[PDF] [PDF] Chapitre II Interpolation et Approximation

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ChapitreII

InterpolationetApproximation

c.-`a-d.,oncherche ?????avec? ???satisfont

Bibliographiesurcechapitre

AcademicPress,NewYork.[MA65/4]

Etantdonn´esles

?????points(0.1)o`ules chercheunpolynˆome ?????dedegr´e ?quisatisfasse Cas ?????.Lepolynˆomededegr´e ?(unedroite)quipassepar ?(1.2) Cas ?(une parabole)quipasseparlestroispoints ?)`a ???et ???,onan´ecessairement 2405
(1.3)

24InterpolationetApproximation

246810

-50510

Lecoefficient

?estd´etermin´epar? ???????de? ???????et diviserpar ?(1.4)

Unexemplepourlecas

?????avecdes cas D ???distincts)ond´efinit ?quipasseparles ?????points ???sontdistincts,estuniqueetdonn´epar D

´emonstration.Pour

?????et soitlepolynˆomeuniquededegr´e ?????quipassepar commedans(1.3),lepolynˆome ?????estn´ecessairementdelaforme o`u ?estd´etermin´epar?

InterpolationetApproximation25

Pourmontrerque

´egalementlepolynˆomededegr´e

quipassepar

Ils'agitd'unpolynˆomededegr´e

?quisatisfaitlacondition(1.1)pourlepoint ???(ici,lefacteur ???(ici,lefacteur (ici,lesdeuxpolynˆomes? ???????et? ???????sont´egaux`a ???).Parl'unicit´edupolynˆome d'interpolationonaalors ?????.Encomparantlecoefficientde ?dans(1.7)avecceluide (1.6),nousobtenons cequid´emontrelaformule(1.5).

Remarque.L'ordredes?

permutelesdonn´ees etpourles ?????choisisdansl'ordre?

Enobservantque

tableauII.1.

26InterpolationetApproximation

?????de lafin.Pourcechoix,lesexpressions divis´eesestmoinsimportante.

II.2Erreurdel'interpolation

Supposonsquelespoints

´etudionsalorsl'erreur

?????dupolynˆomed'interpolation? ?????.Deuxexemplessontdonn´es droitepourlafonction ???????enune courbepointill´ee. 02468
-101 -4-202401 ???(droite)

Lemme2.1Soit

???distincts).Alors, ilexisteun ?(2.2) D

´emonstration.Soit

?passantpar ?????.Pard´efinitionde? ?????,ladiff´erence ?????s'annuleen ?????pointsdistincts: Comme ?foisleth´eor`emedeRolle(voirlecours d'AnalyseI)etonend´eduitque ?????a ?z´erosdistinctsdans

InterpolationetApproximation27

Lemˆemeargumentappliqu´e`a

?????donne ?????a ?????z´erosdistinctsdans etfinalementencore ?z´erodans

Notonscez´erode

?dans

Th´eor`eme2.2Soit

?????lepolynˆomed'interpo- lationdedegr´e ?quipassepar ?(2.4) D

´emonstration.Si

???????pourunindice????? ?dans ???etmontronslaformule(2.4) pour ?????dedegr´e ?????quipassepar etpar ?????.LaformuledeNewtondonne ?????(2.5) etsil'onpose ?,onobtientler´esultat(2.4)pour ?car?? ???.Comme? ?est ?`emed´eriv´eede estmajor´eepar ?,onaque parexemple

Pourledeuxi`emeexemple,

??,la ?`emed´eriv´eeestdonn´eepar quiestmaximalepour ???.Onobtientainsi

Alors,l'erreurpeutˆetre

28InterpolationetApproximation

II.3PolynˆomesdeChebyshev

ladivision ?donn´e,ladivisionde

Exemple3.1Consid´eronsl'intervalle

?????,etunedistributionsym´etriquedes ???.Oncherchealors? ?????satisfaisant(3.1).Nousvoyonsen figureII.3que,pour ?????,nousavons ???;puiscettevaleurdiminuequand ?croˆıt,jusqu'au momento`ulacourbetouchelesbornes ??et ??`al'int´erieurde -101 -11 -101 -11 -101 -11 -101 -11

FIG.II.3:Valeursmaximalesde?????

Pour D Pour (projectionducosinussuruntambour). a)Lesfonctions ???????satisfontlar´ecurrence

Parcons´equence,

???????estunpolynˆomededegr´e ?dontlecoefficientde ?est c.- `a-d., b) c) ?pour? d) ???pour?

InterpolationetApproximation29

-101 e)Lespolynˆomes ?si si si D sil'onpose

Lemme3.3Soit

?????unpolynˆomededegr´e ?dontlecoefficientde ?est ?????(commepourle polyn

ˆomedeChebyshev)etsoit

???????.Alors, D (voirlafigurepour ?????)etconsid´eronsladiff´erence ???????.Cettefonctions'annuleaumoins -101 (3.5)

Alors,

?????poss`ede ?z´erosdans estunpolynˆomededegr´e ?????(lecoefficientde ?estlemˆemepour ?????et ???????),ceciestune contradiction`a

30InterpolationetApproximation

Lelemmepr´ec´edentmontreque

sietseulementsiquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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