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< d(x, y), admet un unique point fixe a De plus, pour tout x0 ∈ K la suite (fn(x0)) n converge vers a Exemple La fonction 

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Montrer que f a un unique point fixe x0 et que, pour tout x ∈ X, la suite définie que pour tout λ ∈ Λ, l'équation F(x, λ) = x admet une unique solution notée xλ

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On peut démontrer, par exemple par récurrence, que pour tout entier naturel n, Alors la fonction g admet un point fixe unique α et la suite (un) définie par son 

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25 sept 2015 · Montrer qu'une fonction continue f : [a, b] → [a, b] admet au moins un La fonction f admet un unique point fixe qui est limite de toute suite 

[PDF] Exercice 3 (dimension 1) Soit [a, b] un intervalle non vide de R et φ

a- Montrer que φ admet un unique point fixe α ∈ [a, b] b- Montrer que la suite (xk )k∈N converge vers α, pour toute donnée initiale x0 dans [a, b] 1 La suite 

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Soit f une application de E dans E telle que f fD soit contractante Montrer que f admet un unique point fixe Généraliser Analyse Nous avons ici affaire à un 

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29 mai 2010 · même admet un unique point fixe x De plus, x est En appliquant le théorème du point fixe à la fonction précédente on montre Théorème 3

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a) Montrer que f admet un unique point fixe b) Soit x0 ∈ K On définit (xn) n∈N par récurrence via f( 

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Formation en Mathématiques Commune Cachan/P7 Année 2017-2018 Calcul différentielValentin De Bortoli, Frédéric Pascal

Feuille 1.1 - Théorème(s) du point fixe

Exercice 1Contre-exemples et théorème du point fixe. a)Montrer que le théorème de Picard n"est plus vrai si on ne suppose pasXcomplet.

b)Montrer que le théorème de Picard n"est plus vrai si on ne suppose pas l"application contractante

(même avec l"inégalitéd(f(x);f(y))< d(x;y)pour tousx;y2X).

Exercice 2Connexité et point fixe.

a)Montrer que l"ensemble des valeurs d"adhérence d"une suite réelle(un)telle que jun+1unj !0est connexe par arc. b)SoitXun intervalle compact deRetf:X!Xune fonction continue. On considère une suite(un)n2Ndéfinie paru02Xetun+1=f(un)et on suppose quejun+1unj !0. Montrer que la suite(un)converge. Exercice 3Théorème des fermés emboîtés et complétude. a)On notera, pourAune partie d"un espace métrique,(A) = supfd(x;y)jx;y2Agle diamètre deA. Démontrer le résultat suivant (théorème dit des fermés emboîtés) : Un espace métrique(X;d)est complet ssi l"intersection de toute suite décroissante(An)n2Nde parties fermées non vides deXtelles quelimn!+1(An) = 0est non vide. b)Soit(X;d)un espace métrique complet non vide etf:X!Xlipschitzienne de rapport k2[0;1[. PourR2R+, on poseAR=fx2X = d(x;f(x))6Rg. i Montrer quef(AR)AkRet en déduire que pour toutR2R+,ARest une partie fermée non vide deX. ii Soientx;y2AR. Montrer qued(x;y)62R+d(f(x);f(y))et en déduire que(AR)62R1k. iii Montrer queA0=T n2NA1=net en conclure queA0est non vide. Exercice 4Suite du typeun+1=f(un).Soientf:I!Rune fonction de classeC1sur un intervalle ouvertIeta2Iun point fixe def. a)On suppose quejf0(a)j<1. Montrer qu"il existe un intervalle ferméJstable parfde centre atel que, pour toutx02J, la suite définie paru0=x0etun=f(un1)pourn>1converge versa.

b)Sous les hypothèses de la question précédente, on suppose de plus quef0ne s"annule pas surJ.

Montrer que six06=aalorsun6=apour toutn2Net queun+1af0(a)(una). c)Toujours sous les hypothèses de la première question, on suppose quefest de classeC2que f

