[PDF] Corrigé de la Séance 2 : Formulations variationnelles

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ANN201. Methode des elements nis (2022-2023)1

Corrige de la Seance 2 : Formulations variationnelles

Dans la suite,

est un ouvert borne deR3, dont la frontiere@ est \reguliere". On note nla normale unitaire exterieure a la frontiere. Exercice 1 Probleme avec condition aux limites de Fourier

On considere le probleme aux limites

Trouveru2H1(

)telle queuu=fdans run+u=gsur@ :(1) avec0,f2L2( ) etg2L2(@

Question 0.On rappelle que

0est la premiere application trace. Quelle assertion est

juste (a)Im 0L2(@ ) et Im

0est dense dansL2(@

(b)L2(@ )Im

0etL2(@

) est dense dans Im 0 (c)L2(@ ) = Im 0:

Corrige de la question 0 :C'est la reponse (a) :

0est une application lineaire continue

deH1( ) dansL2(@ ), son image est donc incluse dansL2(@ ). On a vu dans le cours que son image est m^eme dense dansL2(@ Question 1.Construire la formulation variationnelle (FV1) associee a (1). Corrige de la question 1 :En multipliant la 1ere equation de (1) parv2H1( ) et en integrant sur on obtient facilementZ uv d Z uv d =Z fv d ;8v2H1(

Commeuest dansH1(

) et u=uf2L2( ), on au2H1( ;4). On suppose pour simplier queu2H2( ). On peut donc appliquer la formule de Green au deuxieme terme, on aZ uv d +Z ru rv d Z @u@n vj@ d =Z fv d ;8v2H1( Il sut enn d'utiliser la 2eme equation de (1) pour trouver la formulation variationnelle associee :

Trouveru2H1(

)telle queZ uv d +Z ru rv d +Z uj@ vj@ d =Z fv d +Z gvj@ d;8v2H1( ):(FV1)

ANN201. Methode des elements nis (2022-2023)2

Question 2.Prouver l'unicite de la solution de (FV1). Que se passe-t-il si <0? Corrige de la question 2 :Soientu1,u2deux solutions de (FV1), alors Z (u1u2)v d +Z r(u1u2)rv d +Z (u1j@ u2j@ )vj@ d = 0;8v2H1(

On choisit la fonction-testv=u1u2pour trouver

ku1u2k2 H1( )+ku1j@ u2j@ k2 L2(@ )= 0:

Puisque0, on en deduit queku1u2kH1(

)= 0 et doncu1=u2. Lorsque <0, le 1er terme est positif, et le 2nd est negatif : on ne peut pas conclure tout de suite. Cependant, si <0 maisjjpetit, on peut encore conclure. En eet, on a par continuite de l'application trace ku1j@ u2j@ k2 L2(@ )C20ku1u2k2 H1( donc comme <0, on obtient

0 =ku1u2k2

H1( )+ku1j@ u2j@ k2 L2(@ )(1 +C20)ku1u2k2 H1( Si 1 +C20>0, c'est a dire >1=C20, le dernier terme est positif et donc nul! Ceci nous donne de nouveau l'unicite.

Si <0 et <1=C20, on ne peut pas conclure.

Question 3.Etablir l'equivalence entre les problemes (1) et (FV1). Corrige de la question 3 :D'apres ce que l'on vient de voir, siuest solution de (1), alorsuverie (FV1). Examinons la reciproque. Dans (FV1), si on choisitv2D( H 1( )), on a alors :Z (uv+ru rv)d =Z fv d puisquev= 0 sur@ . On remplace ensuite les integralesZ @v d par des crochets de dualiteh;@vi, puis on derive au sens des distributions : hf;vi=hu;vi+X i=1;3h@u@x i;@v@x ii=hu;vi X i=1;3h@2u@x

2i;vi=hu;vi hu;vi:

On en deduit que

huu;vi=hf;vi;8v2D( c'est-a-dire queuu=fau sens des distributions. Puisqueuetfappartiennent a L 2( ), u2L2( ) et ainsiuu=fpresque partout dans . En particulier, on a : Z (uu)v d =Z fv d ;8v2H1( ):(2)

ANN201. Methode des elements nis (2022-2023)3

Maintenant, on revient a (FV1) en sachant queuest dansH1( ;4) (u2H1( ) et u=uf2L2( )). On supposeu2H2( ) et on peut appliquer la formule de Green : Z (uu)v d +Z @u@n vj@ d +Z uj@ vj@ d Z fv d +Z g vj@ d;8v2H1( et, d'apres (2), on aboutit a Z @u@n +uj@ g v d = 0;8v2H1(

Comme (

@u@n +uj@ g) est dansL2(@ ) et que l'image de l'application trace 0est dense dansL2(@ ), l'egalite prouve que@u@n +uj@ =gdansL2(@ ) et donc presque partout sur@ Remarque (qui sort du cadre du cours) :Si on ne suppose pas queuest dans H 2( ), on peut encore appliquer une formule de Green generalisee puisqueu2 fw2 H 1( )jw2L2( )get on trouve Z (uu)v d +H1=2(@ )<@u@n ;vj@ >H1=2(@ )+H1=2(@ )< uj@ ;vj@ >H1=2(@ Z fv d +H1=2(@ )< g;vj@ >H1=2(@ );8v2H1( ouH1=2(@ ) = Im(

