[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE On en déduit que





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Ensemble de points- Lieu de points Objectif

1 avr. 2014 Des points fixes sont donnés. M est un point du plan caractérisé par une relation r (géométrique analytique



APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire L'ensemble ? est le cercle de centre le point de coordonnées (1 ; 5) et de rayon 3.



Calcul vectoriel – Produit scalaire

Méthode. Calculer des produits scalaires. Sur la figure ci-contre ABCD est un rectangle tel que On appelle ? l'ensemble des points M du plan tels que.



Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Déterminer l'ensemble des points M(x ;y ;z) de l'espace qui vérifient :.



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal . Exemple : Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une 



5. Produit scalaire de deux vecteurs

b) Autre méthode basée sur le produit scalaire : la droite d peut être vue comme l'ensemble des points P(x



Cours doptimisation

Addition de POINTS ensemble possible mais on s'interdira de le faire. 1.2. Vecteurs : Norme et Produit scalaire. 1.2.1. La norme.



PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

On en déduit que est le point du plan le plus proche du point . Méthode : Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à un 



PRODUIT SCALAIRE (Partie 2)

Méthode : Calculer un produit scalaire par projection Propriété : L'ensemble des points M vérifiant l'égalité &&&&&&?.



VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

d passant par et de vecteur directeur {? est l'ensemble des points tels Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité.



Produit scalaire – Fiche de cours

3 Lieux de points - Lignes de niveaux Résoudre une ligne de niveau de valeur le réel k consiste à caractériser l’ensemble des points M du plan tel que f(M)=k Exemple : ?AB??AM=100 2/2 Produit scalaire – Fiche de cours Mathématiques Première générale - Année scolaire 2019/2020 https://physique-et-maths



PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan ) - Pierre Lux

PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877) ci-contre Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et



PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE - maths et tiques

Définition : Soit un point A et une droite d de l’espace La projection orthogonale de A sur d est le point H appartenant à d tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à la droite d 2) Projection orthogonale d’un point sur un plan Définition : Soit un point A et un plan P de l’espace



PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan ) - Pierre Lux

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment où O A et B sont trois points du plan tels que ?u=?OA et ?v=?OB H est le projeté orthogonal de B sur (OA) d ?u??v=?OA??OB={OA×OH ?OA×OH si ?OA et ?OH sont de même sens



ème Maths Chapitre : Produit scalaire:Ensemble points ww

Produit scalaire 2 Correction: I) A/ MA MB 0 c’est le cercle de diamètre [AB] B/ AM AB 0 L’ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A C/ AM AB 24 Soit H le point de (AB) tel que AH AB 24 On a AH AB AM AB donc AH AB AM AB 0 donc AB AH AM ( ) 0 donc ABMH 0



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Ces propriétés permettent d’effectuer des opérations sur le produit scalaire comme le produit et la somme de quantités algébriques C’est une sorte de distributivité Propriété : On a les propriétés suivantes : Q? et R sont colinéaires de même sens ? Q? R =? Q? ?×? R ?

Comment calculer le produit scalaire d’un vecteur ?

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment. où O , A et B sont trois points du plan tels que ?u=?OA et ?v=?OB . H est le projeté orthogonal de B sur (OA) d ?u??v=?OA??OB={OA×OH ?OA×OH si ?OAet ?OHsont de même sens si ?OAet ?OHsont de sens contraire

Qu'est-ce que le produit scalaire?

PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton(1805 ; 1865) en 1853.

Comment calculer le signe du produit scalaire ?

B ) REMARQUES - Signe du produit scalaire : On déduit facilement le signe du produit scalaire ?OA??OB suivant la nature de l’angle ^AOB. En effet les normes des deux vecteurs ?OA et ?OB sont positives . On en déduit donc que ?OA??OB est du signe de cos^AOB. 0?^AOB< ? 2 ^AOB=? 2 ? 2 0 ?OA??OB=0 ?OA??OB

1

ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/pMQBaCqLPsQ Partie 1 : Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace

1) Définition et propriétés

Définition : Soit ⃗ et ⃗ deux vecteurs de l'espace. , et trois points tels que ⃗=

et . Il existe un plan contenant les points , et .

