CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE PDF

MAT 6798 CALCUL STOCHASTIQUE Département de Mathématiques et Statistiques ... Le but de ce cours est de définir l'intégration stochastique et de ...

MAT 6703 CALCUL STOCHASTIQUE HIVER 2021 Faculté des Arts

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MAT 6798 CALCUL STOCHASTIQUE HIVER 2018 Faculté des Arts

MAT 6798 CALCUL STOCHASTIQUE Département de Mathématiques et Statistiques ... Le but de ce cours est de définir l'intégration stochastique et de ...

Doctorat en mathématiques

FACULTÉ DES ARTS ET DES SCIENCES DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE STATISTIQUE Dans le programme une grande variété de cours avancés est proposée en ...

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE Département de Mathématiques Appliquées ... Ecole Polytechnique and Professor at Ecole Polytechnique from 1920 to 1959).

Maîtrise en finance mathématique et computationnelle

COURS. TITRE. CR.H. IFT 6561. Simulation : aspects stochastiques. 4.0J. MAT 6470. Calcul scientifique. 3.0J.

Maîtrise en mathématiques

Le Département offre un programme de maîtrise en mathématiques (M.Sc.). Une grande variété de cours avancés est proposée en mathématiques pures et

Maîtrise en mathématiques

Le Département offre un programme de maîtrise en mathématiques (M.Sc.). Une grande variété de cours avancés est proposée en mathématiques pures et

Cours de Calcul stochastique Master 2IF EVRY

2.4.3 Processus lié `a l'intégrale stochastique . Dans certaines parties de cours on précisera la structure de ? en construisant explicitement.

Maîtrise en mathématiques

un autre programme de 2e ou de 3e cycle de l'Université de Sherbrooke et qui ne lui ont pas Le Département de mathématiques compte sur une vingtaine de.

CALCUL STOCHASTIQUE - univ-toulousefr

diérentielles stochastiques est également introduite Certaines applications sont tirées du cours Martingales et calcul stochastique de Nils Berglund dans lequel des exercices sont proposés Le lecteur est supposé avoir déjà suivi un cours d’intégration de probabilité et d’analyse hilbertienne 2 Préambule

CALCUL STOCHASTIQUE - univ-toulousefr

Dans ce cours nous introduirons la th eorie du calcul stochastique ou calcul d’It^o du nom d’un c el ebre math ematicien japonais du 20 eme si ecle nous permettant de donner une d e nition probabiliste a cette int egrale mais aussi d’ etudier des equations di erentielles

COURS DE PROBABILITES ET CALCUL STOCHASTIQUE - EPFL

Ce polycopi´e a ´et´e ´etabli sur la base des notes du cours de probabilit´e et calcul stochastique donn´e dans le cadre du cycle d’´etudes postgrades en ing´enierie math´ematique a l’EPFL Il ne constitue en aucun cas une r´ef´erence de calcul stochastique ´etant donn´e les nombreuses lacunes et impr´ecisions qui le pars`ement

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE

PeterTankov

peter.tankov@ensae.frNizarTouzi nizar.touzi@polytechnique.edu

Ecole Polytechnique

D epartement de Mathematiques Appliquees

Last update: Septembre 2018

1 Introduction: discrete time derivatives pricing 9

1.1 Basic derivative products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 European and American options . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Bonds and term structure of interest rates . . . . . . . . .

1.1.3 Forward contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 No dominance principle and rst properties . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Valuation of forward Contracts . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Some properties of options prices . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Put-Call Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Bounds on call prices and early exercise of American calls . . . .

1.4.1 Risk eect on options prices . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Some popular examples of contingent claims . . . . . . . . . . . .

2 A rst approach to the Black-Scholes formula 21

2.1 The single period binomial model . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 The Cox-Ross-Rubinstein model . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Valuation and hedging

in the Cox-Ross-Rubinstein model . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Continuous-time limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Some preliminaries on continuous-time processes 29

3.1 Filtration and stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Martingales and optional sampling . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Maximal inequalities for submartingales . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Submartingales with a.s. cad-lag versions . . . . . . . . . . . . .

3.5 Appendix: on discrete-time martingales . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1 Doob's optional sampling for discrete martingales . . . . .

3.5.2 Upcrossings of discrete-time submartingales . . . . . . . .

4 The Brownian Motion 41

4.1 Denition of the Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 The Brownian motion as a limit of a random walk . . . . . . . .

