[PDF] Sorbonne Université Année 2019-2020 Master MPE mention

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Sorbonne Université Année 2019-2020

Master MPE mention Mathématiques et Applications Méthodes pour les EDP, P. Frey Corrigé de l"examen du 8 janvier 2020Exercice 1.Soit un ouvert borné connexe régulier de classeC1deRd. On considère le problème de

Neumann :

8< :u=f ;dans @u@n =g ;sur@ (1) oùf2L2( )etg2L2(@ )sont deux fonctions données.

1. Montrer que ce problème n"admet une solution que si les donnéesfetgsatisfont une condition de

compatibilité, que vous expliciterez.

2. En supposant que les donnéesfetgvérifient la condition de compatibilité, montrer qu"il existe une

solution faibleu2H1( )de (1) à une constante additive près.

Correction 1.La difficulté de ce problème par rapport au problème de Dirichlet est qu"il n"existe une

solution que si les donnéesfetgvérifient une condition de compatibilité. En effet, il est facile de voir

que s"il existe une solutionu2H2( ), alors en intégrant l"équation sur (ou en utilisant une formule de

Green), on a nécessairementZ

f(x)dx+Z g(s)ds= 0:(2)

Remarquons aussi que siuest solution alorsu+C, avecC2R, est aussi solution. En fait, (2) est une con-

dition nécessaire et suffisante d"existence d"une solution dansH1( ), unique à l"addition d"une constante près. Remarquons que, si l"ouvert n"est pas connexe, alors il faut écrire (2) ppour chaque composante connexe de

et l"unicité de la solution vaudra à l"addition près d"une constante par composante connexe.

Physiquement, la condition de comptabilité (2) s"interprète comme une condition d"équilibre :fcorre-

spond à une source volumique, etgà un flux entrant au bord. Pour qu"il existe un état stationnaire ou

d"équilibre (c"est-à-dire une solution du problème de Neumann), il faut que les deux termes se balancent

parfaitement. De même l"unicité "à une constante additive près" correspond à l"absence d"origine de

référence sur l"échelle qui mesure les valeurs deu. 1

Exercice 2.Soit

un ouvert borné deRd. A l"aide de l"approche variationnelle vue en cours, démontrer l"existence et l"unicité de la solution du problème de convection-diffusion : (V ruu=f ;dans u= 0;sur@ (3) oùf2L2( )etVest une fonction régulière à valeurs vectorielles telle que div(V) = 0dans

Correction 2.On procède en trois étapes :

1.recherche de la formulation variationnelle.

On multiplie l"équation vérifiée parupar une fonction testvnulle sur@ . Par intégration par partie, on obtient la formulation variationnelle suivante :

Trouveru2H10(

)telle que a(u;v) =l(v)pour toutv2H10( où a(u;v) =Z (ru rv+ (V ru)v)dx et l(v) =Z fv dx:

2.résolution du problème variationnel.

Afin d"appliquer le théorème de Lax-Milgram, la seule hypothèse non triviale à vérifier est la coer-

civité de la forme linéairea(;). a(u;u) =Z (ru ru+ (V ru)u)dx:

La divergence deVétant nulle, on a

Z (V ru)udx=Z (div(uV)udiv(V)juj2)dx Z div(uV)udx

Par intégration par parties, et commeu= 0sur@

, il vient Z (V ru)udx=Z (V ru)udx:

Ainsi,

Z (V ru)udx= 0 et a(u;u) =kruk2L2( La coercivité dea(;)se déduit alors de l"inégalité de Poincaré.

3.équivalence avec l"équation.

Z ru rv dx=Z (fv(V ru)v)dx: 2

Ainsi, en majorant le membre de droite,

Z ru rv dx(kfkL2( )+kVkL1( )kukH1( )kvkH1( etruest une élément deH(div). On en déduit donc par intégration par parties que u+v ru=fen tant qu"éléments deL2( Exercice 3.Démontrer que l"unique solutionu2H1( )de la formulation variationnelle, pour tout v2H1( ):Z (ru rv+uv)dx=Z gv ds+Z fv dx(4) vérifie l"estimation d"énergie suivante : kukH1( )CkfkL2( )+kgkL2(@ )(5) oùC >0est une constante qui ne dépend pas deu,fetg. Correction 3.Il suffit d"appliquer la formulation variationnelle (5) à la fonction testu=v. On en déduit que : kuk2H1( )=Z (jruj2+juj2)dx=Z guds+Z fudx: En appliquant l"inégalité de Cauchy-Schwarz au deuxième membre, kuk2H1( ) kgkL2(@ )kukL2(@ )+kfkL2( )kukL2( Par le théorème de trace, il existe donc une constante positiveCtelle que : kuk2H1( )CkgkL2(@ )+kfkL2( )kukH1( et kukH1( )CkgkL2(@ )+kfkL2( Exercice 4.Appliquer la méthode des éléments finisP1au problème de Dirichlet : (u00=fdans]0;1[ u(0) =; u(1) = :(6)

Vérifier que les conditions aux limites de Dirichlet non homogènes apparaissent dans le second membre

du système linéaire qui en résulte.

