[PDF] Cours de Calcul stochastique Master 2IF EVRY

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Cours de Calcul stochastique

Master 2IF EVRY

Monique Jeanblanc

Septembre 2006

2

Contents

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Existence d'une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Convergence de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Convergence presque s^ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dansL2() . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.2 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.3 Processus croissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.4 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.5 Variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.6 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.2 Cas Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.2 Cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10.3 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11 Rappels d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3

2 LE MOUVEMENT BROWNIEN 23

2.1 Le mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Une notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.5 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.6 Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.8 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.9 Brownien multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2 Processus d'Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.3 Modµele de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 INT

3.2.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.4 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.4 Crochet d'un processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Lemme d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1 Premiµere forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.4 Cas du Brownien multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.5 Application µa la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES 49

4.1.5 Exemple : Martingale exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.3 Formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.4 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 EXEMPLES DE PROCESSUS D'ITO 55

5.2 Modµele de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 De¯nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.1 Euclidian norm ofn-dimensional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.2 General de¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.3 Scaling properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4.4 Absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.1 Additivity of BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.2 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.3 Transition densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.4 Hitting times for Bessel processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5.5 Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6 Cox-Ingersoll-Ross processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.1 CIR processes and BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.2 Transition probabilities for a CIR process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.3 CIR model for spot rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 CHANGEMENT DE PROBABILIT

6.1.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.5 Cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Application aux modµeles ¯nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2.2 Arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.3 Hedging methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.4 Arbitrage et mme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3.4 Valorisation d'une option sur obligation µa coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Begin at the beginning, and go on till you come to the end. Then, stop.

L. Caroll, Alice's Adventures in Wonderland

6CONTENTS

Chapter 1

dans tout le cours

de Breiman [?], Grimmett et Stirzaker [?], Jacod et Protter [?] ou encore Williams [?]. Voir aussi des

exercices dans [?] ou dans [?].

1.1 Tribu

cet espace. Dans la plupart des cas, la structure de n'a pas de r^ole µa jouer. Par contre, lorsque l'on

(Voir Breiman [?]). On pourra regarder le paragraphe concernant l'existence d'une v.a. (voir ci-dessous)

pour une approche du problµeme. Une tribu (¾-algebra en Anglais) surest une famille de parties de, contenant

Une tribu contient donc l'espace .

Un espace mesurable est un espace muni d'une tribu.

Proposition 1.1.1

Une intersection de tribus est une tribu.

SoitFune tribu. Une sous-tribu deFest une tribuGtelle queG ½ F, soitA2 GimpliqueA2 F.

La plus petite tribu contenant une famille d'ensembles est l'intersection de toutes les tribus qui conti-

Exemple 1.1.1

1 Give us the tools, and we will ¯nish the work. Winston Churchill, February 9, 1941. 7 Soit(;F)et(E;E)deux espaces mesurables. Une applicationfdedansEest dite(F;E)mesurable sif¡1(A)2 F;8A2 E, oµu f

¡1(A)def=f!2jf(!)2Ag:

B application mesurable de(;F)dansIR( donc telle queX¡1(A)2 F;8A2 BIR). Une constante est une v.a. de m^eme qu'une fonction indicatrice d'ensemble de la tribuF.

Proposition 1.1.2

Une v.a.Gmesurable est limite croissante de v.a. du typenX i=1a i11AiavecAi2 G. Une fonction nX i=1a i11AioµuAiest un intervalle. cette famille, on la note¾(A). Elle est l'intersection de toutes les tribus contenantA. contenant les deux tribusF1etF2. La tribu¾(X) est contenue dansF. C'est la plus petite tribu sur rendantXmesurable.

Une v.a.r.XestG-mesurable si¾(X)½ G.

petite tribu contenant les ensemblesfX¡1t(A)gpour toutt2[0;T]etA2 BIR. On la note¾(Xt;t·T). a)P() = 1; b)P([1n=0An) =P1 n=0P(An) pour desAnappartenant µaFdeux µa deux disjoints.

Notation:P(A) =R

AdP=R 11

A(!) = 1 si!2Aet 11A(!) = 0 si! =2A.

July 8, 20069

On aP(A) +P(Ac) = 1 pour toutAappartenant µaF.

SiA½B, alorsP(A)·P(B) etP(B) =P(A) +P(B¡A), oµuB¡A=B\Ac. (resp.An¾An+1), et siA=[nAn(resp.A=\nAn) alorsAappartient µaFetP(A) = limP(An). pour toutA2 C, oµuCest une famille stable par intersection ¯nie et engendrantF. AlorsP=QsurF. (c'est-µa-dire de montrer que siC12 C;C22 C, l'intersectionC1\C2appartient µaC). Un espace (;F;P) est ditcomplets'il contient tous les ensemblesGtels que inffP(F) :F2 F;G½

Fg= 0.

parF(x) =P(X·x).

Af(x)dx. En particulierP(X2[a;b]) =Rb

af(x)dx. Il nous telles queP(X·a) =P(Y·a);8a2IR, alorsXetYont m^eme loi, ce que l'on noteraXloi=Y.

