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Feuille d"exercices : Formulations Faibles

Exercice1.Soitun ouvert régulier de classeC1. On supposerau,v,Á,Ãet¾suffisamment dérivables

à chaque fois. À l"aide de la formule de Green, montrez les formules suivantes

1.La formule du Laplacien

Z

¢u(x)v(x)dxAE¡

Z ru(x)¢rv(x)dxÅ Z @u @n(x)v(x)ds, oùruAE

³@u

@xi

1·i·dest le vecteur gradient de u, et@u

@nAEru¢n.

2.La formule de Stokes :

Z div¾(x)Á(x)dxAE¡ Z

¾(x)¢rÁ(x)dxÅ

Z @¾(x)¢n(x)Á(x)ds.

3.La formule du rotationnel :

Z rotÁ¢Ãdx¡ Z

Á¢rotÃdxAE¡

Z @(Á£n)¢Ãds, où le rotationnel est défini par rotÁAE

µ@Á3

@x2¡@Á2 @x3,@Á1 @x3¡@Á3 @x1,@Á2 @x1¡@Á1 @x2

Exercice 2.Donnez la formulation variationnelle du système suivant (équation de Helmholtz) dans

H1(), où kÈ0:(

¢uÅk2uAEf()

@nuAE0 (¡:AE@) Faites de même en remplaçant la condition aux limites sur@par (ıAEp¡1) : @nu¡ıkuAE0. Exercice 3.SoitAE]1,1[. Montrez que la fonction valeur absoluef:x7!jxjest dansH1()et calculez

sa dérivée faible, que lon note f0. Est-ce que f02H1()? Si oui, calculez sa dérivée faible.

Exercice 4.Plaçons nous en dimension1sur l"intervalleAE]¡1,1[. Montrez que l"espaceC1()... •N"est pas complet pour la normekfk1AEsupx2jf(x)j •Est complet pour la norme N(f)AEsupx2jf(x)jÅsupx2jf0(x)j

2TD 1. FORMULATIONS FAIBLES

•N"est pas complet pour la norme NH1()(f)AE¡R jf(x)j2dxÅR jf0(x)j2dx¢1/2

Pour montrer la non complétude de l"espace, nous suggérons d"étudier la suite de fonction(un)n

définit surpar

8x2,un(x)AE

8><

¡x¡1,si¡1ÇxÇ¡1/n,

x¡1,si1/nÇxÇ1. Exercice 5.Soient f2L2(), g2L2(@)et®È0. On considère le problème suivant

¡¢uÅuAEf()

@nuŮuAEg(@)

1.Donnez sa formulation variationnelle

2.Peut-on appliquer le Théorème de Lax-Milgram?

Exercice 6.Soit°:H1()!L2(@)l"application trace sur@. On considère l"espace de Sobolev des fonctions de H1()de trace nulle :

H10()AE©u2H1()tel que°(u)AE0ª.

Soient f2L2()et le problème suivant

¡¢uAEf()

uAE0 (@)

1.Donnez sa formulation variationnelle dans H10()

2.A l"aide de l"inégalité de Poincaré :

9CÈ0/8v2H10(),Ckvk2

H1()·krvk2

L2(), montrez que la formulation variationnelle admet une unique solution. 2

Correction

Exercice 1.Soitun ouvert borné et régulier de classeC1. On supposerau,v,Á,Ãet¾suffisamment

dérivables à chaque fois. À l"aide de la formule de Green, montrez les formules suivantes

1.La formule du Laplacien

Z

¢u(x)v(x)dxAE¡

Z ru(x)¢rv(x)dxÅ Z @u @n(x)v(x)ds, oùruAE

³@u

@xi

1·i·dest le vecteur gradient de u, et@u

@nAEru¢n.

2.La formule de Stokes :

Z div¾(x)Á(x)dxAE¡ Z

¾(x)¢rÁ(x)dxÅ

Z @¾(x)¢n(x)Á(x)ds.

3.La formule du rotationnel :

Z rotÁ¢Ãdx¡ Z

Á¢rotÃdxAE¡

Z @(Á£n)¢Ãds, où le rotationnel est défini par rotÁAE

µ@Á3

@x2¡@Á2 @x3,@Á1 @x3¡@Á3 @x1,@Á2 @x1¡@Á1 @x2

Correction.