Correction 4.La formulation variationnelle, issue de l"utilisation des éléments finisP1, consiste à déter-

miner : u h2Vh:=vh2C0([0;1];R);vhj[xi;xi+1]2P1pour touti2 f0;;ng; oùxi=i=(n+ 1)tel que Z 1 0 u0hv0hdx=Z 1 0 fv hdxpour toute fonctionvh2V0h=Vh\H10(0;1); 3 et u h(0) =; uh(1) = : On note(phii)i=0;;n+1la base deVhdéfinie pari(xj) =i;j. En utilisantjcomme fonction test, on obtient à l"aide de la formulation variationnelle que pour tout0< j < n+ 1, n+1X i=0(uh)iZ 1 0

0i0jdx=Z

1 0 f jdx; où(uh)isont les coordonnées deuhdans la base(phii). Les conditions aux limites impliquent que (uh)0=et(uh)n+1=, ainsi n X i=1(uh)iZ 1 0

0i0jdx=Z

1 0 f jdxZ 1 0 (00+0n+1)0jdx: DéterminerUh= ((uu)i)1inconsiste donc à résoudre le système linéaire A hUh=bh; où la matrice A h=1h 0 B

BBBB@21 0

1 21 1 21 01 21 C

CCCCA(7)

est identique à celle obtenue avec des conditions de Dirichlet homogènes, tandis que le second membre

est défini par (bh)i=Z xx+1 x i1f idx;pour tout1< i < n; (bh)1=h +Z x2 0f 1dx (bh)n=h +Z 1 x n1f ndx: Exercice 5.On considère le problème de Neumann en dimension 1 : (u00=fdans]0;1[ u

0(0) =; u0(1) = :(8)

1. Montrer que la matrice du système linéaire issu de la méthode des éléments finisP1est singulière.

(Indication: on pourra montrer que la matrice est auto-adjointe et positive mais pas définie).

2. Montrer que l"on peut quand même résoudre le système linéaire si les données vérifient la condition

de compatibilité :Z1 0 f(x)dx= ; et que cette condition est préservée si l"on utilise les formules de quadrature. 4 Correction 5.Le système linéaire obtenu est : A hUh=bh;(9) où A h=1h 0 B

BB@11 0

1 21 0111
C CCA etbhest défini par : (bh) =Z xi+1 x i1f(x)i(x)dxpour tout1in; (bh) =Z 1 0 f(x)0(x)dx; (bh) =Z 1 0 f(x)n+1(x)dx ; La matriceAhest auto-adjointe et positive. En effet, pour toutv(i)2Rn+2on a : A hvv=h1 (v0v1)v0+ (vn+1vn)vn+1+nX i+1(vi+1+ 2vivi1)vi! =h1 (v0v1)v0+ (vn+1vn)vn+1+nX i=1(vivi+1)vi+ (vivi1)vi! =h1 v

0v1)v0+ (vn+1vn)vn+1+nX

i=1(vivi+1)vi+n1X i=0(vi+1vi)vi+1! =h1 (v0v1)2+ (vn+1vn)2+n1X i+1(vivi+1)2! =h1nX i=0(vivi+1)2:

Mais,Ahn"est pas définie. De l"expression précédente, on déduit queAhvv= 0si et seulement si

v i=vi+1pour touti= 0;:::;n. Ainsi, le noyau de l"applicationAhest l"espace vectoriel de dimension

un engendré par(1;:::;1). Le système linéaire (9) admet une solution si et seulement sibh2(1;:::;1)?,

c"est-à-dire sin+1X i=0(bh)i= 0: D"après l"expression debh, cette condition équivaut à Z 1 0 f(x)dx+=n+1X i=0Z 1 0 f(x)i(x)dx+=n+1X i=0(bh)i= 0: 5 Exercice 6.On considère le carré]1;+1[2maillé comme sur la Figure 1.

Calculer la matrice de rigiditéAhdes éléments finisP1appliqués au problème du Laplacien avec conditions

aux limites de Neumann.102CHAPITRE6.M

ETHODEDES

EL

EMENTSFINIS

152
4 8 7 6 3 9 Figure6.1-Exemple demaillage etden um´erotation desnoeuds. i (x j ij pourtoutind icej?{1,···,9}.Lamatrice derigidit´eas soc i´ee`ala r´esolutionduLaplacienestd´efin iepour toutcoupled"indicesietjpar (K h i,j i j dx. Onadonc 81coe fficients`ad´eterminer !Cependant,d` esqueφ i etφ j sont`asuppor t disjoint,(K h i,j suffitdecalculersixcoefficientsdelamatr icederi gidit´e, lesautress"end´eduisan t ais´ement.Enl"occurrence,ondoi tcalcul er(K h 1,1 ,(K h 1,5 ,(K h 1,9 ,(K h 5,5 ,(K h 5,9 et(K h 9,9 .Le gradi entdesfonctionsdebaseφ i estconst antsurchaquemai lle,qui sonttoutes demˆemeaire1/2.Lecalcul denos 9coe fficientsestdoncais ´eet (K h 1,1 =1,(K h 1,5 =-1/2,(K h 1,9 =0,(K h 5,5 =2,(K h 5,9 =-1,(K h 9,9 =4.

Enrass emblantcesr´esultats,onobtient

K h

1000-1/200-1/20

0100-1/2-1/2000

00100-1/2-1/200

000100-1/2-1/20

-1/2-1/2002 00 0-1

0-1/2-1/2002 00 -1

00-1/2-1/2002 0-1

-1/200-1/2000 2-1

0000-1-1-1-14

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