[PDF] [PDF] TD 6 EDP elliptiques EDP elliptiques Exercice 1 Identification

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Université de Rennes 1

Master 1 Mathématiques

TD 6. EDP elliptiques

Exercice 1.Identification de formulations variationnelles

On considère le problème suivant :

trouveru2Vtel que

8v2V a(u;v) =L(v)(1)

avec a(u;v) =Z 1 0 u0(x)v0(x)dx; L(v) =Z 1 0 f(x)v(x)dx+a0v(0) +a1v(1): Les données sont la fonctionf2L2(0;1), et les réelsa0eta1.

1. Étudier ce problème dans chacun des cas suivants :

V=H10(0;1); V=H1(0;1);

V=fv2H1(0;1);v(1) = 0g; V=fv2H1(0;1);v(0) = 0g;

V=fv2H1(0;1);v(0) =v(1)g; V=fv2H1(0;1);R1

0v(x)dx= 0g:

2. Dans les cas bien posés, montrer que la solutionude (1) vérifie (au sens

des distributions) une équation différentielle que l"on précisera. Montrer queu02C0[0;1]\H1(0;1). En déduire que, pour toutv2V,a(u;v) L(v)peut s"écrire sous une forme ne faisant intervenir que des termes au bord.

3. Montrer que, dans chacun des cas bien posés, (1) équivaut à un problème

différentiel à conditions au bord, que l"on précisera.

4. Montrer que

f2Hm(0;1)entraîneu2Hm+2(0;1), f2Ck([0;1])entraîneu2Ck+2([0;1]). Exercice 2.Problème de Fourier pour le Laplacien Soit RNun ouvert connexe borné régulier, on se donnef2L2( ),g2 L 2(@ )où@ est la frontière de etun réel strictement positif. On considère alors le problème elliptique suivant, avec conditions de Robin sur le bord : 8>< :u=fdans u+@u@ =gsur@ ;(2) oùest la normale unitaire à@ extérieure à et@u@ =ru.

1. Donner la formulation variationnelle de (2) en supposant la régularité

nécessaire. 1

2. Montrer qu"il existeC

>0, ne dépendant que de , telle pour tout u2H1( )on ait kuk2L2( )6C kruk2L2( )+k

0uk2L2(@

où l"on rappelle que

0est l"opérateur de trace deH1(

)dansL2(@

3. Montrer qu"il existe une unique solution au problème variationnel associé

à (2).

4. Revenir à la formulation faible.

Exercice 3.Une question de compatibilité

Soit RNun ouvert borné régulier. On considèref2L2( ),g2L2(@ )et on veut résoudre le problème 8< :u=f; @u@ =g; @ (3)

1. Donner la formulation variationnelle du problème surH1(

)et montrer qu"elle n"admet pas une unique solution.

2. On pose

V= u2H1( ) :Z u(x)dx= 0 À l"aide de l"inégalité de Poincaré-Wirtinger, montrer que la formulation variationnelle est bien posée surV.

3. Revenir à la formulation faible et montrer que la solution faible corres-

pondanteune satisfait (3) que sous une condition que doivent satisfaire fetg.

Exercice 4.Le bilaplacien

Soit RNun ouvert borné régulier. On considèref2L2( )et on veut résoudre le problème 8< 2u=f; u=@u@ = 0; @ (4)

1. Donner la formulation variationnelle du problème sur l"espace

H 20( ) =u2H2( ) :u=ru= 0sur@

2. Montrer que (4) admet une unique solution au problème variationnel.

3. Revenir à la formulation faible.

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