[PDF] Chapitre 5 ´ETUDE MATH´EMATIQUE DES PROBL`EMES

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Chapitre 5

ETUDE MATHEMATIQUE DES

PROBLEMES ELLIPTIQUES

Exercice 5.2.1A l'aide de l'approche variationnelle demontrer l'existence et l'unicite de la solution de u+u=fdans u= 0sur@ (5.1) ou est un ouvert quelconque de l'espaceRN, etf2L2( ). Montrer en particulier que l'ajout d'un terme d'ordre zero au Laplacien permet de ne pas avoir besoin de l'hypothese que est borne.

Correction.

1erEtape. Recherche de la formulation variationnelle.On multiplie l'equation veriee parupar une fonction testvnulle sur@

. Par integration par partie, on obtient que Z ru rv+uvdx=Z fv dx: An que cette expression ait un sens, il sut de choisiruetvdansH10( ). Le probleme variationnel associe a l'equation (5.1) consiste donc a determineru2 H 10( ) tel que a(u;v) =L(v) pour toutv2H10( ou a(u;v) =Z ru rv+uvdx et

L(v) =Z

fv dx: 2eme

Etape. Resolution du probleme variationnel.La continuite dea(;) etL(:) est evidente de m^eme que la coercivite de la forme

bilineairea(;). En eet, a(u;u) =kuk2

H1(R2):

57

58CHAPITRE 5. PROBLEMES ELLIPTIQUES

Les hypotheses du Theoreme de Lax-Milgram sont reunies. Il existe donc une so- lution unique au probleme variationnel. On verie enn en eectuant les m^eme integrations par partie que lors de la premiere etape queruest un element de H(div) (voir cours,4.4.2) et queu+u=fen tant qu'elements deL2( ) et donc presque partout dans . Enn, commeu2H10( ), et que est un ouvert regulier, la trace deuest bien denie etu= 0 presque partout sur@

Exercice 5.2.2Soit

un ouvert borne deRN. A l'aide de l'approche variationnelle demontrer l'existence et l'unicite de la solution du probleme suivant de convection- diusion

V ruu=fdans

u= 0sur@ (5.2) ouf2L2( )etVest une fonction reguliere a valeurs vectorielles telle quedivV= 0 dans

Correction.

1erEtape. Recherche de la formulation variationnelle.On multiplie l'equation veriee parupar une fonction testvnulle sur@

. Par integration par partie, on obtient la formulation variationnelle suivante :

Trouveru2H10(

) tel que a(u;v) =L(v) pour toutv2H10( ou a(u;v) =Z ru rv+ (V ru)vdx et

L(v) =Z

fv dx: 2eme

Etape. Resolution du probleme variationnel.An d'appliquer le Theoreme de Lax-Milgram, la seule hypothese non triviale

a verier est la coercivite de la forme bilineairea(;). a(u;u) =Z ru rv+ (V ru)udx

La diveregnce deVetant nulle, on a

Z (V ru)udx=Z div(uV)udiv(V)juj2dx Z div(uV)udx

Par integration par partie et commeu= 0, il vient

Z (V ru)udx=Z (V ru)udx: 59

Ainsi,

Z (V ru)udx= 0 et a(u;u) =kruk2 L2( La coercivite dea(;) se deduit alors de l'inegalite de Poincare.

3emeEtape.Equivalence avec l'equation.Z

ru rv dx=Z fv(V ru)vdx:

Ainsi, en majorant le membre de droite,

Z ru rv dx(kfkL2( )+kVkL1( )kukH1( ))kvkL2( etruest un element deH(div). On en deduit donc par integration par partie que u+V ru=fen tant qu'elements deL2(

Enn, commeu2H10(

), on au= 0 sur@ Exercice 5.2.3On reprend les notations et hypotheses de l'Exercice5.2.2. Montrer que toutv2H10( )verieZ vV rv dx= 0: Montrer que la solution de la formulation variationnelle du probleme de convection dif- fusion ne minimise pas dansH10( )l'energie

J(v) =12

Z jrvj2+vV rvdxZ fv dx: Correction.On a d'ores et deja prouve dans l'exercice precedent que Z vV rv dx= 0 pour toutv2H10( ). Ainsi,

J(v) = 1=2Z

jrvj2+v(V rv)dxZ fv dx = 1=2Z jrvj2dxZ fv dx:

Or le minimiseurusurH10(

) deJest solution du probleme aux limites u=fdans u= 0 sur@

60CHAPITRE 5. PROBLEMES ELLIPTIQUES

et n'a donc aucune raison (sauf cas exceptionnel) d'^etre solution du probleme aux limites

