[PDF] PRODUIT SCALAIRE (Partie 2) Méthode : Calculer un produit





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Ensemble de points- Lieu de points Objectif

1 avr. 2014 Des points fixes sont donnés. M est un point du plan caractérisé par une relation r (géométrique analytique



APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire L'ensemble ? est le cercle de centre le point de coordonnées (1 ; 5) et de rayon 3.



Calcul vectoriel – Produit scalaire

Méthode. Calculer des produits scalaires. Sur la figure ci-contre ABCD est un rectangle tel que On appelle ? l'ensemble des points M du plan tels que.



Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Déterminer l'ensemble des points M(x ;y ;z) de l'espace qui vérifient :.



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal . Exemple : Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une 



5. Produit scalaire de deux vecteurs

b) Autre méthode basée sur le produit scalaire : la droite d peut être vue comme l'ensemble des points P(x



Cours doptimisation

Addition de POINTS ensemble possible mais on s'interdira de le faire. 1.2. Vecteurs : Norme et Produit scalaire. 1.2.1. La norme.



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

On en déduit que est le point du plan le plus proche du point . Méthode : Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à un 



PRODUIT SCALAIRE (Partie 2)

Méthode : Calculer un produit scalaire par projection Propriété : L'ensemble des points M vérifiant l'égalité &&&&&&?.



VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

d passant par et de vecteur directeur {? est l'ensemble des points tels Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité.



Produit scalaire – Fiche de cours

3 Lieux de points - Lignes de niveaux Résoudre une ligne de niveau de valeur le réel k consiste à caractériser l’ensemble des points M du plan tel que f(M)=k Exemple : ?AB??AM=100 2/2 Produit scalaire – Fiche de cours Mathématiques Première générale - Année scolaire 2019/2020 https://physique-et-maths



PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan ) - Pierre Lux

PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877) ci-contre Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et



PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE - maths et tiques

Définition : Soit un point A et une droite d de l’espace La projection orthogonale de A sur d est le point H appartenant à d tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à la droite d 2) Projection orthogonale d’un point sur un plan Définition : Soit un point A et un plan P de l’espace



PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan ) - Pierre Lux

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment où O A et B sont trois points du plan tels que ?u=?OA et ?v=?OB H est le projeté orthogonal de B sur (OA) d ?u??v=?OA??OB={OA×OH ?OA×OH si ?OA et ?OH sont de même sens



ème Maths Chapitre : Produit scalaire:Ensemble points ww

Produit scalaire 2 Correction: I) A/ MA MB 0 c’est le cercle de diamètre [AB] B/ AM AB 0 L’ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A C/ AM AB 24 Soit H le point de (AB) tel que AH AB 24 On a AH AB AM AB donc AH AB AM AB 0 donc AB AH AM ( ) 0 donc ABMH 0



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Ces propriétés permettent d’effectuer des opérations sur le produit scalaire comme le produit et la somme de quantités algébriques C’est une sorte de distributivité Propriété : On a les propriétés suivantes : Q? et R sont colinéaires de même sens ? Q? R =? Q? ?×? R ?

Comment calculer le produit scalaire d’un vecteur ?

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment. où O , A et B sont trois points du plan tels que ?u=?OA et ?v=?OB . H est le projeté orthogonal de B sur (OA) d ?u??v=?OA??OB={OA×OH ?OA×OH si ?OAet ?OHsont de même sens si ?OAet ?OHsont de sens contraire

Qu'est-ce que le produit scalaire?

PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton(1805 ; 1865) en 1853.

Comment calculer le signe du produit scalaire ?

B ) REMARQUES - Signe du produit scalaire : On déduit facilement le signe du produit scalaire ?OA??OB suivant la nature de l’angle ^AOB. En effet les normes des deux vecteurs ?OA et ?OB sont positives . On en déduit donc que ?OA??OB est du signe de cos^AOB. 0?^AOB< ? 2 ^AOB=? 2 ? 2 0 ?OA??OB=0 ?OA??OB

1

PRODUIT SCALAIRE - Chapitre 2/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dII7myZuLvo

Partie 1 : Produit scalaire et orthogonalité

1) Projeté orthogonal

Propriété : Les vecteurs 𝑢⃗ et í µâƒ— sont orthogonaux si et seulement si 𝑢⃗.í µâƒ—=0.

Démonstration :

Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente.

Supposons le contraire.

𝑢⃗.í µâƒ—=0 =0 =0 ⟺ Les vecteurs 𝑢⃗ et í µâƒ— sont orthogonaux

Définition : Soit une droite d et un point M.

Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M.

Propriété : Soit í µí µ

et í µí µ deux vecteurs non nuls. í µ est le projeté orthogonal du point í µ sur la droite (í µí µ).

On a : í µí µ

Démonstration :

8, d'après la relation de Chasles.

En effet, les vecteurs í µí µ

et í µí µ sont orthogonaux donc í µí µ =0. 2 Méthode : Calculer un produit scalaire par projection

Vidéo https://youtu.be/2eTsaa2vVnI

Vidéo https://youtu.be/K4Izn5xB_Qk

Vidéo https://youtu.be/-Hr28g0PFu0

Soit un carré í µí µí µí µ de côté 4.

Calculer les produits scalaires :

a) í µí µ b) í µí µ c) í µí µ

Correction

a) í µ est le projeté orthogonal de í µ sur (í µí µ), alors : =4 =16 b) í µí µ =0 car les vecteurs í µí µ et í µí µ sont orthogonaux. c) Comme í µí µ , on a : =-16

2) Transformation de l'expression í µí µ

Propriété : L'ensemble des points í µ vérifiant l'égalité í µí µ =0 est le cercle de diamètre

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/D3n8aYsSQLA

Soit í µ le milieu du segment [í µí µ].

On a :

=0

8.í°»í µí µ

8=0 Comme í µ est le milieu de [í µí µ], on a : í µí µ

Soit :

8.í°»í µí µ

8=0 =0 car =0

Soit : í µí µ

soit encore í µí µ=í µí µ.

í µ appartient donc au cercle de centre í µ et de rayon í µí µ, c'est-à-dire le cercle de diamètre

3

Comme í µí µ

=0, les vecteurs í µí µ et í µí µ sont orthogonaux. L'ensemble des points í µ tel que le triangle í µí µí µ soit rectangle en í µ est donc le cercle de diamètre [í µí µ]. Méthode : Appliquer l'égalité í µí µ =0

Vidéo https://youtu.be/bUARS-dthLM

On donne deux points í µ et B.

Représenter l'ensemble des points í µ, tel que : í µí µ

Correction

=0 =0 8=0 8=0 =0, d'après la relation de Chasles. L'ensemble des points í µ est donc le cercle de diamètre [í µí µ]. Partie 2 : Produit scalaire dans un repère orthonormé Dans cette partie, le plan est muni d'un repère orthonormé

Propriété : Soit í µí±¢âƒ—íº¥

í±¦ et í µâƒ—H J deux vecteurs. On a : 𝑢⃗.í µâƒ—=í µí µ Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnées (1)

Vidéo https://youtu.be/aOLRbG0IibY

Soit í µí±¢âƒ—íº¥

5 -4 í±¦ et í µâƒ—íº¥ -3 7 í±¦ deux vecteurs. Calculer 𝑢⃗.í µâƒ—

Correction

𝑢⃗.í µâƒ—=5× -3 -4

×7=-15-28=-43

4 Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnées (2)

Vidéo https://youtu.be/cTtV4DsoMLQ

On considère quatre points 𝚥

2 1 5 3 1 4 í±¦ et 𝚥 5 -2 Démontrer que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont perpendiculaires.

Correction

- Calculons les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ 5-2 3-1 3 2 í±¦ et í µí µ 5-1 -2-4 4 -6 - Calculons le produit scalaire des deux vecteurs : =3×4+2× -6 =12-12=0 - Le produit scalaire est nul donc les vecteurs í µí µ et í µí µ sont orthogonaux. Et donc, les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont perpendiculaires. Méthode : Appliquer plusieurs formules du produit scalaire

Vidéo https://youtu.be/Ok6dZG8WIL8

Calculer la mesure de l'angle í µí µí µ

P en calculant le produit scalaire í µí µ de deux façons. On pourra lire les coordonnées des points í µ, í µ, í µ et í µ dans le repère ci-contre.

Correction

En calculant le produit scalaire í µí µ avec la formule du cosinus, on a : P 8

Or : í µí µ=

5 +1 25+1=
26
U 2 +4 4+16= 20

Donc : í µí µ

26×

20×cosí°»í µí µí µ

P 8

520×cosí°»í µí µí µ

P 8 En calculant le produit scalaire í µí µ avec la formule des coordonnées, on a : 5 -1 í±¦ et í µí µ -2 -4 í±¦, donc : =5× -2 -1 -4 =-6 5 On a ainsi :

520×cosí°»í µí µí µ

P 8=-6 cosí°»í µí µí µ P 8=-

Et donc : í µí µí µ

P ≈105,3°.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32