[PDF] UNIVERSITÉ ABDELMALEK ESSAADI FACULTÉ DES SCIENCES

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UNIVERSITÉ ABDELMALEK ESSAADI

FACULTÉ DES SCIENCES

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

TÉTOUAN

EXERCICES CORRIGÉS

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

ARIJ BOUZELMATE

Masters : Mathématiques Appliquées à la Finance / Mathématiques et Applications

Année Universitaire :2015-2016

Table des matières

1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Exercice1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 Exercice2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.3 Exercice3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.4 Exercice4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.5 Exercice5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.6 Exercice6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.7 Exercice7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.8 Exercice8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.9 Exercice9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.10 Exercice10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.11 Exercice11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.12 Exercice12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.13 Exercice13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.14 Exercice14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.15 Exercice15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.16 Exercice16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.17 Exercice17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.18 Exercice18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.19 Exercice19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

i

TABLE DES MATIÈRES ii

1.20 Exercice20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.21 Exercice21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.22 Exercice22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.23 Exercice23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.24 Exercice24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.25 Exercice25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.26 Exercice26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.27 Exercice27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.28 Exercice28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.29 Exercice29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.30 Exercice30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

2 Solutions des Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1 Exercice1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.2 Exercice2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.3 Exercice3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.4 Exercice4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.5 Exercice5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.6 Exercice6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.7 Exercice7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.8 Exercice8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

2.9 Exercice9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.10 Exercice10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

2.11 Exercice11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.12 Exercice12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2.13 Exercice13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.14 Exercice14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 ii

TABLE DES MATIÈRES iii

2.15 Exercice15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2.16 Exercice16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2.17 Exercice17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

2.18 Exercice18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.19 Exercice19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

2.20 Exercice20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

2.21 Exercice21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

2.22 Exercice22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

2.23 Exercice23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.24 Exercice24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.25 Exercice25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

2.26 Exercice26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

2.27 Exercice27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

2.28 Exercice28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

2.29 Exercice29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

2.30 Exercice30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 iii

Arij Bouzelmate Faculté des Sciences

1 Exercices

1.1 Exercice1

SoitE=C[a;b];R+.

1)Vérifier que pour toutes fonctionsf; g2E, l"application définie par

(f;g) =Z b a f(x)g(x)dx est un produit scalaire surE.

2)Soitf2E. Montrer que Zb

a f(x)dx! Zb a1f(x)dx! (ba)2:

3)Trouver toutes les fonctionsf2Epour lesquelles on a

Zb a f(x)dx! Zb a1f(x)dx! = (ba)2:

1.2 Exercice2

SoitHun espace de Hilbert réel.

On dit que l"applicationudeHdansHest une isométrie si elle est linéaire et conserve la norme, c"est à dire

ku(x)k=kxkpour toutx2H:

Montrer queuest une isométrie si et seulement si elle conserve le produit scalaire, c"est à dire

(u(x);u(y)) = (x;y)pour tousx; y2H:

1.3 Exercice3

Soitfune forme linéaire continue sur un espace de HilbertH.

Montrer que

dim

Kerf?= 1:1

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1.4 Exercice4

SoitHun espace de Hilbert.

SoientF1etF2deux sous espaces vectoriels fermés deHtels queF1F2.

Montrer que

P

F1PF2=PF1

oùPF1etPF2sont respectivement les projections orthogonales surF1etF2.

1.5 Exercice5

SoientHun espace de Hilbert etFun sous espace vectoriel fermé deH.

Montrer que pour touta2H, on a

min x2Fkaxk= max y2F? kyk=1j(a;y)j:

1.6 Exercice6

On considère l"espace préhilbertienE=C[1;1];Rmuni du produit scalaire (f;g) =Z 1

1f(x)g(x)dx8f; g2E:

Soit la suite de fonctions(fn)n2Nd"éléments deEdéfinie par f n(x) =8 >:0si1x1n nx+ 1si1n x0,

1si0x1.

1)Montrer que(fn)n2Nest une suite de Cauchy pour la normek:k2issue du produit scalaire défini ci-

desus.

2)Montrer que(E;k:k2)n"est pas complet.

3)On pose

F=n f2E;f(x) = 08x2[1;0]o2

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et G=n f2E;f(x) = 08x2[0;1]o

Montrer queF?=G.

4)Les sous espaces vectoriels fermésFetGsont-ils supplémentaires? Conclure.

1.7 Exercice7

SoitHun espace de Hilbert.

SoitA:H!Hune application linéaire continue. On rappelle quekAk= sup kxk=1kA(x)k.

1)Prouver quekAk= sup

kxk1 kyk1j(A(x);y)j.

2)Montrer qu"il existe une unique application linéaireA:H!Htelle que les propriétés suivantes soient

vérifiées. (a) (A(x);y) = (x;A(y))8x; y2H. (b)Aest continue deHdansH. (c)kAk=kAk. (d) (A)=A. L"application linéaire continueAest appelée adjoint deA.

3)Montrer que

(A(x);y) =14 (A(x+y);x+y)(A(xy);xy)+i (A(x+iy);x+iy)(A(xiy);xiy)

8x; y2H:

4)Supposons queA=A. On dit dans ce cas queAest symétrique ou auto-adjoint.

Montrer quekAk= sup

kxk=1j(A(x);x)j.

1.8 Exercice8

SoitHun espace de Hilbert. Soit(xn)n2Nune suite d"éléments deux à deux orthogonaux.

1)Montrer que la sérieX

n1x nest convergente si et seulement si la sérieX n1kxnk2est convergente.3

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2)On suppose que la sérieX

n1x nest convergente. Montrer la relation de Pythagore généralisée suivante +1X n=1x n 2 =+1X n=1kxnk2:

1.9 Exercice9

SoitHun espace de Hilbert. Soitx2H.

Soient(en)n2Nune suite orthonormale d"éléments deHetFle sous espace vectoriel engendré par les

(en)n2N. SoientFnle sous espace vectoriel engendré parfe1;;engetPFnla projection orthogonale surFn.

1)Montrer que

P

Fn(x) =nX

k=1(x;ek)ek:

2)Montrer que

n X k=1j(x;ek)j2+kxPFn(x)k2=kxk2:

3)En déduire que

+1X n=1j(x;en)j2 kxk2:

4)On définitd(x;F) = infy2Fkxyk. Montrer que

+1X n=1j(x;en)j2+ (d(x;F))2=kxk2:

1.10 Exercice10

Soientf2L2([0;1])et(en)n2Nune suite orthonormale d"éléments deL2([0;1]).

1)Montrer que

+1X n=1 Z t 0 f(s)en(s)ds2 Z t 0 jf(s)j2ds8t2[0;1]:(1)4

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2)Montrer que

+1X n=1Z 1 0 Z t 0 f(s)en(s)ds2 dtZ 1 0 jf(t)j2(1t)dt:(2)

3)On suppose que(en)n2Nest une base Hilbertienne.

Montrer qu"on égalité dans(1)et(2).

1.11 Exercice11

Soitfla fonction définie sur]0;+1[par

f(x) =1x(1 +jlnxj)2:quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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