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– Un torseur est un champ antisymétrique ou équiprojectif 1 1 4 Invariant scalaire ou automoment L'invariant d'un torseur [T] est le réel noté
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Un Torseur est nul si ses éléments de réductions en un point sont nuls Ces éléments de réductions sont alors nuls en tout point 3 Additions de deux torseurs
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Un torseur correspond à une classe d'équivalence entre les systèmes de pointeurs : c'est la donnée de la résultante R
[PDF] Torseurs
VI - Torseurs spéciaux 10 1 Torseur nul 10 2 (Torseur) glisseur 10 3 (Torseur) couple 10 VII - Axe central d'un torseur
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On reconnaît la relation fondamentale des moments du torseur cinématique avec pour résultante le vecteur vitesse angulaire du solide S dans R0 avec : 3
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4) Principe fondamental de la statique 7) Torseur statique des liaisons composées 8) Dualité torseur statique / torseur cinématique
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LES TORSEURS Exercice 1 On appelle division vectorielle l'opération qui fait correspondre à deux vecteurs un vecteur tel que :
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Définitions : On appelle torseur un ensemble de forces que l'on caractérise par ses éléments de réduction en un point Soit Fi i ? [1 n] des forces
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sont appelés les éléments de réduction du torseur au point A le champ des vecteurs vitesse dans un solide est un torseur (appelé torseur cinématique) :
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TD cinématique du solide : Torseur cinématique Exercice 1 : Equilibreuse L'équilibrage des roues d'une voiture est très important Une voiture dont les
Exercice d’application 1 : Les torseurs - Ensah-community
points ( ) ( )et ( ) et le torseur [ ] :{???? ???? avec ???? = ? et ???? ? 1- Déterminer les éléments de réduction du torseur [ ] Conclusion; 2- ]Déterminer le pas et l’axe central du torseur [ ; 3- Calculer la somme et le produit des deux torseurs;
Mécanique du solide ( CP2 – S3) Chapitre II : Les torseurs
l’espace) d’un torseur est une grandeur indépendante du point choisi il garde donc la même valeur pour tous les points de l’espace et il est appelé « invariant scalaire » du torseur ? [ ]
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Construire le torseur [T]o associé au système de vecteurs V V En déduire l' automoment Calculer le pas du torseur ; Détermmer l'axe central du torseur vectoriellement et analytiquement Pas et axe cenfral du torseur [T 2 pour = 1 Le torseur s'écrit: [T2]o Pas du torseur : —3 i + j+ 3k Cette égalité est vérifiée pour: a = 1
Chapitre 1
les torseurs1.1 Généralités
1.1.1 Définition
On appelle torseur que l"on note[T]=
?R,?H(P) tout champ de vecteurs ?H (P) pour lequel il existe un vecteur?R, inépendant de P, tel que?(P,Q)ona: ?H(Q)=?H(P)+?R?--→PQ Cette relation permet de déterminer le moment en un pointQdu torseur connaissant son moment en un pointP.1.1.2 Eléments de réduction
Les éléments de réduction de [T] sont donnés par : [T]= P ?R ?H(P) ?H(Q)=?H(P)+?R?--→PQ9782340-047853_001_462.indd 139782340-047853_001_462.indd 1319/04/2021 11:5719/04/2021 11:57
12 Mécanique des solides rigides
" Le vecteur?Rest appelé la résultante du torseur [T].Le vecteur
?H (P) est appelé le vecteur moment au point P ou moment au pointPdu torseur [T].Les vecteurs
?R et ?H (P) sont appelés les éléments de réduction au point P du torseur [T].1.1.3 Champ équiprojectif
Définition
Un champ
?H est équipojectif si, et seulement si, pour tout pointsAetB,ona: ?H(A).--→AB=?H(B).--→AB Théorème de Delassus : Tout champ équiprojectif est antisymétrique et récipro- quement.Remarques :
- Un torseur est un champ antisymétrique ou équiprojectif.1.1.4 Invariant scalaire ou automoment
L"invariant d"un torseur [T] est le réel, notéI S défini comme le produit scalaire des éléments de réduction de [T] au pointP: I S =?R.?H(P) L"invariant scalaire est, bien entendu, indépendant du point P.1.1.5 Invariant vectoriel
