Feuille dexercices : Formulations Faibles
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29 août 2012 FORMULATION. VARIATIONNELLE DES. PROBL`EMES ELLIPTIQUES. Exercice 2.1.1 Si f est une fonction continue sur [01]
Corrigé de la Séance 2 : Formulations variationnelles
Dans la suite ? est un ouvert borné de R3
Chapitre 5 ´ETUDE MATH´EMATIQUE DES PROBL`EMES
Exercice 5.2.1 A l'aide de l'approche variationnelle démontrer l'existence intégration par partie on obtient la formulation variationnelle suivante :.
Sorbonne Université Année 2019-2020 Master MPE mention
Corrigé de l'examen du 8 janvier 2020. Exercice 1. partie on obtient la formulation variationnelle suivante : Trouver u ? H1. 0 (?) telle que.
Méthodes variationnelles
Définition 3.5 (Formulation variationnelle) Soit f ? L2(?); Exercice 39 (Conditions aux limites de Fourier et Neumann) Corrigé en page 130.
Université Lyon 1 Année 2013-2014 Master Mathématiques
J(v). Formulation variationnelle de problèmes elliptiques. Exercice 4. (Laplacien + Dirichlet). Soit ? un ouvert de Rn borné et régulier (de
UNIVERSITÉ ABDELMALEK ESSAADI FACULTÉ DES SCIENCES
5) Montrer que la formulation variationnelle associée au problème (P) admet une unique solution u ? V . 6) Si f vérifie la condition de compatibilité montrer
Analyse numérique des EDP TD 1
Avec certains corrigés. Les numéros de Théorèmes Exercice 1 (Défaut de coercivité dans C1) ... Formulation variationnelle et existence de la solution.
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Construire la formulation variationnelle (FV1) associée `a (1) Corrigé de la question 1 : En multipliant la 1`ere équation de (1) par v ? H1(?) et en
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Feuille 9 - Théorie de Lax-Milgram formulation variationnelle de problèmes elliptiques séparation de variables Trace de fonctions intégrables Exercice 1
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Formulation variationnelle 1 Exemple 1-D Soit `a résoudre le problème ou` f et c sont des fonctions données continues sur [ab]
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Analyse séance 4 : exercices corrigés LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES Question 1 ? Définir une formulation variationnelle et Méthodes variationnelles
Sorbonne Université Année 2019-2020
Master MPE mention Mathématiques et Applications Méthodes pour les EDP, P. Frey Corrigé de l"examen du 8 janvier 2020Exercice 1.Soit un ouvert borné connexe régulier de classeC1deRd. On considère le problème deNeumann :
8< :u=f ;dans @u@n =g ;sur@ (1) oùf2L2( )etg2L2(@ )sont deux fonctions données.1. Montrer que ce problème n"admet une solution que si les donnéesfetgsatisfont une condition de
compatibilité, que vous expliciterez.2. En supposant que les donnéesfetgvérifient la condition de compatibilité, montrer qu"il existe une
solution faibleu2H1( )de (1) à une constante additive près.Correction 1.La difficulté de ce problème par rapport au problème de Dirichlet est qu"il n"existe une
solution que si les donnéesfetgvérifient une condition de compatibilité. En effet, il est facile de voir
que s"il existe une solutionu2H2( ), alors en intégrant l"équation sur (ou en utilisant une formule deGreen), on a nécessairementZ
f(x)dx+Z g(s)ds= 0:(2)Remarquons aussi que siuest solution alorsu+C, avecC2R, est aussi solution. En fait, (2) est une con-
dition nécessaire et suffisante d"existence d"une solution dansH1( ), unique à l"addition d"une constante près. Remarquons que, si l"ouvert n"est pas connexe, alors il faut écrire (2) ppour chaque composante connexe deet l"unicité de la solution vaudra à l"addition près d"une constante par composante connexe.
Physiquement, la condition de comptabilité (2) s"interprète comme une condition d"équilibre :fcorre-
spond à une source volumique, etgà un flux entrant au bord. Pour qu"il existe un état stationnaire ou
d"équilibre (c"est-à-dire une solution du problème de Neumann), il faut que les deux termes se balancent
parfaitement. De même l"unicité "à une constante additive près" correspond à l"absence d"origine de
référence sur l"échelle qui mesure les valeurs deu. 1Exercice 2.Soit
un ouvert borné deRd. A l"aide de l"approche variationnelle vue en cours, démontrer l"existence et l"unicité de la solution du problème de convection-diffusion : (V ruu=f ;dans u= 0;sur@ (3) oùf2L2( )etVest une fonction régulière à valeurs vectorielles telle que div(V) = 0dansCorrection 2.On procède en trois étapes :
1.recherche de la formulation variationnelle.