43
3 4

4.3 Distribution of the Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Scaling, symmetry, and time reversal . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Brownian ltration and the Zero-One law . . . . . . . . . . . . .

4.6 Small/large time behavior of the Brownian sample paths . . . . .

4.7 Quadratic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Stochastic integration with respect to the Brownian motion 61

5.1 Stochastic integrals of simple processes . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Stochastic integrals of processes inH2. . . . . . . . . . . . . . .62

5.2.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.2 The stochastic integral as a continuous process . . . . . .

5.2.3 Martingale property and the It^o isometry . . . . . . . . .

5.2.4 Deterministic integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Stochastic integration beyondH2and It^o processes . . . . . . . .66

5.4 Complement: density of simple processes inH2. . . . . . . . . .68

6 It^o Dierential Calculus 71

6.1 It^o's formula for the Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Extension to It^o processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Levy's characterization of Brownian motion . . . . . . . . . . . .

6.4 A verication approach to the Black-Scholes model . . . . . . . .

6.5 The Ornstein-Uhlenbeck process . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.1 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.2 Dierential representation . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 The Merton optimal portfolio allocation . . . . . . . . . . . . . .

6.6.1 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.2 The dynamic programming equation . . . . . . . . . . . .

6.6.3 Solving the Merton problem . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Martingale representation and change of measure 89

7.1 Martingale representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 The Cameron-Martin change of measure . . . . . . . . . . . . . .

7.3 The Girsanov's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1 The Novikov's criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Application: the martingale approach to the Black-Scholes model

7.4.1 The continuous-time nancial market . . . . . . . . . . .

7.4.2 Portfolio and wealth process . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.3 Admissible portfolios and no-arbitrage . . . . . . . . . . .

101

7.4.4 Super-hedging and no-arbitrage bounds . . . . . . . . . .

101

7.4.5 Heuristics from linear programming . . . . . . . . . . . .

102

7.4.6 The no-arbitrage valuation formula . . . . . . . . . . . . .

104

7.5 The continuous time Kalman-Bucy lter . . . . . . . . . . . . . .

104

7.5.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

7.5.2 Main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

7.5.3 The innovation process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

7.5.4 Dynamics of the best estimate . . . . . . . . . . . . . . .

107
5

7.5.5 ODE characterization of the variance . . . . . . . . . . . .

110

8 Stochastic dierential equations 111

8.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

8.2 Strong solution of a stochastic dierential equation . . . . . . . .

113

8.2.1 Existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

8.2.2 The Markov property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

8.3 More results for scalar stochastic dierential equations . . . . . .

116

8.4 Linear stochastic dierential equations . . . . . . . . . . . . . . .

120

8.4.1 An explicit representation . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

8.4.2 The Brownian bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

8.5 Connection with linear partial dierential equations . . . . . . .

122

8.5.1 Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

8.5.2 Cauchy problem and the Feynman-Kac representation . .

123

8.5.3 Representation of the Dirichlet problem . . . . . . . . . .

125

8.6 The hedging portfolio in a Markov nancial market . . . . . . . .

126

8.7 Application to importance sampling . . . . . . . . . . . . . . . .

127

8.7.1 Importance sampling for random variables . . . . . . . . .

127

8.7.2 Importance sampling for stochastic dierential equations .

129

9 The Black-Scholes model and its extensions 131

9.1 The Black-Scholes approach for the Black-Scholes formula . . . .

131

9.2 The Black and Scholes model for European call options . . . . .

132

9.2.1 The Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

9.2.2 The Black's formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

9.2.3 Option on a dividend paying stock . . . . . . . . . . . . .

135

9.2.4 The Garman-Kohlhagen model for exchange rate options

137

9.2.5 The practice of the Black-Scholes model . . . . . . . . . .

139

9.2.6 Hedging with constant volatility: robustness of the Black-

Scholes model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.3 Complement: barrier options in the Black-Scholes model . . . . .