On appelle produit scalaire de l'espace de ⃗ et ⃗ le produit ⃗.⃗=

dans le plan . On retrouve alors dans l'espace toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan : Propriétés permettant de calculer un produit scalaire : 0 1. =2 2 est le projeté orthogonal du point sur la droite (). On a :

Propriétés algébriques :

Symétrie : ⃗.⃗=⃗.⃗ Bilinéarité : ⃗. =⃗.⃗+⃗.⃗ et ⃗. =⃗.⃗, avec ∈ℝ Identités remarquables : +2⃗.⃗+ Formule de polarisation : 2

Propriété d'orthogonalité :

⃗.⃗=0⟺⃗ et ⃗ sont orthogonaux Méthode : Calculer le produit scalaire dans l'espace

Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk

est un cube d'arête .

Calculer les produits scalaires :

a) b) c)

Correction

a) , étant le projeté orthogonal de sur (). b) =0 car et sont orthogonaux. c) Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité

Vidéo https://youtu.be/8Obh6cIZeEw

Soit un tétraèdre régulier d'arêtes de longueur . Démontrer que les arêtes [] et [] sont orthogonales.

Correction

On va prouver que

=0. 1

Dans le triangle équilatéral ABD, on a :

1 =××cosK 3 N= 2 On démontre de même dans le triangle équilatéral que : 2 2

Ainsi :

=0

Les vecteurs

et sont donc orthogonaux, et donc Les arêtes [] et [] sont orthogonales. 3

2) Produit scalaire dans un repère orthonormé

Définitions :

Une base ⃗,⃗,

1 de l'espace est orthonormée si :

- les vecteurs ⃗,⃗ et sont deux à deux orthogonaux, - les vecteurs ⃗,⃗ et sont unitaires, soit : =1, =1 et 2 2=1. Un repère ;⃗,⃗,

1 de l'espace est orthonormé, si sa base ⃗,⃗,

1 est orthonormée.

Propriétés : Dans un repère orthonormé de l'espace ;⃗,⃗,

1 : Soit ⃗ et ⃗Y [ deux vecteurs de l'espace. +′ et Soit Y [ et Y [ deux points de l'espace.

Démonstration :

1 En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple =1, ⃗.⃗= =1 et ⃗.⃗=⃗.⃗=0 On a, en particulier : Et : 2 2 Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnées

Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E

On considère le repère de l'espace ; 1.

I est le milieu du segment [].

Les vecteurs

et sont-ils orthogonaux ?

Correction

On a :

Y 1 1 1 [ et Y 1-0 0-1 0,5-0 [ soit Y 1 -1 0,5

Alors :

=1×1+1× -1 +1×0,5=0,5.

Les vecteurs

et ne sont pas orthogonaux. 4

Partie 2 : Orthogonalité

1) Orthogonalité de deux droites

Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.

Exemple :

est un cube. - Les droites () et () sont perpendiculaires. - Les droites () et () sont orthogonales.

Remarques :

- Deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sécantes. - Deux droites perpendiculaires sont orthogonales. La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et sécantes.

2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Propriété : Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à

deux droites sécantes de . 5

Propriété : Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est orthogonale à toutes les

droites de .

Démonstration :

Soit une droite de vecteur directeur ⃗ orthogonale à deux droites sécantes

et de . Soit ⃗ et ⃗ des vecteurs directeurs respectifs de et

Alors ⃗ et ⃗ sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur ⃗.

Soit une droite quelconque Δ de de vecteur directeur⃗. Démontrons que Δ est orthogonale à .

⃗ peut se décomposer en fonction de ⃗ et ⃗ qui constituent une base de (car non

colinéaires).

Il existe donc deux réels et tels que ⃗=⃗+⃗.

Donc ⃗.⃗=⃗.⃗+⃗.⃗=0, car ⃗ est orthogonal avec ⃗ et ⃗.

Donc ⃗ est orthogonal au vecteur ⃗.

Et donc est orthogonale à Δ.

Exemple :

est un cube. () est perpendiculaire aux droites () et (). () et () sont sécantes et définissent le plan (). Donc () est orthogonal au plan (). Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales

Vidéo https://youtu.be/qKWghhaQJUs

est un triangle équilatéral. est le point d'intersection de ses hauteurs. La droite passant par est orthogonale au plan (). La pyramide est telle que soit un point de la droite . Démontrer que les droites () et () sont orthogonales.

