[PDF] METHODES DAPPROXIMATION DES EQUATIONS AUX

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Master Madocs M2, 2009/2010 1

METHODES D"APPROXIMATION

DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

DAVEAU CHRISTIAN

100.20.40.60.810

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Temps t= 0.44118

LDG uex

00.20.40.60.810

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Temps t= 0.5

LDG uex 1

Universit´e de Cergy-Pontoise, D´epartement de math´ematique, 95302, Cergy-Pontoise, cedex France.

2 Master Madocs M2

Table des mati`eres

1 Introduction 7

1.1 D´efinition d"une ´equation aux d´eriv´ees partielles (e.d.p) . . . . . . . . 7

1.2 Exemples et classification si l"ordre est·2. . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Approximation de probl`emes elliptiques par la m´ethode des diffe-

rences finies 9

2.1 Introduction du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 En une dimension d"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Principe de la m´ethode des diff´erences finies (DF) . . . . . . . 9

2.2.2 Etude math´ematique de la m´ethode des DF : stabilit´e au sens

de la normel1, consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 En deux dimension d"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Approximation de probl`eme hyperbolique par la m´ethode des diff´erences

finies 17

3.1 Introduction du mod`ele et de quelques propri´et´es . . . . . . . . . . . 17

3.2 Premier sch´ema num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Etude de la stabilit´e au sens de la normeL2. . . . . . . . . . 18

3.2.2 Etude d"un sch´ema implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 D"autres sch´emas explicites, sch´ema saute-mouton . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Notion de CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Approximation d"un probl`eme parabolique par la m´ethode des diff´erences

finies 23

4.1 Probl`eme mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Sch´ema de Crank et Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.1 Etablissement du sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.2 Etude th´eorique du sch´ema de Crank et Nicholson : stabilit´e,

consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 TABLE DES MATI

`ERES

5 Approximation d"un probl`eme elliptique par la m´ethode des vo-

lumes finis 27

5.1 Probl`eme mod`ele, maillage volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2 Sch´ema volumes finis et notion de Flux num´erique . . . . . . . . . . . 27

5.3 Analyse math´ematique du sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Abr´eg´e de cours sur les distributions et espaces de Sobolev 33

6.1 A la d´ecouverte des fonctions ind´efiniment d´erivables `a support compact 33

6.2 Espace des fonctions int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.3 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7 Etablissement de formulations variationnelles 37

7.1 Formulation faible du probl`eme de Dirichlet homog`ene . . . . . . . . 37

7.2 Formulation faible du probl`eme de Neumann . . . . . . . . . . . . . . 38

7.3 Etude math´ematique du probl`eme variationnel . . . . . . . . . . . . . 38

7.4 Equivalence entre le probl`eme initial et le probl`eme variationnel . . . 40

7.5 Deuxi`eme exemple : probl`eme de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 Approximation par la m´ethode des ´el´ements finis 45

8.1 Principe de la m´ethode des ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.2 Strat´egie utilis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.3 Calcul effectif de la solution approch´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.4 Estimer l"erreur entreuetuh, lemme de Cea . . . . . . . . . . . . . . 48

9 Mise en oeuvre de la m´ethode en dimension 1 49

9.1 R´esolution du probl`eme continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.2 Probl`eme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.2.1 Construction de l"espaceVh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.2.2 Calcul de la solution approch´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.2.3 Calcul de la matriceA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.2.4 Calcul de b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.2.5 Programmation de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.2.6 Algorithme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.2.7 Estimation de l"erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10 M´ethode des ´el´ements finis en dimension 2 65

10.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.2 Approximation par des ´el´ements finis rectangulairesQ1. . . . . . . . 66

10.2.1 Espace discretVh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

TABLE DES MATI

`ERES 5

10.2.2 Calcul deuh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.2.3 Calcul des fonctions de base d"un rectangle quelconque . . . . 71

10.2.4 Calcul des fonctions de base du rectangle de r´ef´erence . . . . . 72

10.2.5 Exemple de calcul des blocs de la formulation . . . . . . . . . 73

10.3 Approximation par des ´el´ements finis triangulairesP1. . . . . . . . . 73

10.3.1 Espace discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.3.2 Calcul deuh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.3.3 Calcul des fonctions de base sur un triangle quelconque . . . . 76

10.3.4 Utilisation de l"´el´ement de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . 78

10.3.5 Assemblage de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10.3.6 Stockage de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11 El´ements finis : th´eorie et exemples 85

11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.2 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.2.1 Exemples d"´el´ements finis : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.3 Conditions n´ecessaires et suffisantes pour laP-unisolvance . . . . . . 86

11.4 Famille d"´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11.5 Exemples d"´el´ements finis en dim 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

