensemble est le cercle de centre I et de rayon 3. b) Cas général : Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = k ?La démarche précédente s'applique ...
MA² + MB² = k ⇔ 2MI² +
AB22 = k ⇔ 2MI² = k -
AB22Si k - AB2
2 < 0 alors l'ensemble cherché est l'ensemble vide.
Si k -
AB22 = 0 alors l'ensemble cherché est réduit au seul point I.
Si k - AB2
2 > 0 alors l'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon :
2.Exemple 2
a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗MA⋅⃗MB = 5 ? ⃗MA = ⃗MI+⃗IA et ⃗MB = ⃗MI+⃗IB = ⃗MI-⃗IA.⃗MA⋅⃗MB = (⃗MI+⃗IA)(⃗MI-⃗IA) = ⃗MI² - ⃗IA² = MI² - AB2
4. (Dans le dernier membre, l'inconnu (point M)
n'apparaît qu'une seule fois.) ⃗MA⋅⃗MB = 5 ⇔ MI² - AB24 = 5.
Comme AB = 4, on cherche l'ensemble des points M du plan tels que MI = 3. (Voir cas précédent).
Conclusion : L'ensemble est le cercle de centre I et de rayon 3. b) Cas général :Quel est l'ensemble des points M du plan tels que
⃗MA⋅⃗MB = k ?La démarche précédente s'applique ...
" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »
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Ensemble de points- Lieu de points
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie ⃗MA⋅⃗MB = 5 ⇔ MI² - AB24 = k ⇔ MI² = k +
AB2 4.Si k + AB2
4 < 0 alors l'ensemble cherché est l'ensemble vide.
Si k +
AB24 = 0 alors l'ensemble cherché est réduit au seul point I.
Si k + AB2
4 > 0 alors l'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon :
2Exemple 3
a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AB⋅⃗AM = 6 ? b) Cas général :Quel est l'ensemble des points M du plan tels que
⃗AB⋅⃗AM = k ?La démarche s'applique ...
Exemple 4
a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² - MB² = 8 ? b) Cas général : Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² - MB² = k ?" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »
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