1.Nous pouvons calculer direction par direction (l"inversion somme-intégrale est rendue possible

puisqueest borné et la somme finie) : Z

¢u(x)v(x)dxAE

Z 3X jAE1 @2u @x2 j (x)v(x)dxAE 3X jAE1 Z @2u @x2 j (x)v(x)dx. Nous appliquons ensuite la formule de Green et re-regroupons les sommes : 3X jAE1 Z @2u @x2 j (x)v(x)dxAE 3X jAE1 Z @u @xj(x)@v @xj(x)dxÅ Z @u @xj(x)v(x)nj(x)dx

AE ¡

Z 3X jAE1 @u @xj(x)@v @xj(x)dxÅ Z 3X jAE1

·@u

@xj(x)nj(x) v(x)dx

AE ¡

Z ru(x)¢rv(x)dxÅ Z @(ru(x)¢n(x))v(x)nj(x)dx. Commeru(x)¢n(x)AE@nu(x), le résultat est démontré.

4TD 2. CORRECTION

2.Nous appliquons la même idée :

Z div¾(x)Á(x)dxAE Z 3X jAE1 @¾j @xj(x)Á(x)dx AE 3X jAE1 Z @¾j @xj(x)Á(x)dx.

À l"aide de la formule de Green, nous obtenons

3X jAE1 Z @¾j @xj(x)Á(x)dxAE 3X jAE1 Z

¾j(x)@Á

@xj(x)dxÅ Z @¾j(x)Á(x)nj(x)ds

AE ¡

Z 3X jAE1

¾j(x)@Á

@xj(x) dxÅ Z 3X jAE1

AE ¡

Z

¾(x)¢rÁ(x)dxÅ

Z @(¾(x)¢n(x))Á(x)ds.

3.Pour simplifier, nous notons@jAE@

@xj: Z rotÁ¢ÃdxAE Z

£@2Á3¡@3Á2

AE ¡

Z Z

£Á3n2¡Á2n3

AE ¡

Z

£@3Ã2¡@2Ã3

Z @(Á£n)¢Ãds AE Z

Á¢rotÃdxÅ

Z @(Á£n)¢Ãds

Exercice 2.Montrer que (´È0)

a(.,.):C1()£C1()!C (u,v)7! Z ru(x)¢rv(x)dxÅ´ Z u(x)v(x)dx, est un produit scalaire surC1().

Correction.Du fait de la linéarité de l"intégrale,a(¢,¢) est clairement linéaire à gauche et anti-linéaire

à droite : c"est une forme sesquilinéaire. Il ne nous reste à montrer que deux autres propriétés (en

utilisantzzAEjzj2) : a(u,u)AE Z jru(x)j2dxÅ Z ju(x)j2dx¸0. Enfin, sia(u,u)AE0 alors, en tant que somme de termes positifs, cela implique queR ju(x)j2dxAE

0AEkukL2(). Il ne nous reste plus qu"à montrer queuest nulle dansC1(). Supposons qu"il existe

5 x02tel queju(x0)jÈ0. Commejujest continu sur, alors il existe un ouvertUautours dex0tel queju(x)jÈ0 dansU. Par suite, nous avons que Z ju(x)j2dx¸ Z

Uju(x)j2dxÈ0,

Exercice 3.Donnez la formulation variationnelle du système suivant (équation de Helmholtz) dans

H1(), où kÈ0:(

¢uÅk2uAEf()

@nuAE0 (¡:AE@) Faites de même en remplaçant la condition aux limites sur@par (ıAEp¡1) : @nu¡ıkuAE0.

Correction.En multipliant par (le conjugué d") une fonction testvet en intégrant suret en utilisant

le fait que@nuAE0 sur@, nous obtenons Z

¢u(x)v(x)dxÅ

Z k2u(x)v(x)dxAE Z f(x)v(x)dx Z ru(x)rv(x)dxÅ Z @@nu(x)v(x)dsÅk2Z u(x)v(x)dxAE Zquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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