[PDF] Ensemble de points- Lieu de points Objectif





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Ensemble de points- Lieu de points Objectif

1 avr. 2014 Des points fixes sont donnés. M est un point du plan caractérisé par une relation r (géométrique analytique



APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire L'ensemble ? est le cercle de centre le point de coordonnées (1 ; 5) et de rayon 3.



Calcul vectoriel – Produit scalaire

Méthode. Calculer des produits scalaires. Sur la figure ci-contre ABCD est un rectangle tel que On appelle ? l'ensemble des points M du plan tels que.



Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Déterminer l'ensemble des points M(x ;y ;z) de l'espace qui vérifient :.



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal . Exemple : Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une 



5. Produit scalaire de deux vecteurs

b) Autre méthode basée sur le produit scalaire : la droite d peut être vue comme l'ensemble des points P(x



Cours doptimisation

Addition de POINTS ensemble possible mais on s'interdira de le faire. 1.2. Vecteurs : Norme et Produit scalaire. 1.2.1. La norme.



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

On en déduit que est le point du plan le plus proche du point . Méthode : Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à un 



PRODUIT SCALAIRE (Partie 2)

Méthode : Calculer un produit scalaire par projection Propriété : L'ensemble des points M vérifiant l'égalité &&&&&&?.



VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

d passant par et de vecteur directeur {? est l'ensemble des points tels Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité.



Produit scalaire – Fiche de cours

3 Lieux de points - Lignes de niveaux Résoudre une ligne de niveau de valeur le réel k consiste à caractériser l’ensemble des points M du plan tel que f(M)=k Exemple : ?AB??AM=100 2/2 Produit scalaire – Fiche de cours Mathématiques Première générale - Année scolaire 2019/2020 https://physique-et-maths



PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan ) - Pierre Lux

PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877) ci-contre Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et



PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE - maths et tiques

Définition : Soit un point A et une droite d de l’espace La projection orthogonale de A sur d est le point H appartenant à d tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à la droite d 2) Projection orthogonale d’un point sur un plan Définition : Soit un point A et un plan P de l’espace



PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan ) - Pierre Lux

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment où O A et B sont trois points du plan tels que ?u=?OA et ?v=?OB H est le projeté orthogonal de B sur (OA) d ?u??v=?OA??OB={OA×OH ?OA×OH si ?OA et ?OH sont de même sens



ème Maths Chapitre : Produit scalaire:Ensemble points ww

Produit scalaire 2 Correction: I) A/ MA MB 0 c’est le cercle de diamètre [AB] B/ AM AB 0 L’ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A C/ AM AB 24 Soit H le point de (AB) tel que AH AB 24 On a AH AB AM AB donc AH AB AM AB 0 donc AB AH AM ( ) 0 donc ABMH 0



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Ces propriétés permettent d’effectuer des opérations sur le produit scalaire comme le produit et la somme de quantités algébriques C’est une sorte de distributivité Propriété : On a les propriétés suivantes : Q? et R sont colinéaires de même sens ? Q? R =? Q? ?×? R ?

Comment calculer le produit scalaire d’un vecteur ?

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment. où O , A et B sont trois points du plan tels que ?u=?OA et ?v=?OB . H est le projeté orthogonal de B sur (OA) d ?u??v=?OA??OB={OA×OH ?OA×OH si ?OAet ?OHsont de même sens si ?OAet ?OHsont de sens contraire

Qu'est-ce que le produit scalaire?

PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton(1805 ; 1865) en 1853.

Comment calculer le signe du produit scalaire ?

B ) REMARQUES - Signe du produit scalaire : On déduit facilement le signe du produit scalaire ?OA??OB suivant la nature de l’angle ^AOB. En effet les normes des deux vecteurs ?OA et ?OB sont positives . On en déduit donc que ?OA??OB est du signe de cos^AOB. 0?^AOB< ? 2 ^AOB=? 2 ? 2 0 ?OA??OB=0 ?OA??OB

Ensemble de points- Lieu de points

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie Index

Objectif : .................................................................................................................................................... 1

Quelques exemples déjà connus ................................................................................................................ 1

Exemple 1 ............................................................................................................................................. 1

Exemple 2 ............................................................................................................................................. 1

Exemple 3 ............................................................................................................................................. 1

Quelques modèles à partir du produit scalaire .......................................................................................... 2

Exemple 1 ............................................................................................................................................. 2

Exemple 2 ............................................................................................................................................. 2

Exemple 3 ............................................................................................................................................. 2

Exemple 4 ............................................................................................................................................. 2

Objectif :

Des points fixes sont donnés.

M est un point du plan caractérisé par une relation r (géométrique, analytique, longueur, produit scalaire,

équation, ...).

On cherche l'ensemble e des points M du plan (tous et seulement eux) vérifiant cette relation r. Autrement dit : M ∈ e si et seulement si r est vraie.

Quelques exemples déjà connus

Vous connaissez quelques cas depuis longtemps (et même plus!)

Exemple 1

a) A est donné, quel est l'ensemble des points M du plan tels que AM = 3 ? Cercle de centre A et de rayon 3. AM = 3 si et seulement si M ∈ c(A, 3) b) A est donné, quel est l'ensemble des points M du plan tels que AM = 0 ? Le point A. AM = 0 si et seulement si M = A. c) A est donné, quel est l'ensemble des points M du plan tels que AM = -1 ? L'ensemble vide. On note : ∅ l'ensemble vide.

Exemple 2

a) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AB et ⃗AM sont colinéaires ?

Droite (AB).

⃗AB et ⃗AM sont colinéaires si et seulement si M ∈ (AB). b) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AB et ⃗AM sont orthogonaux ?