0(a) = 0et quef00ne s"annule pas surJ. Montrer que, six02Jetx06=aalorsun6=apour

toutn2Net queun+1af00(a)2 (una)2. 1/3 d)On suppose quejf0(a)j>1. Montrer qu"il existe un intervalle ferméJde centreatel que pour toutx02Jetx06=ala suite(un)n2Nsort deJ. Exercice 5Théorèmes du point fixe et limites.Soient(X;d)un espace métrique complet etfn:X!Xune suite de fonctions continues. On suppose quefnadmet un point fixexn. a)On suppose que(fn)n2Nconverge uniformément versfsurX. i On suppose que(xn)n2Nconverge (versx0). Montrer quex0est un point fixe pourf. ii On suppose que(f(xn))n2Nconverge (versx0). Montrer quex0est un point fixe pourf. iii On suppose quefest contractante. Montrer que(xn)n2Nconverge vers l"unique point fixe def. b)on suppose maintenant que(fn)n2Nconverge simplement versfsurX. On suppose également qu"il existe >0, pour toutn2N,fnsoit-lipschiztienne. i Montrer quefest-lipschiztienne et que si(xn)n2Nconverge versx0alorsx0est un point fixe def. ii On suppose <1. Montrer que(xn)n2Nconverge vers l"unique point fixe def. Montrer qu"on ne peut pas remplacer la condition <1par la conditionn<1pour toutn2N (oùfnestn-lipschitzienne). On pourra considérer l"opérateurfn:`2!`2défini par f n((xk)k2N) = (0;:::;0;(11=n)xn+ 1=n;0;:::) iiiApplication.SoientXun compact non vide d"un espace vectoriel normé qu"on suppose étoilé par rapport à l"un de ses pointsx0(c"est le cas par exemple siXest convexe). On suppose quekf(x)f(y)k6kxykpour tousx;y2X. Montrer quefa un point fixe (on pourra introduire une suite(tn)n2Nqui tend vers0et les fonctionsfn(x) = (1tn)f(x)+tnx0). Peut-on retirer l"hypothèse de compacité ? (Pensez à une translation surR). Peut-on retirer l"hypothèse "étoilé" ? (Pensez à une rotation sur le cercle).

Exercice 6Vers Cauchy-Lipschitz.

a)Soient(X;d)un espace métrique complet non vide etf:X!Xune application (qu"on ne suppose pas continue). On suppose qu"il existeN2Net2[0;1[tels que d(fN(x);fN(y))6d(x;y)pour tousx;y2X, c"est à dire quefNest une contraction. Montrer quefa un unique point fixex0et que, pour toutx2X, la suite définie paru0=xet u n+1=f(un)converge versx0. b)Application: Soienta;b2RetI= [a;b]un intervalle compact. On considère une fonction K:II!Rune fonction continue etune fonction continue deIdansR. i On suppose que(ba)kKk1<1. Montrer qu"il existe une unique application continue x:I!Rtelle que x(t) =(t) +Z b a

K(s;t)x(s)ds

ii Montrer qu"il existe une unique application continuex:I!Rtelle que x(t) =(t) +Z t a

K(s;t)x(s)ds

2/3 Exercice 7Théorème du point fixe et espace compact.SoitKun espace métrique compact etfune fonction deKdansK. On suppose que

8(x;y)2K2; x6=y)d(f(x);f(y))< d(x;y):

a)Montrer quefadmet un unique point fixe. b)Soitx02K. On définit(xn)n2Npar récurrence viaf(xn+1) =xn. Montrer queun=d(xn;f(xn)) converge. c)Montrer que toute valeur d"adhérence de la suite est un point fixe. d)Conclure sur la convergence. Exercice 8Théorème de Sarkowski.SoitIun segment deRetf:I!Iune application continue. Pourx2I, on dit quexest un point n-périodique lorsquefn(x) =xetfk(x)6=xpour toutk2 f1;::;n1g. a)SiKest un segment inclus dansf(I), montrer qu"il existe un segmentLItel queK=f(L). b)Montrer que siI0Iest tel queI0f(I0)alorsfadmet un point fixe dansI0. c)SiI1etI2sont deux segments quelconques deItels queI2f(I1), on notera désormais pour simplifierI1!I2. Montrer que si deux segmentsI0;I1IvérifientI0!I1!I0, alorsf2admet un point fixex02I0tel quef(x0)2I1. En généralisant ceci, montrer que siI0!I1!:::!In1!I0, alorsfnadmet un point fixe tel quefk(x0)2Ikpour tout k2 f1;::;n1g. d)On suppose quefadmet un point 3-périodiquea2I. On noteb=f(a)etc=f2(a). Quitte à interchangeraetb, on peut supposer quea=minfa;b;cg. Dans le cas oùa < b < c, on définit I

0= [a;b]etI1= [b;c]. Montrer queI0!I1; I1!I0; I1!I1. En déduire quefadmet un

point n-périodique pour toutn>1. Raisonner de manière similaire poura < c < b. e)Le résultat précédent se généralise-t-il à des dimensions supérieures ? f)ApplicationRésoudre l"équation fonctionnellef3=id[0;1]pourf2C([0;1];[0;1]). Exercice 9Point fixe et caractère global.SoitIun segment deRetf:I!Iune application continue. On suppose que

8x2I;9nx2N; fnx(x) =x

a)Montrer quefest bijective. b)Dans le cas oùfest croissante montrer quef=idI. c)Conclure dans le cas général. d)Reprendre la dernière question de l"exercice précédent. 3/3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40