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Feuille d"exercices : Formulations Faibles

Exercice1.Soitun ouvert régulier de classeC1. On supposerau,v,Á,Ãet¾suffisamment dérivables

à chaque fois. À l"aide de la formule de Green, montrez les formules suivantes

1.La formule du Laplacien

Z

¢u(x)v(x)dxAE¡

Z ru(x)¢rv(x)dxÅ Z @u @n(x)v(x)ds, oùruAE

³@u

@xi

1·i·dest le vecteur gradient de u, et@u

@nAEru¢n.

2.La formule de Stokes :

Z div¾(x)Á(x)dxAE¡ Z

¾(x)¢rÁ(x)dxÅ

Z @¾(x)¢n(x)Á(x)ds.

3.La formule du rotationnel :

Z rotÁ¢Ãdx¡ Z

Á¢rotÃdxAE¡

Z @(Á£n)¢Ãds, où le rotationnel est défini par rotÁAE

µ@Á3

@x2¡@Á2 @x3,@Á1 @x3¡@Á3 @x1,@Á2 @x1¡@Á1 @x2

Exercice 2.Donnez la formulation variationnelle du système suivant (équation de Helmholtz) dans

H1(), où kÈ0:(

¢uÅk2uAEf()

@nuAE0 (¡:AE@) Faites de même en remplaçant la condition aux limites sur@par (ıAEp¡1) : @nu¡ıkuAE0. Exercice 3.SoitAE]1,1[. Montrez que la fonction valeur absoluef:x7!jxjest dansH1()et calculez

sa dérivée faible, que lon note f0. Est-ce que f02H1()? Si oui, calculez sa dérivée faible.

Exercice 4.Plaçons nous en dimension1sur l"intervalleAE]¡1,1[. Montrez que l"espaceC1()... •N"est pas complet pour la normekfk1AEsupx2jf(x)j •Est complet pour la norme N(f)AEsupx2jf(x)jÅsupx2jf0(x)j

2TD 1. FORMULATIONS FAIBLES

•N"est pas complet pour la norme NH1()(f)AE¡R jf(x)j2dxÅR jf0(x)j2dx¢1/2

Pour montrer la non complétude de l"espace, nous suggérons d"étudier la suite de fonction(un)n

définit surpar

8x2,un(x)AE

8><

¡x¡1,si¡1ÇxÇ¡1/n,

x¡1,si1/nÇxÇ1. Exercice 5.Soient f2L2(), g2L2(@)et®È0. On considère le problème suivant

¡¢uÅuAEf()

@nuŮuAEg(@)

1.Donnez sa formulation variationnelle

2.Peut-on appliquer le Théorème de Lax-Milgram?

Exercice 6.Soit°:H1()!L2(@)l"application trace sur@. On considère l"espace de Sobolev des fonctions de H1()de trace nulle :

H10()AE©u2H1()tel que°(u)AE0ª.

Soient f2L2()et le problème suivant

¡¢uAEf()

uAE0 (@)

1.Donnez sa formulation variationnelle dans H10()

2.A l"aide de l"inégalité de Poincaré :

9CÈ0/8v2H10(),Ckvk2

H1()·krvk2

L2(), montrez que la formulation variationnelle admet une unique solution. 2

Correction

Exercice 1.Soitun ouvert borné et régulier de classeC1. On supposerau,v,Á,Ãet¾suffisamment

dérivables à chaque fois. À l"aide de la formule de Green, montrez les formules suivantes

1.La formule du Laplacien

Z

¢u(x)v(x)dxAE¡

Z ru(x)¢rv(x)dxÅ Z @u @n(x)v(x)ds, oùruAE

³@u

@xi

1·i·dest le vecteur gradient de u, et@u

@nAEru¢n.

2.La formule de Stokes :

Z div¾(x)Á(x)dxAE¡ Z

¾(x)¢rÁ(x)dxÅ

Z @¾(x)¢n(x)Á(x)ds.

3.La formule du rotationnel :

Z rotÁ¢Ãdx¡ Z

Á¢rotÃdxAE¡

Z @(Á£n)¢Ãds, où le rotationnel est défini par rotÁAE

µ@Á3

@x2¡@Á2 @x3,@Á1 @x3¡@Á3 @x1,@Á2 @x1¡@Á1 @x2

Correction.