1.3.1 Existence d'une v.a.

P(d!) =1

p

2¼exp¡!2

2 F

X(x) =P(X < x) =Z

11 !¡11 p

2¼exp¡!2

2 d! :

D'o'uXest une v.a. Gaussienne.

espace: soit = que la v.a. soit de loi gaussienne et on poseP=P1P2. Si on souhaite construire une v.a. de loi exponentielle, on choisit =IR+.

XdPque l'on noteE(X) ou

E XdP=R

IRxdPX(x).

XdP

E(©(X)) =Z

©(X)dP=Z

IR

©(x)dPX(x):

IRxf(x)dxetE(©(X)) =R

IR©(x)f(x)dx.

de la formee¸x;¸2IRpour avoirXloi=Y. fonction

Ã(t) =E(eitX) =Z

IR eitxPX(dx):

IReitxf(x)dx. La fonction car-

f(x) =1

2¼Z

1 ¡1 e¡itxÁ(t)dt

variable. Mais dans ce cas il n'y a pas de formule d'inversion simple. Pour conna^³tre la loi d'un couple

(X;Y), il su±t de conna^³treE(exp(¸X+¹Y)) pourtoutcouple (¸;¹). Lorsque la v.a.Xest positive,

Exemple 1.3.1

Exemple fondamental :SiXest une variable gaussienne de loiN(m;¾2), on a

E(e¸X) = exp(¸m+¸2¾2

2 );8¸2IR

Proposition 1.3.1

c'est µa dire

E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y);

©(E(X)).

July 8, 200611

jXij¸ajXijdP!0 quand a! 1.

P(A\B) =P(A)P(B);8A2 F1;8B2 F2:

8A2 C1;8B2 C2oµuCiest une famille stable par intersection telle que¾(Ci) =Fi.

Proposition 1.3.2

PfA\(X·x)g=P(A)P(X·x);8x2IR;8A2 G:

Proposition 1.3.3

E('(X;Y)) =E(f(X)) =E(g(Y));avecf(x) =E('(x;Y)); g(y) =E('(X;y))

Proposition 1.3.4

f(x) = exp(¡¸x) etg(x) = exp(¡¹x) pour tous¸;¹positifs. dire siP(\1·i·nAi) =Q

P(A) = 0()Q(A) = 0:

dQ dP E

Q(Z) =Z

ZdQ=Z ZdQ dP dP=Z

ZY dP=EP(ZY)

On a aussi

dP dQ =1 Y SiYest seulement positive, on aP(A) = 0 =)Q(A) = 0 et on dit queQest absolument continue par rapport µaP.

Exemple 1.3.2

P(U= 0) = 1¡p; P(U= 1) =p:

SoitdQ=Y dP, on aQ(U= 1) =¸p. SousQ,Uest une variable de Bernoulli de paramµetre¸p.

2. SiXest une v.a. de loiN(m;¾2) sousPet soitY= expfh(X¡m)¡1

2 h2¾2g. SoitdQ=Y dP.

SousQ,Xest une v.a. de loiN(m+h¾2;¾2).

exp[¸(m+h¾2) +¸2¾2 2

3. SoitXest un vecteur gaussien sousPetUune variable telle que le vecteur (X;U) soit gaussien.

On posedQ=Y dPavecY= exp(U¡EP(U)¡1

2

VarPU), le vecteurXest gaussien sousQ, de m^eme

covariance que sousP.

1.4 Variables gaussiennes

N(m;¾2)(x) =1

p

2¼exp¡(x¡m)2

2¾2:

On considµere qu'une v.a. constante suit une loi gaussienne de variance nulle, ce qui correspond µa une

IR f(x)±a(dx) = i=1aiXi

¡ = [¾i;j]i=1;n;j=1;n

Proposition 1.4.1

exp(¸m+¸2¾2 2 2 ), la variableXest de loiN(m;¾2).

1.5 Convergence de v.a.

On distingue plusieurs types de convergence:

2

July 8, 200613

1.5.1 Convergence presque s^ure

X n(!)!X(!) quandn! 1:

On noteXnp:s:!X

X nQ:p:s:!X. X n+1) et siX= limp:s:Xn, on aE(X) = limE(Xn) . 1 n P n i=1Xiconverge p.s. versE(X1).

1.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dansL2()

On notekXk2def=s

Z

X2dP=p

L

2()) versXsi

(kXn¡Xk2)2=E(Xn¡X)2!0 quandn! 1: L'espaceL2() est un espace de Hilbert muni du produit scalairehX;Yi=R

XY dP. En parti-

culier, il est complet. Si une suite converge dansL2, il existe une sous-suite qui converge p.s. de variance ¯nie , 1 n P n i=1Xiconverge en moyenne quadratique versE(X1).

Si une suite de v.a. gaussiennes converge en moyenne quadratique, la limite est une variable gaussienne.

jXjpdP=E(jXjp). On L pconverge s'il existeXtel queE(Xn¡X)p!0. La convergence dansLppourp >1 implique la convergence dansLqpour toutq;1< q < p.

8² >0P(jXn¡Xj ¸²)!0 quandn! 1:

On noteXnP!X.

1.5.4 Convergence en loi

celle deX. P n i=1Xi¡nE(X1) p n

L!N(0;1):

1.6 Processus stochastiques

1.6.1 Filtration

quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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