L"invariant vectoriel d"un torseur, de résultante non nulle, correspond au vecteur projection orthogonal du moment sur la résultante : ?I V =I S ?R2 ?R9782340-047853_001_462.indd 149782340-047853_001_462.indd 1419/04/2021 11:5719/04/2021 11:57
Chapitre 1. Les torseurs 13
Remarques :
- La résultante générale ?R est aussi un invariant vectoriel, en effet elle est indépendante du point P. -Si ?R ?0 , l"invariant vectoriel est le moment du torseur en un pointP,il est noté : ?I V =?H(P)1.2 Axe central
1.2.1 Définition
On appelle axe central (Δ) d"un torseur[T]de résultante ?R? ?0 , l"ensemble des points P où le moment?H(P) est colinéaire à la résultante?R:P/?H(P)=λ?R
oùλ=I S ?R2 est le pas du torseur.1.2.2 Équation vectorielle - Détermination géométrique
L"axe central (Δ) d"un torseur[T]est la droite parallèle à ?R dont l"équation vectorielle est donnée par : --→OP=?R??H(O) ?R2 ??R +α?R //?R =--→OP 0 +α?R9782340-047853_001_462.indd 159782340-047853_001_462.indd 1519/04/2021 11:5719/04/2021 11:57
14 Mécanique des solides rigides
1.3 Opérations sur les torseurs
1.3.1 Egalité
Deux torseurs sont égaux s"ils ont mêmes éléments de réductions en un point, réciproquement s"ils ont mêmes éléments de réduction en un point, alors ils sontégaux :
Deux torseurs [T
1 ]et [T 2 ] sont égaux? ?R 1 =?R 2 ?H 1 (P)=?H 2 (P)1.3.2 Addition de deux torseurs
La somme de deux torseurs[T
1 ]et[T 2 ]au même point P est le torseur[T]défini par : [T]=[T 1 P +[T 2 P P ?R=?R 1 +?R 2 ?H(P)=?H 1 (P)+?H 2 (P)1.3.3 Multiplication d"un torseur par un scalaire
La multiplication d"un torseur[T]par un scalaireλest le torseur[T 1 ]défini par :9782340-047853_001_462.indd 169782340-047853_001_462.indd 1619/04/2021 11:5719/04/2021 11:57
Chapitre 1. Les torseurs 15
[T 1 ]=λ[T] P P ?R 1 =λ?R ?H 1 (P)=λ?H(P)1.3.4 Produit ou comoment
Le produit ou comoment de deux torseurs [T
1 ]et[T 2 ] est le scalaire défini par : [T 1 ]?[T 2 ?R 1 ?H 1 (P) ?R 2 ?H 2 (P) =?R 1 .?H 2 (P)+?R 2 .?H 1 (P) Ce nombre est aussi un invariant scalaire, il est indépendant du point P.1.4 Torseurs particuliers
Il existe deux torseurs particuliers que l"on retrouve souvent dans les exercices. Ce sont deux torseurs simples que l"on appelle les glisseurs et les couples.1.4.1 Glisseur
On appelle glisseur et on le note [G], tout torseur [T], de résultante ?R non nulle et dont le moment en un pointPest nul. [T] est un glisseur [G]? P ?R?=?0 ?H(P)=?0 On remarque que pour ce torseur l"invariant scalaireI s = 0. On dit qu"un torseur est un glisseur siI s =0et?R?=0Axe central d"un glisseur
La droite (Δ) = (P,?R) est appelée axe du glisseur ou axe central du glisseur et le torseur y prend des valeurs nulles.Propriété importante
S"il existe deux points tels que le moment est nul en ces deux points, alors l"axe central passe par ces deux points.9782340-047853_001_462.indd 179782340-047853_001_462.indd 1719/04/2021 11:5719/04/2021 11:57
16 Mécanique des solides rigides
1.4.2 Couple
Un torseur [T] est un couple [C], si et seulement si, sa résultante ?R est nulle et dont le moment en un point P est non nul. [T] est un couple [C]? P ?R=?0 ?H(P)?=0 - Un couple n"admet pas d"axe central . - Le champ antisymétrique associé à un couple [C] est uniforme : ?H(P)=--→Cte. L"invariant scalaire est également nul pour ce torseur. Un couple est le torseur tel queI s =0et?H(P)?=0. Un torseur [T] est un couple [C], si et seulement si, sa résultante ?R est nulle et dont le moment en un point est non nul.1.4.3 Torseur nul
C"est un torseur pour lequel la résultante
?R ?0 et le moment en tout point P, ?H(P)=?0.9782340-047853_001_462.indd 189782340-047853_001_462.indd 1819/04/2021 11:5719/04/2021 11:57
Chapitre 2
Cinématique du solide
2.1 Paramétrage d"un solide - Angles d"Euler
2.1.1 Paramètres de position
La position et l"orientation d"un solide dans l"espace, sont définies par au maxi- mumsix paramètresappelésparamètres de position. Ce sont les compo- santes d"un point lié au solide et trois composantes de rotation.2.1.2 Equations de liaison
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