V ruu=fdans

u= 0 sur@ Exercice 5.2.4On considere a nouveau le probleme aux limites u=fdans u= 0sur@ (5.3) ou est un ouvert borne de l'espaceRN, etfest un second membre qui appartient a l'espaceL2( ). On suppose que l'ouvert est symetrique par rapport a l'hyperplan x N= 0de m^eme que la donneef(i.e.f(x0;xN) =f(x0;xN)). Montrer que la solution de (5.3) a la m^eme symetrie. Montrer que (5.3) est equivalent a un probleme aux limites pose sur \ fxN>0gavec une condition aux limites de Neumann sur \ fxN= 0g. Correction.Deux approches sont possibles. On peut raisonner soit directement sur l'equation aux derivees partielles (5.3) soit sur la formulation variationnelle associee. Un raisonnement direct sur l'EDP (5.3) peut se justier rigoureusement, la solution etant reguliere. On obtient sans mal queuest symetrique et que la restriction de usur +est solution de la m^eme equation supplementee de conditions aux limites de Neumann homogenes sur +. On propose ici d'adopter plut^ot l'approche basee sur la formulation variationnelle. Soitsla symetrie deRNpar rapport au planxN= 0. On noteSl'application deL2( ) a valeurs dansL2( ) qui a toute fonctionv2L2( ) associe la fonction

S(v) =vs:L'applicationSest une isometrie deL2(

). De plus, la restriction deS a l'espaceH1( ) est egalement une isometrie. En eet, pour toute fonction reguliere v, on a r(S(v)) =r(vs) =rTs(rvs); et Z jr(S(v))j2dx=Z (rvs)TrsrTs(rvs)dx Commesest une isometrie deRN,rsrTsn'est autre que l'identite et Z jr(S(v))j2dx=Z j(rv))sj2dx; et donc (par simple changement de variable), Z jr(S(v))j2dx=Z jrvj2dx:(5.4)

Par densite des fonctions regulieres dansH1(

), on en deduit la relation (5.4) pour tout fonctionv2H1( ) et queSest une isometrie deH1( ). Par un raisonnement similiaire, l'ensemble des fonctionsC10( ) etant stable parS, on en deduit queS est une isometire deH10( ). Enn, la relation r(S(v)) =rTs(rvs) 61
valable pour toute fonctionvreguliere s'etend par densite a toute element deH1( Considerons la solution de l'equation de la chaleuru2H10( ) telle que Z ru rv dx=Z fv dx:

Par changmement de variablex=s(y), il vient

Z ((ru)s)((ru)s)dy=Z (fs)(vs)dy et Z (rS(u))(rS(v))dy=Z (fs)(S(v))dy:

L'applicationSetant une isometrie deH10(

), on en deduit que pour toutv2H10( Z (rS(u)) rv dy=Z (fs)v dy: Commefs=f,S(u) est solution du m^eme probleme variationnel que celui verie paruet us=S(u) =u: Reste a montrer qu'on peut reformuler le probleme verie parusur l'ouvert \xN>0. On introduit l'application de prolongementPdeL2( +) a valeur dans L 2( ) denie par

P(u)(x) :=u(x) six2

us(x) six =2 On introduit egalement l'application de restrictionRdeL2( ) dansL2( +) qui a une applicationuassocie sa retriction a +. On peut montrer aisement quePet Rdenissent des applications continues respectivement deH1( +) a valeurs dans H 1( ) et deH1( ) a valeurs dansH1( Soitula solution de l'equation de la chaleur (5.3), pour toutv2X:=P1(H10( on a Z ru rP(v)dx=Z fP(v)dx:

De plus,

Z ru rP(v)dx=Z +ru rP(v)dx+Z ru rP(v)dx Z +ru rP(v)dx+Z +((ru)s)((rP(v))s)dx Z +ru rP(v)dx+Z +r(us) r(P(v)s)dx

Orus=uetP(v)s=P(v), ainsi

Z ru rP(v)dx= 2Z +ru rP(v)dx:

62CHAPITRE 5. PROBLEMES ELLIPTIQUES

De plus, on a egalement

Z fP(v)dx= 2Z +fP(v)dx:

On a donc pour toutv2X,

Z +ru rv dx=Z +fv dx: De plus, on aRu=P1(u)2X. Ainsi, la restrictionRudeua +est solution du probleme variationnel consistant a trouverRu2Xtel que pour toutv2X, Z +rRu rv dx=Z +fv dx:

Enn, on verie sans mal que

X=fv2H1(

+) tel quev= 0 sur@ g; et donc queRuest solution de l'equation de la chaleur avec conditions aux limites de Dirichlet homogenes sur@ et de Neumann sur \ fXN= 0g. Exercice 5.2.5Demontrer que l'unique solutionu2H1( )de la formulation varia- tionnelleZ (ru rv+uv)dx=Z gv ds+Z fv dx8v2H1( ):(5.5) verie l'estimation d'energie suivante kukH1( )CkfkL2( )+kgkL2(@ ouC >0est une constante qui ne depend pas deu;fetg. Correction.Il sut d'appliquer la formulation variationnelle (5.5) a la fonction testv=u. On en deduit que kuk2 H1( )=Z jruj2+juj2dx=Z guds+Z fudx: En appliquant l'inegalite de Cauchy-Schwarz au deuxieme membre, kuk2 H1( ) kgkL2(@ )kukL2(@ )+kfkL2( )kukL2( Par le Theoreme de Trace, il existe donc une constante positiveCtelle que kuk2 H1( )CkgkL2(@ )+kfkL2( )kukH1( et kukH1( )CkgkL2(@ )+kfkL2( 63

Exercice 5.2.6On suppose que

est un ouvert borne regulier de classeC1. A l'aide de l'approche variationnelle demontrer l'existence et l'unicite de la solution du Laplacien avec une condition aux limites de Fourier u=fdans @u@n +u=gsur@ (5.6) ouf2L2( )etgest la trace sur@ d'une fonction deH1( ). On demontrera l'inegalite suivante (qui generalise celle de Poincare) kvkL2( )CkvkL2(@ )+krvkL2( )8v2H1(

Correction.

1erEtape. Recherche de la formulation variationnelle.On multiplie l'equation veriee parupar une fonction testv. Par integration

par partie, on obtient Z ru rv dxZ @u@n vds=Z fv dx:

Enn, comme@u=@n=gusur@

, on en deduit que Z ru rv dxZ (gu)vds=Z fv dx: La formulation variationnelle retenue consiste donc a trouveru2H1( ) tel que a(u;v) =L(v) pour toutv2H1( ou a(u;v) =Z ru rv dx+Z uvds et

L(v) =Z

fv dx+Z gvds: 2eme

Etape. Resolution du probleme variationnel.

An d'appliquer le theoreme de Lax-Milgram, la seule hypothese non triviale a verier est la coercivite de la forme bilineairea(;). A cet eet, on va montrer qu'il existe une constanteCtelle que pour toutv2H1( kvkL2( )CkvkL2(@ )+krvkL2( La coercivite est alors evidente. An d'etablir ce dernier resultat, on raisonne par contradiction. Supposons que pour toutn, il existevntel que kvnkL2( )> nkvnkL2(@ )+krvnkL2(

Quitte a considerer la suitevn=kvnkL2(

)au lieu devn, on peut supposer que pour toutn,kvnkL2( )= 1. Ainsi, la suitevnest bornee dansH1( ) et d'apres le theoreme

64CHAPITRE 5. PROBLEMES ELLIPTIQUES

de Rellich, il existe une sous suitevn0convergente dansL2( ) vers un elementvde H 1( ). De plus,rvn0converge vers zero dansL2( ). Ainsi,vn0est une suite de

Cauchy deH1(

),vappartient aH1( ) etrv= 0. D'apres la Proposition4.2.5, on en deduit quevest une constante sur chacune des composantes connexes de

L'application trace etant continue deH1(

) dansL2(@ ), la trace devsur le bord de est egale a la limite des traces devn0sur le bord de . Or limnkvn0kL2(@ )= 0, ainsiv= 0 sur@ . Finalement,vetant constante sur chacune de ces composantes connexes,v= 0 dans tout , ce qui contredit le fait quekvkL2( )= 1. 3eme

Etape.Equivalence avec le probleme aux limites.Tout d'abord, on etablit en appliquant la formulation variationnelle a des ele-

mentsv2C1c( ) queruest un element deH(div) et par integration par partie que u=fdans

De plus, pour toute fonctionv2H1(

Z @u@n +u v ds=Z (u)v+ru rvdx+Z uv ds Z fv+ru rvdx+Z uv ds=Z gvds: On en deduit en particulier que@u=@nest un element deL2(@ ) et que @u@n +u=gpresque partout sur@

Remarque 5.2.1En toute rigueur, l'integraleR

@u@n +uv dsn'est a priori pas correctement denie. Cependant, commeruest un element deH(div), il admet une trace normale sur@ . Ainsi, le calcul precedent reste valable en toute generalite quitte a remplacer l'integrale de bord par le crochet de dualite @u@n +u;v H

1=2;H1=2.

Enn, comme on prouve nalement que@u=@nappartient aL2(@ ), l'utilisation de l'integraleR @u@n +uv dsest justiee a posteriori.

Exercice 5.2.7On suppose que

est un ouvert borne connexe. A l'aide de l'approche variationnelle demontrer l'existence et l'unicite de la solution du Laplacien avec des conditions aux limites m^elees 8< :u=fdans @u@n = 0sur@ N u= 0sur@

D(5.7)

ouf2L2(quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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