On multiplie l"équation vérifiée parupar une fonction testvnulle sur@ . Par intégration par partie, on obtient la formulation variationnelle suivante :Trouveru2H10(
)telle que a(u;v) =l(v)pour toutv2H10( où a(u;v) =Z (ru rv+ (V ru)v)dx et l(v) =Z fv dx:2.résolution du problème variationnel.
Afin d"appliquer le théorème de Lax-Milgram, la seule hypothèse non triviale à vérifier est la coer-
civité de la forme linéairea(;). a(u;u) =Z (ru ru+ (V ru)u)dx:La divergence deVétant nulle, on a
Z (V ru)udx=Z (div(uV)udiv(V)juj2)dx Z div(uV)udxPar intégration par parties, et commeu= 0sur@
, il vient Z (V ru)udx=Z (V ru)udx:Ainsi,
Z (V ru)udx= 0 et a(u;u) =kruk2L2( La coercivité dea(;)se déduit alors de l"inégalité de Poincaré.3.équivalence avec l"équation.
Z ru rv dx=Z (fv(V ru)v)dx: 2Ainsi, en majorant le membre de droite,
Z ru rv dx(kfkL2( )+kVkL1( )kukH1( )kvkH1( etruest une élément deH(div). On en déduit donc par intégration par parties que u+v ru=fen tant qu"éléments deL2( Exercice 3.Démontrer que l"unique solutionu2H1( )de la formulation variationnelle, pour tout v2H1( ):Z (ru rv+uv)dx=Z gv ds+Z fv dx(4) vérifie l"estimation d"énergie suivante : kukH1( )CkfkL2( )+kgkL2(@ )(5) oùC >0est une constante qui ne dépend pas deu,fetg. Correction 3.Il suffit d"appliquer la formulation variationnelle (5) à la fonction testu=v. On en déduit que : kuk2H1( )=Z (jruj2+juj2)dx=Z guds+Z fudx: En appliquant l"inégalité de Cauchy-Schwarz au deuxième membre, kuk2H1( ) kgkL2(@ )kukL2(@ )+kfkL2( )kukL2( Par le théorème de trace, il existe donc une constante positiveCtelle que : kuk2H1( )CkgkL2(@ )+kfkL2( )kukH1( et kukH1( )CkgkL2(@ )+kfkL2( Exercice 4.Appliquer la méthode des éléments finisP1au problème de Dirichlet : (u00=fdans]0;1[ u(0) =; u(1) = :(6)Vérifier que les conditions aux limites de Dirichlet non homogènes apparaissent dans le second membre
du système linéaire qui en résulte.Correction 4.La formulation variationnelle, issue de l"utilisation des éléments finisP1, consiste à déter-
miner : u h2Vh:=vh2C0([0;1];R);vhj[xi;xi+1]2P1pour touti2 f0;;ng; oùxi=i=(n+ 1)tel que Z 1 0 u0hv0hdx=Z 1 0 fv hdxpour toute fonctionvh2V0h=Vh\H10(0;1); 3 et u h(0) =; uh(1) = : On note(phii)i=0;;n+1la base deVhdéfinie pari(xj) =i;j. En utilisantjcomme fonction test, on obtient à l"aide de la formulation variationnelle que pour tout0< j < n+ 1, n+1X i=0(uh)iZ 1 00i0jdx=Z
1 0 f jdx; où(uh)isont les coordonnées deuhdans la base(phii). Les conditions aux limites impliquent que (uh)0=et(uh)n+1=, ainsi n X i=1(uh)iZ 1 00i0jdx=Z
1 0 f jdxZ 1 0 (00+0n+1)0jdx: DéterminerUh= ((uu)i)1inconsiste donc à résoudre le système linéaire A hUh=bh; où la matrice A h=1h 0 BBBBB@21 0
1 21 1 21 01 21 CCCCCA(7)
est identique à celle obtenue avec des conditions de Dirichlet homogènes, tandis que le second membre
est défini par (bh)i=Z xx+1 x i1f idx;pour tout1< i < n; (bh)1=h +Z x2 0f 1dx (bh)n=h +Z 1 x n1f ndx: Exercice 5.On considère le problème de Neumann en dimension 1 : (u00=fdans]0;1[ uquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] madame chrysanthème
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