146

9.3.1 Barrier options prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

9.3.2 Dynamic hedging of barrier options . . . . . . . . . . . .

150

9.3.3 Static hedging of barrier options . . . . . . . . . . . . . .

150

10 Local volatility models and Dupire's formula 153

10.1 Implied volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

10.2 Local volatility models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

10.2.1 CEV model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

10.3 Dupire's formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

10.3.1 Dupire's formula in practice . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

10.3.2 Link between local and implied volatility . . . . . . . . .

162
6

11 Backward SDEs and funding problems 165

11.1 Preliminaries: the BDG inequality . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

11.1.1 The smooth power case . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

11.1.2 The case of an arbitrary power . . . . . . . . . . . . . . .

167

11.2 Backward SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

11.2.1 Martingale representation for zero generator . . . . . . . .

168

11.2.2 BSDEs with ane generator . . . . . . . . . . . . . . . .

169

11.2.3 The main existence and uniqueness result . . . . . . . . .

169

11.2.4 Complementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

11.3 Application: Funding Value Adjustment of the Black-Scholes the-

ory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

[PDF] Master MASS 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de TD no 4

[PDF] INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE

[PDF] methodes de valorisation des stocks - AUNEGE

[PDF] circulaire temps partiel 2016-2017

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[PDF] CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE

PeterTankov

Ecole Polytechnique

Last update: Septembre 2018

Contents

1 Introduction: discrete time derivatives pricing 9

1.1 Basic derivative products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 European and American options . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Bonds and term structure of interest rates . . . . . . . . .

1.1.3 Forward contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 No dominance principle and rst properties . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Valuation of forward Contracts . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Some properties of options prices . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Put-Call Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Bounds on call prices and early exercise of American calls . . . .

1.4.1 Risk eect on options prices . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Some popular examples of contingent claims . . . . . . . . . . . .

2 A rst approach to the Black-Scholes formula 21

2.1 The single period binomial model . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 The Cox-Ross-Rubinstein model . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Valuation and hedging

2.4 Continuous-time limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Some preliminaries on continuous-time processes 29

3.1 Filtration and stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Martingales and optional sampling . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Maximal inequalities for submartingales . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Submartingales with a.s. cad-lag versions . . . . . . . . . . . . .

3.5 Appendix: on discrete-time martingales . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1 Doob's optional sampling for discrete martingales . . . . .

3.5.2 Upcrossings of discrete-time submartingales . . . . . . . .

4 The Brownian Motion 41

4.1 Denition of the Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 The Brownian motion as a limit of a random walk . . . . . . . .

4.3 Distribution of the Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Scaling, symmetry, and time reversal . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Brownian ltration and the Zero-One law . . . . . . . . . . . . .

4.6 Small/large time behavior of the Brownian sample paths . . . . .

4.7 Quadratic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Stochastic integration with respect to the Brownian motion 61

5.1 Stochastic integrals of simple processes . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Stochastic integrals of processes inH2. . . . . . . . . . . . . . .62

5.2.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.2 The stochastic integral as a continuous process . . . . . .

5.2.3 Martingale property and the It^o isometry . . . . . . . . .

5.2.4 Deterministic integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Stochastic integration beyondH2and It^o processes . . . . . . . .66

5.4 Complement: density of simple processes inH2. . . . . . . . . .68

6 It^o Dierential Calculus 71

6.1 It^o's formula for the Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Extension to It^o processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Levy's characterization of Brownian motion . . . . . . . . . . . .

6.4 A verication approach to the Black-Scholes model . . . . . . . .

6.5 The Ornstein-Uhlenbeck process . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.1 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.2 Dierential representation . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 The Merton optimal portfolio allocation . . . . . . . . . . . . . .

6.6.1 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.2 The dynamic programming equation . . . . . . . . . . . .

6.6.3 Solving the Merton problem . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Martingale representation and change of measure 89

7.1 Martingale representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 The Cameron-Martin change of measure . . . . . . . . . . . . . .

7.3 The Girsanov's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1 The Novikov's criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Application: the martingale approach to the Black-Scholes model

7.4.1 The continuous-time nancial market . . . . . . . . . . .

7.4.2 Portfolio and wealth process . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.3 Admissible portfolios and no-arbitrage . . . . . . . . . . .

7.4.4 Super-hedging and no-arbitrage bounds . . . . . . . . . .

7.4.5 Heuristics from linear programming . . . . . . . . . . . .

7.4.6 The no-arbitrage valuation formula . . . . . . . . . . . . .

7.5 The continuous time Kalman-Bucy lter . . . . . . . . . . . . . .

7.5.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.2 Main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.3 The innovation process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.4 Dynamics of the best estimate . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.5 ODE characterization of the variance . . . . . . . . . . . .