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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S de Centres étrangers?13 juin 2017
Exercice I5 points
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.). le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte.Aucune justification n"est demandée.Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une
absence de réponse ne rapportent aucun point. On étudie la production d"une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets.On choisit un sachet au hasard dans la production journalière. La masse de ce sachet, exprimée en
gramme, est modélisée par une variable aléatoireXqui suit une loi normale d"espéranceμ=175. De
plus, une observation statistique a montré que 2% des sachets ont une masse inférieure ou égale à
170 g, ce qui se traduit dans le modèle considéré par :P(X?170)=0,02.
Question 1: Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de l"évènement "la masse du sachet est
comprise entre 170 et 180 grammes»?On sait queP(X?70)=0,02; par symétrie par rapport à l"espéranceμ=175, on en déduit que
P(X?180)=0,02.
AlorsP(170?X?180)=1-2×0,02=0,96 :
P(170?X?180)=0,96(réponse b.)
Les différents bonbons présents dans les sachets sont tous enrobés d"une couche de cire comestible.
Ce procédé, qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B.Lorsqu"il est produit par la machine A, la probabilité qu"unbonbon prélevé aléatoirement soit dé-
formé est égale à 0,05.Question2: Sur un échantillon aléatoire de 50 bonbons issus de la machine A, quelle est la probabi-
lité, arrondie au centième, qu"au moins 2 bonbons soient déformés?NotonsNla variable aléatoire qui compte le nombre de bonbons déformés. On a répétition de 50
expériencesaléatoires, identiques etindépendantes àdeuxissues.NsuitdonclaloibinomialeB(n=
50 ;p=0,05).
P(N?2)=1-p(X?1).
On calculeP(N?1) avec la fonction de répartition de la loi binomiale de la calculatrice.On trouve
P(N?2)≈0,72(réponse a.)
Autre méthode : on sait queP(N=k)=?
50k? p k(1-p)n-kdonc :
P(N?2)=1-??50
0? 0.050(1-0,05)50-0+?50
1? 0,051(1-0,05)50-1?
=1-?0,9550+50×0,05×0,9549? ≈0,72. La machine A produit un tiers des bonbons de l"usine. Le restede la production est assuré par lamachine B.Lorsqu"il estproduitpar lamachine B,laprobabilitéqu"unbonbonprélevé aléatoirement
soit déformé est égale à 0,02.Baccalauréat SA. P. M. E. P.
Dansun test de contrôle, on prélève au hasard un bonbon dans l"ensemble de la production. Celui-ci
est déformé.Question3: Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu"il soit produit par la machine B?
Visualisons la situation par un arbre pondéré : A 1 3? D 0,05 D0,95 A2 3? D 0,02 D0,98Alors :PD?
A? =P?D∩
A?P(D)=P
A(D)×p?A?
P(D)=P
A(D)×p?A?
PA(D)×p(A)+PA(D)×p?A?
0,02×2
30,05×13+0,02×23=4
3009
300=49≈0,44 :PD?A?
≈0,44(réponse c.)La durée de vie de fonctionnement, exprimée en jour, d"une machine servant à l"enrobage, est mo-
délisée par une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle dont l"espérance est égale à 500 jours.
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