Correction

La droite est orthogonale au plan (). La droite est donc orthogonale à toutes les droites du plan ().

Comme la droite () appartient au plan (), la droite est orthogonale à la droite ().

Par ailleurs, la droite () est perpendiculaire à la droite (). 6

Ainsi, () est orthogonale à deux droites sécantes du plan () : () et .

Donc () est orthogonale au plan ().

Et donc la droite () est orthogonale à toutes les droites du plan ().

La droite () appartient au plan () donc la droite () est orthogonale à la droite ().

Partie 3 : Vecteur normal à un plan

1) Définition et propriétés

Définition : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan si ⃗ est un vecteur

directeur d'une droite orthogonale au plan .

Propriété : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan , s'il est orthogonal à

deux vecteurs non colinéaires de la direction de . Propriété : Soit un point et un vecteur ⃗ non nul de l'espace. L'ensemble des points tels que .⃗=0 est le plan passant par et de vecteur normal 7 Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, Hermann

Günther Grassmann (1809 ; 1877).

Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un plan

Vidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4

est un cube.

Démontrer que le vecteur

est normal au plan ().

Correction

On considère le repère orthonormé ; 1.

Dans ce repère : Y

1 0 0 [,Y 0 0 0 [,Y 0 1 0 [,Y 0 0 1 [,Y 0 1 1

On a ainsi :

Y 0 -1 1 Y 0 1 1 [ et Y -1 0 0 [, donc : =0×0-1×1+1×1=0 =0× -1 -1×0+1×0=0

Donc

est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (), il est donc normal à

Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan

Vidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU

Dans un repère orthonormé, on donne : Y 1 2 -2 [, Y -1 3 1 [ et Y 2 0 -2 Déterminer un vecteur normal au plan ().

Correction

On a :

Y -2 1 3 [ et Y 1 -2 0

Soit un vecteur ⃗

orthogonal au plan (). Il est tel que : =0 =0 soit g -2++3=0 -2=0 ⟺g -2×2++3=0 =2 n u v 8 ⟺g -3+3=0 =2 ⟺g =2 Prenons par exemple, =1 (arbitrairement choisi) alors =1 et =2.

Le vecteur ⃗Y

2 1 1 [ est donc normal au plan ().

Remarque :

La solution n'est pas unique. Tout vecteur colinéaire à ⃗ est solution.

2) Projections orthogonales

Définitions :

Soit un point et une droite de l'espace.

Le projeté orthogonal du point sur la droite est le point appartenant à tel que la

droite () soit perpendiculaire à la droite . Soit un point et un plan de l'espace.

Le projeté orthogonal du point sur le plan est le point appartenant à tel que la

droite () soit orthogonale au plan .

Propriété : Le projeté orthogonal d'un point sur un plan est le point de le plus proche

de .

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/c7mxA0TbVFU

Soit le projeté orthogonal du point sur le plan P. Supposons qu'il existe un point du plan P plus proche de que l'est le point . proche de .

Donc

9

Or, () est orthogonale à P, donc () est orthogonale à toute droite de P.

En particulier, () est perpendiculaire à (). Le triangle est donc rectangle en . D'après l'égalité de Pythagore, on a :

Donc

Donc

On en déduit que est le point du plan le plus proche du point .

Méthode : Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à un plan

Vidéo https://youtu.be/1b9FtX4sCmQ

Soit un cube . On considère le repère orthonormé ;

1.

a) Calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan ().

b) En déduire la distance du point au plan ().

Correction

a) On cherche à déterminer les coordonnées du point . Dans le repère orthonormé ;

1, on a :

Y 1 0 0 [,Y 0 1 0 [,Y 0 0 1 [,Y 1 1 1

On a alors :

Y -1 1 0 Y 1 0 -1 Y -1 Y -1 -1 -1 Or, () est orthogonale au plan donc le vecteur est orthogonal aux vecteurs et . Soit : =0 -1× -1 +1× -1 +0× -1 =0 -+1+-1=0 =0 1× -1 +0× -1 -1 -1 =0 -1-+1=0

On a ainsi : ==

De plus,

est orthogonal au vecteur , soit : 10 =0 -1 -1 -1 =0 -1quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30