1.Nous pouvons calculer direction par direction (l"inversion somme-intégrale est rendue possible

puisqueest borné et la somme finie) : Z

¢u(x)v(x)dxAE

Z 3X jAE1 @2u @x2 j (x)v(x)dxAE 3X jAE1 Z @2u @x2 j (x)v(x)dx. Nous appliquons ensuite la formule de Green et re-regroupons les sommes : 3X jAE1 Z @2u @x2 j (x)v(x)dxAE 3X jAE1 Z @u @xj(x)@v @xj(x)dxÅ Z @u @xj(x)v(x)nj(x)dx

AE ¡

Z 3X jAE1 @u @xj(x)@v @xj(x)dxÅ Z 3X jAE1

·@u

@xj(x)nj(x) v(x)dx

AE ¡

Z ru(x)¢rv(x)dxÅ Z @(ru(x)¢n(x))v(x)nj(x)dx. Commeru(x)¢n(x)AE@nu(x), le résultat est démontré.

4TD 2. CORRECTION

2.Nous appliquons la même idée :

Z div¾(x)Á(x)dxAE Z 3X jAE1 @¾j @xj(x)Á(x)dx AE 3X jAE1 Z @¾j @xj(x)Á(x)dx.

À l"aide de la formule de Green, nous obtenons

3X jAE1 Z @¾j @xj(x)Á(x)dxAE 3X jAE1 Z

¾j(x)@Á

@xj(x)dxÅ Z @¾j(x)Á(x)nj(x)ds

AE ¡

Z 3X jAE1

¾j(x)@Á

@xj(x) dxÅ Z 3X jAE1

AE ¡

Z

¾(x)¢rÁ(x)dxÅ

Z @(¾(x)¢n(x))Á(x)ds.

3.Pour simplifier, nous notons@jAE@

@xj: Z rotÁ¢ÃdxAE Z

£@2Á3¡@3Á2

AE ¡

Z Z

£Á3n2¡Á2n3

AE ¡

Z

£@3Ã2¡@2Ã3

Z @(Á£n)¢Ãds AE Z

Á¢rotÃdxÅ

Z @(Á£n)¢Ãds

Exercice 2.Montrer que (´È0)

a(.,.):C1()£C1()!C (u,v)7! Z ru(x)¢rv(x)dxÅ´ Z u(x)v(x)dx, est un produit scalaire surC1().

Correction.Du fait de la linéarité de l"intégrale,a(¢,¢) est clairement linéaire à gauche et anti-linéaire

à droite : c"est une forme sesquilinéaire. Il ne nous reste à montrer que deux autres propriétés (en

utilisantzzAEjzj2) : a(u,u)AE Z jru(x)j2dxÅ Z ju(x)j2dx¸0. Enfin, sia(u,u)AE0 alors, en tant que somme de termes positifs, cela implique queR ju(x)j2dxAE

0AEkukL2(). Il ne nous reste plus qu"à montrer queuest nulle dansC1(). Supposons qu"il existe

5 x02tel queju(x0)jÈ0. Commejujest continu sur, alors il existe un ouvertUautours dex0tel queju(x)jÈ0 dansU. Par suite, nous avons que Z ju(x)j2dx¸ Z

Uju(x)j2dxÈ0,

Exercice 3.Donnez la formulation variationnelle du système suivant (équation de Helmholtz) dans

H1(), où kÈ0:(

¢uÅk2uAEf()

@nuAE0 (¡:AE@) Faites de même en remplaçant la condition aux limites sur@par (ıAEp¡1) : @nu¡ıkuAE0.

Correction.En multipliant par (le conjugué d") une fonction testvet en intégrant suret en utilisant

le fait que@nuAE0 sur@, nous obtenons Z

¢u(x)v(x)dxÅ

Z k2u(x)v(x)dxAE Z f(x)v(x)dx Z ru(x)rv(x)dxÅ Z @@nu(x)v(x)dsÅk2Z u(x)v(x)dxAE Z f(x)v(x)dx Z ru(x)rv(x)dxÅk2Z u(x)v(x)dxAE Z f(x)v(x)dx

La formulation faible s"écrit alors8<

Trouveru2H1() tel que

8v2H1(),¡

Z ru(x)rv(x)dxÅk2Z u(x)v(x)dxAE Z f(x)v(x)dx. Si la condition sur@change en@nu¡ıkuAE0 alors la formulation faible devient 8<

Trouveru2H1() tel que

8v2H1(),¡

Z ru(x)rv(x)dxÅk2Z u(x)v(x)dxÅık Z @u(x)v(x)dsAE Z f(x)v(x)dx. Exercice 4.SoitAE]1,1[. Montrez que la fonction valeur absoluef:x7!jxjest dansH1()et calculez

sa dérivée faible, que lon note f0. Est-ce que f02H1()? Si oui, calculez sa dérivée faible.

Correction.La fonction valeur absoluefest contiune suret dérivable sur ]¡1,0[ et sur ]0,1[. Nous

montrons quefadmet une dérivée faible danstout entier. Prenons une fonction'deC1c() : Z f(x)'0(x)dxAE Z0

¡1f(x)'(x)dxÅ

Z1

0f(x)'(x)dx.