0) etH1=2(@

) :=H1=2(@ )0est l'ensemble des formes lineaires continues surH1=2(@ ). D'apres (2), on aboutit a H 1=2(@ )h@u@n +uj@ g;vj@ iH1=2(@ )= 0;8v2H1(

Comme (

@u@n +uj@ g) est par denition une forme lineaire et continue surH1=2(@ l'egalite ci-dessus valable pour tout element deH1=2(@ ) prouve que@u@n +uj@ =g dansH1=2(@ ). Pour conclure, commegetuj@ appartiennent aL2(@ ), on en deduit que @u@n +uj@ =gpresque partout sur@

Exercice 2 Diusion de la chaleur

On considere le probleme aux limites

Trouveru2H1(

)telle que div(kru) =fdans u= 0 sur@ :(3) avecf2L2( ),k2L1( ) etk(x)kmin>0 presque pour toutxdans

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Question 0.Donner les espaces auxquels doivent appartenir~Wetvpour pouvoir ecrire la formule de Green suivanteZ div~W v+~W rv d =Z ~Wnj@ vj@ d (a) ~W2(L2( ))3etv2H1( (b) ~W2(L2( ))3;div~W2L2( ) etv2H1( (c) ~W2(H1( ))3etv2H1( En deduire les espaces auxquels doivent apparteniruetvpour pouvoir ecrire la formule de Green suivanteZ (div(kru)v+kru rv)d =Z krunj@ vj@ d Corrige de la question 0 :(a) Si~West seulement dans (L2( ))3, on ne sait donc pas que div ~W2L2( ), on ne peut donc pas esperer pouvoir donner un sens a l'integrale volumique. (b) Si~W2(L2( ))3et div~W2L2( ) etv2H1( ), on peut donner un sens a l'integrale volumique. Mais on ne sait pas si ~Wnj@ est dansL2(@ (c) Si ~W2(H1( ))3etv2H1( ) alors les integrales volumiques ont bien un sens et egalement les integrales surfaciques. En eet, on a ~Wij@ 2L2(@ ) et donc~Wnj@ aussi.

On a aussivj@

2L2(@

Pour ecrire

Z (div(kru)v+ru rv)d =Z krunj@ vj@ d il sut donc de prendrevdansH1( ) etudansH1( ) tel quekru2(H1( ))n. Dans ce cas, la premiere integrale volumique a bien un sens. L'integrale surfacique aussi puisque krua bien une trace sur le bord et en particulierkrunj@ est bien dansL2(@ Question 1.Construire la formulation variationnelle (FV3) associee a (3) (on supposera pour simplier queuest dansH1( ) et est telle quekru2(H1( ))3).

Corrige de la question 1 :Soitu2H1(

) solution de (3).

En multipliant la 1ere equation de (3) parv2H1(

) et en integrant sur on obtient Z div(kru)v d =Z fv d ;8v2H1( On aimerait utiliser la formule de Green de la Q0. On a d'apres la premiere equation de (3) que div(kru) =f2L2( ). On suppose de plus pour simplier queuest telle que kru2(H1( ))n. On peut appliquer la formule de Green, on obtient Z kru rv d Z krun@ v@ d =Z fv d ;8v2H1(

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Comme nous n'avons aucune information sur la trace normale deusur le bord, on va faire dispara^tre l'integrale surfacique en prenantvj@ = 0 sur@ , c'est a direv2H10( Enn, comme nous n'avons pas utilise la condition aux bords de u dans la formulation variationnelle, on va integrer cette condition dans l'espace dans lequel nous recherchons la solution, c'est a direH10( On en deduit la formulation variationnelle associee a (3) :

Trouveru2H10(

)telle queZ kru rv d =Z fv d ;8v2H10( ):(FV3) Question 2.Prouver l'unicite de la solution de (FV3). Corrige de la question 2 :Soientu1,u2deux solutions de (FV3), alors Z kr(u1u2) rv d = 0;8v2H10(

On choisit la fonction-testv=u1u2pour trouver

Z kjr(u1u2)j2d = 0:

Par denition dekon sait que

k minZ jr(u1u2)j2d Z kjr(u1u2)j2d aveckmin>0, et on conclut quer(u1u2) = 0 dans . Ainsi,u1u2est une fonction constante sur chaque composante connexe de l'ouvert . Comme de plus on sait que (u1u2)@ = 0, toutes les constantes sont nulles et doncu1=u2. Question 3.Etablir l'equivalence entre les problemes (3) et (FV3). Corrige de la question 3 :D'apres ce qui precede, siuest solution de (3), alorsu verie (FV3). La reciproque est tres simple a etablir. En eet, commeuune solution de (FV3) appartient aH10( ), on auj@ = 0. Puis, on choisit dans (FV3) une fonction-testv deD( ), et on raisonne a l'inverse de la 1ere question pour trouver quediv(kru) =f au sens des distributions. Puisquefappartient aL2( ), div(kru)2L2( ) et nalement div(kru) =fpresque partout dans

Exercice 3 Coecients discontinus

Soitdun entier naturel non nul,

un ouvert borne deRda frontiere susamment reguliere. On le partitionne en 1[ 2, ou 1et

2sont deux ouverts disjoints

a frontieres susamment regulieres. On note =@ 1\@

2, et on suppose, pour des

raisons techniques depassant le cadre de ce cours, que \@ =;. On note!nle vecteur unitaire sortant a 2.

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Soient1; 2deux constantes strictement positives et denissons: !Rpar (x) =( 1six2 1; 2six2quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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