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Chapitre II Interpolation et Approximation Le probl`eme de l'interpolation consiste `a chercher des fonctions “simples” (polyn?mes poly-

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Interpolation et Approximation Cotes le publia comme dernier chapitre II 2: Fac-similé du calcul de Newton pour le probl`eme de l'interpolation

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Figure 1: Interpolation polynomiale et approximation d'un nuage de points Page 2 1 Forme de Lagrange du polynôme d'interpolation Soit a = x0

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Pourquoi les polynômes ? 1 Théor`eme d'approximation de Weierstrass : pour toute fonction f définie et continue sur l'intervalle [a b]

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forme (xi ;f (xi )) 0 ? i ? n peut-on construire une approximation ? (polynômes polynômes par morceaux polynômes trigonométriques )

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Approximation et interpolation des fonctions différentiables de plusieurs variables Dans le chapitre II nous démontrons tout d'abord quelques résultats

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Plan du Chapitre 1 Introduction 2 Polynômes de Lagrange 3 Polynômes de Newton 4 Erreur d'interpolation 5 Conclusion

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Chapitre 2 : Interpolation polynomiale 2 1 Approximation d'une fonction par son polynôme de Taylor au voisinage d'un point

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?i p(xi) ? fi2 soit minimal • On cherche `a calculer une intégrale dont on ne conna?t pas explicitement sa valeur Par exemple on approche cette comme

Chapitre II Interpolation et Approximation

Chapitre II Interpolation et Approximation Probleme de l’interpolation :` on recherche des fonctions “simples” (polynoˆmes polynoˆ mes par morceaux polynoˆmes trigonome´triques) passant par (ou proche) des points donne´s (x0y0)(x1y1) (xnyn) (0 1) c -a`-d on cherchep(x) avec p(xi) = yipour i= 01 n

Université de Genève - Université de Genève

Learn the basics of interpolation and approximation with this chapter from a course on numerical analysis featuring examples and exercises (PDF)

ChapitreII

InterpolationetApproximation

(0.1) (0.2)

Bibliographiesurcechapitre

AcademicPress,NewYork.[MA65/4]

pour(1.1) (1.2) parabole)quipasseparlestroispoints,, et,onan´ecessairement 24
0 5 (1.3)

24InterpolationetApproximation

246810

!5 0 5 10 diviserpar)nousdonne (1.4) (1.5) (1.6)

InterpolationetApproximation25

´egalementlepolynˆomededegr´e

(1.7) (1.6),nousobtenons cequid´emontrelaformule(1.5). tableauII.1.

26InterpolationetApproximation

divis´eesestmoinsimportante.

II.2Erreurdel'interpolation

(2.1) courbepointill´ee. 02468
!1 0 1 !4!2024 0 1 ilexisteuntelque (2.2) pour d'AnalyseI)etonend´eduitque az´erosdistinctsdans

InterpolationetApproximation27

Lemˆemeargumentappliqu´e`adonne

az´erosdistinctsdans etfinalementencore az´erodans

Notonscez´erodepar.Alors,ona

(2.3) telque (2.4) pour. etpar.LaformuledeNewtondonne (2.5) `eme d´eriv´eede estmajor´eepar,onaque parexemple ou

Pourledeuxi`emeexemple,,la

`eme d´eriv´eeestdonn´eepar quiestmaximalepour.Onobtientainsi

28InterpolationetApproximation

II.3PolynˆomesdeChebyshev

`eme d´eriv´eede ladivision. estminimal.(3.1) !101 !1 1 !101 !1 1 !101 !1 1 !101 !1 1

FIG.II.3:Valeursmaximalesde

Pouretpour,ond´efinit

(3.2) (projectionducosinussuruntambour). a)Lesfonctionssatisfontlar´ecurrence (3.3) c.-`a-d.,. b)pour. c)pour. d)pour. 1

InterpolationetApproximation29

!101 si si si. polynˆomedeChebyshev)etsoit.Alors, (3.4) .Cettefonctions'annuleaumoins !101 (3.5) contradiction`a.

30InterpolationetApproximation

Lelemmepr´ec´edentmontreque

estminimal sietseulementsi,c.-`a-d.,si (3.6) ,quienvoiel'intervallesur.Onobtientalors seulementsi (3.7) !.5.0.5 !.5 .0 .5 1.0 !.5.0.5 !.5 .0 .5 1.0

II.4Convergencedel'interpolation

Leph´enom`enedeRunge(1901).

2 (4.1) 2quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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