Sur ]¡1,0[,fadmet une dérivée forte qui vaut¡1, qui est aussi sa dérivée faible. De même sur ]0,1[

pourx2]¡1,0[ etg(x)AE1 pourx2[0,1[, nous avons : Z f(x)'0(x)dxAE¡ Z0

¡1g(x)'(x)dx¡

Z1

0g(x)'(x)dxAE

Z g(x)'(x)dx.

6TD 2. CORRECTION

Cette relation étant valable pour tout'deC1c(), nous en déduisons quegest la dérivée faible defet

donc quef2H1(). La fonctiongest dansL2() et supposons queg2H1(), autrement dit, qu"elle admet une dérivée faibleh2L2(), c"est à dire

8'2C1c(),

Z g(x)'0(x)dxAE¡ Z h(x)'(x)dx. Plaçons nous sur [0,1[ uniquement (gy est continue et constante de valeur 1), nous avons

8'2C1c(),

Z1

0g(x)'0(x)dxAE

Z1 xAE0AE¡'(0), car'(1)AE0 du fait que'est dansC1c(). De même sur ]¡1,0[, nous avons

8'2C1c(),

Z0

¡1g(x)'0(x)dxAE¡

Z0 xAE¡1AE¡'(0), Nous obtenons ainsi une première relation, pour tout'deC1c() : Z h(x)'(x)dxAE¡ Z g(x)'0(x)dxAE¡ Z0

¡1g(x)'0(x)dx¡

Z1

0g(x)'0(x)dxAE2'(0).

Prenons maintenant des fonctions'deC1c() particulières, à support dans ]¡1,0[ uniquement.

Autrement dit, ces fonctions'sont nulles sur [0,1[ et en particulier en 0, mais la relation ci-dessus

reste valable, et nous obtenons Z h(x)'(x)dxAE Z0

¡1h(x)'(x)dxAE¡

Z0

¡1g(x)'0(x)dxAE

Z0

¡1'0(x)dxAE2'(0)AE0

Ainsi, nous avons montré que, pour tout fonction'2C1c([¡1,0[), alorsR0

¡1h(x)'(x)dxAE0. Ce qui

signifie quehAE0 presque partout dans ]¡1,0[. Nous faisons de même sur ]0,1[ pour obtenir quehAE0

presque partout dans ]0,1[ et par suite presque partout dans. Ceci est absurde, puisqu"alors, nous avons

8'2C1c(),

Z h(x)'(x)dxAE0AE2'(0). Exercice 5.Plaçons nous en dimension1sur l"intervalleAE]¡1,1[. Montrez que l"espaceC1()... •N"est pas complet pour la normekfk1AEsupx2jf(x)j •Est complet pour la norme N(f)AEsupx2jf(x)jÅsupx2jf0(x)j •N"est pas complet pour la norme NH1()(f)AE¡R jf(x)j2dxÅR jf0(x)j2dx¢1/2

Pour montrer la non complétude de l"espace, nous suggérons d"étudier la suite de fonction(un)n

définit surpar

8x2,un(x)AE

8><

¡x¡1,si¡1Çx·¡1/n,

x¡1,si1/n¸xÇ1. 7 Correction.Montrons la complétude pour la normeN. Montrons tout d"abord queC0() est complet pour la norme infiniek¢k1. En effet, prenons une suite de Cauchy (un)ndeC0() pour cette norme : ou encore

Cette expression implique que, àxfixé, la suite (un(x))nest de Cauchy dansR, qui est complet. Cela

implique que, pour toutx, la suite (un(x))nconverge vers un point deRque l"on nommeu(x), oùu est une application dedansR. La suite (un)nest de Cauchy, par conséquent, nous avons, en faisant tendrepvers l"infini : ce qui montre que (un)nconverge uniformément versu, et donc queuest continu. Revenons àC1() et la normeN. Prenons une suite de Cauchy (un)ndeC1() pour la normeN: Chaque termekun¡upk1etku0n¡u0pk1est positif, et nous avons donc

8"È0:9NÈ0:8n,pÈN,

kun¡upk1Ç" ku0n¡u0pk1Ç". En d"autres termes, les suites (un)net (u0n)nsont de Cauchy dansC0(). Elles convergent donc toutes

deux vers respectivementuetv, éléments deC0(), pour la normek¢k1. De ce qui précède, nous

pouvons montrer que les suites de fonction (un)net (u0n)nconvergent uniformément versuetv, ce qui implique queuest dérivable etu0AEv. Montrons maintenant la non-complétude deC1() pour les deux autres normes, à l"aide de la suite de fonctions proposée :

8n2N,8x2,un(x)AE

8>

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