Droite perpendiculaire à (AB) en A.

⃗AB et ⃗AM sont orthogonaux si et seulement si M ∈  avec A ∈  et  ⊥ (AB). c) A et B sont donnés et distincts, quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AM et ⃗BM sont orthogonaux ?

" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »

Jørn Riel in La maison de mes pères

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Ensemble de points- Lieu de points

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie

Cercle de diamètre [AB]. ⃗AM et ⃗BM sont orthogonaux si et seulement si M

appartient au cercle de diamètre [AB]

d) A et B sont donnés et distincts, et I milieu de [AB], quel est l'ensemble des points M du plan tels que

⃗AB et ⃗IM sont orthogonaux ? Médiatrice de [AB] I milieu de [AB] et ⃗AB et ⃗IM sont orthogonaux si et seulement si

M appartient à la médiatrice de [AB].

Exemple 3

Dans un repère du plan, quel est l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que a) 2x - y + 5 = 0

Droite d'équation 2x - y + 5 = 0 (ou y = 2x + 5 = 0) ou droite passant par A(0 ; 5) et B(1 ; 7) ou ....

b) y = (x - 1)² + 2 Parabole d'équation y = (x - 1)² + 2, sommet S(1 ; 2), .... c) xy = 1

Hyperbole d'équation y =

1 x (les asymptotes sont les axes de coordonnées) d) x = 5 Droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par A(5 ; 0) e) y = -1 Droite parallèle à l'axe des abscisses passant par A(0 ; -1) f) {2x+y=4 x-y=5

Le point de coordonnées (3 ; -2).

Quelques modèles à partir du produit scalaire Dans ces quatre exemples, [AB] est un segment de longueur 4 et I est le milieu de [AB].

Exemple 1

a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 26 ?

On sait que MA² + MB² =

⃗MA² + ⃗MB² (c'est grâce à cette égalité que l'on peut passer des longueurs au

produit scalaire). Or, ⃗MA² = (⃗MI+⃗IA)² = ⃗MI² + ⃗IA² + 2⋅⃗MI⋅⃗IA et

⃗MB² = (⃗MI+⃗IB)² = ⃗MI² + ⃗IB² + 2⋅⃗MI⋅⃗IBI, étant le milieu de [AB], on sait :

⃗IB = -⃗IA = 1

2⃗AB (ou encore : ⃗IA+⃗IB = ⃗0)

La somme : MA² + MB² =

⃗MA² + ⃗MB²

⃗MI² + ⃗IA² + 2⋅⃗MI⋅⃗IA + ⃗MI² + (-⃗IA)2 - 2⋅⃗MI⋅⃗IA

" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »

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Ensemble de points- Lieu de points

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie On en déduit donc : MA² + MB² = 2MI² + 2.IA² = 2MI² + AB2

2 (Dans le deuxième membre, l'inconnu

(point M) n'apparaît qu'une seule fois.) La recherche de l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 26 revient à celle de l'ensemble des points M du plan tels que 2MI² + 2.IA² = 26. Avec les données numériques : IA = 2, donc : 2MI² = 26 - 2×4 = 18

MI² = 9

et comme MI est une longueur, seule la solution positive est acceptable : MI = 3

L'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 26 est l'ensemble des points M du plan tels que MI = 3.

Conclusion : L'ensemble est le cercle de centre I et de rayon 3. b) Cas général : Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = k ?

La démarche précédente s'applique ...

MA² + MB² = k ⇔ 2MI² +

AB2

2 = k ⇔ 2MI² = k -

AB2

2Si k - AB2

2 < 0 alors l'ensemble cherché est l'ensemble vide.

Si k -

AB2

2 = 0 alors l'ensemble cherché est réduit au seul point I.

Si k - AB2

2 > 0 alors l'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon :

2.

Exemple 2

a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗MA⋅⃗MB = 5 ? ⃗MA = ⃗MI+⃗IA et ⃗MB = ⃗MI+⃗IB = ⃗MI-⃗IA.

⃗MA⋅⃗MB = (⃗MI+⃗IA)(⃗MI-⃗IA) = ⃗MI² - ⃗IA² = MI² - AB2

4. (Dans le dernier membre, l'inconnu (point M)

n'apparaît qu'une seule fois.) ⃗MA⋅⃗MB = 5 ⇔ MI² - AB2

4 = 5.

Comme AB = 4, on cherche l'ensemble des points M du plan tels que MI = 3. (Voir cas précédent).

Conclusion : L'ensemble est le cercle de centre I et de rayon 3. b) Cas général :

Quel est l'ensemble des points M du plan tels que

⃗MA⋅⃗MB = k ?

La démarche précédente s'applique ...

" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »

Jørn Riel in La maison de mes pères

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Ensemble de points- Lieu de points

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie ⃗MA⋅⃗MB = 5 ⇔ MI² - AB2

4 = k ⇔ MI² = k +

AB2 4.

Si k + AB2

4 < 0 alors l'ensemble cherché est l'ensemble vide.

Si k +

AB2

4 = 0 alors l'ensemble cherché est réduit au seul point I.

Si k + AB2

4 > 0 alors l'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon :

2Exemple 3

a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que ⃗AB⋅⃗AM = 6 ? b) Cas général :

Quel est l'ensemble des points M du plan tels que

⃗AB⋅⃗AM = k ?

La démarche s'applique ...

Exemple 4

a) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² - MB² = 8 ? b) Cas général : Quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² - MB² = k ?

" Le savoir n'est jamais inutile. Seulement il se trouve qu'il faut apprendre un tas de choses inutiles avant de comprendre les choses utiles »

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