11.5.1 Exemples d"el´ements finis triangulaires . . . . . . . . . . . . . 88

11.5.2 Exemples d"el´ements finis rectangulaires . . . . . . . . . . . . 88

11.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

12 M´ethode des ´el´ements finis mixtes pour le probl`eme de Dirichlet 91

12.1 Probl`eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

12.1.1 Formulation mixte du probl`eme de Dirichlet . . . . . . . . . . 91

12.2 Cadre abstrait d"une formulation mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

12.2.1 Etude math´ematique de la formulation mixte pour le probl`eme

de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

12.3 Approximation du probl`eme continu (12:2) . . . . . . . . . . . . . . . 95

12.3.1 El´ement fini de Raviart-Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

12.3.2 Espaces d"approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

12.3.3 Approximation de la formulation mixte par les ´el´ements finis

RT

0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

12.3.4 Syst`eme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6 TABLE DES MATI

`ERES

Chapitre 1

Introduction

1.1 D´efinition d"une ´equation aux d´eriv´ees partielles (e.d.p)

C"est une ´equation dont l"inconnue est une fonction et portant sur les d´eriv´ees partielles de cette fonction : l"inconnue :u:Rn!R l"´equationF(x;u(x);Du(x);:::Dpu(x)) = 08x2Rn(ou Ω) avec F:Rn£R£Rn2::£Rnp!Rest donn´ee.ps"appelle l"ordre de cette edp.

1.2 Exemples et classification si l"ordre est·2.

Les edp sont des transcriptions math´ematiques de ph´enom`enes intervenant en physique, chimie, finance, biologie....

On distingue trois grandes cat´egories d"edp :

1. les edp de type elliptique dont le prototype est l"´equation de Poisson

¡Δu(x) =nX

i=1@ 2u @x

2i(x) =f(x)8x2Ω½Rn:

2. les edp de type parabolique dont le prototype est l"´equation de la chaleur : @T @t (x;t)¡®ΔT(x;t) = 08x2Ω½Rn;8t >0; ® >0: Il s"agit d"un probl`eme d"´evolution car la variable t du temps intervient. 3. les edp de type hyperbolique dont les prototypes sont l"´equation de transport : @u @t (x;t) +a@u @x (x;t) = 08x2Ω½Rn;8t >0; a2R

8Introduction

l"´equation des ondes : 2u @t

2(x;t)¡@2u

@x

2(x;t) = 08x2Ω½Rn;8t >0:

Si on consid`ere une edp d"ordre·2 `a coefficients constants du type a @2u @x

2(x;t) +b@2u

@xy (x;t) +c@2u @y

2(x;t) +d@u

@x (x;t) +e@u @y (x;t) +f u= 0 aveca;b;c;d;e;fdes r´eels donn´es alors si la forme quadratique q(x;y) =ax2+bxy+cy2+dx+ey+f est une ellipse l"edp est dite elliptique, est une hyperbole l"edp est dite hyperbolique, est une parabole l"edp est dite parabolique.

Chapitre 2

Approximation de probl`emes

elliptiques par la m´ethode des differences finies

2.1 Introduction du mod`ele

Le probl`eme mod`ele est le suivant : soit Ω un domaine born´e deRnetfune fonction aussi r´eguli`ere que n´ecessaire de Ω `a valeurs dansR. Nous cherchonsu solution de l"´equation de Poisson :

¡Δu(x) =nX

i=1@ 2u @x

2i(x) =f(x)8x2Ω½Rn:

Il faut pr´eciser les conditions aux limites : nous prenons des conditions homog`enes de Dirichlet u(x) = 08x2@Ω o`u@Ω d´esigne la fronti`ere de l"ouvert Ω.

2.2 En une dimension d"espace

2.2.1 Principe de la m´ethode des diff´erences finies (DF)

Le probl`eme devient

¡u00(x) =f(x);0< x <1; u(0) =u(1) = 0:(1)

Exercice 1 :Montrer queu(x) =¡Rx

0F(s)ds+xR1

0F(s)dso`uFest une primitive

defest une solution de (1).

10Approximation de probl`emes elliptiques par la m´ethode des differences finies

Afin d"approcher sur ordinateur la solution de (1) nous introduisons un maillage de [0;1] : pourNfix´e, on introduit un pas de discr´etisationh= 1=(N+ 1) et nous Le but de la m´ethode num´erique consiste `a calculer des valeurs les plus exactes possibles deu(xi) pouri= 1;N. La premi`ere ´etape consiste `a trouver une formule qui permet d"approcher la d´eriv´ee¡u00en chacun des pointsxj`a l"aide des valeurs (u(xj))j=1;N. Pour cela, on utilise des d´eveloppements de Taylor deu: u(x+h) =u(x) +hu0(x) +h2 2 u00(x) +h3 6 u(3)(x) +h4 24
u(4)(Ã) avecÃ2[x;x+h]. u(x¡h) =u(x)¡hu0(x) +h2 2 u00(x)¡h3 6 u(3)(x) +h4 24
u(4)(µ)quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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