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On étudie la production d'une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets On choisit au hasard un sachet dans la production journalière
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19 jui 2017 · Remarque : dans la correction détaillée ici proposée, les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour faci- liter la lecture
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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers?13 juin 2017
Exercice 1 Commun à tous les candidats 5 points On étudie la production d"une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets.On choisit un sachet au hasard dans la production journalière. La masse de ce sachet, exprimée en gramme, est mo-
délisée par une variable aléatoireXqui suit une loi normale d"espéranceμ=175. Deplus, une observation statistique
a montré que 2% des sachets ont une masse inférieure ou égale à170 g, ce qui se traduit dans le modèle considéré
par :P(X?170)=0,02.Question 1: Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de l"évènement "la masse du sachet est comprise entre
170 et 180 grammes»?
Réponse a: 0,04Réponse b: 0,96
Réponse c: 0,98Réponse d: On ne peut pas répondre car il manque des données.On chercheP(170?X?180).
La variable aléatoireXsuit une loi normale d"espéranceμ=175 et on sait queP(X?170)=0,02 ce qui
s"écritP(X?175-5)=0,02. Pour des raisons de symétrie :P(X?175+5)=0,02 ce qui équivaut àP(X?180)=0,02.Les différents bonbons présents dans les sachets sont tous enrobés d"une couche de cire comestible.
Ce procédé, qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B.Lorsqu"il est produit par la machine A, la probabilité qu"unbonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à
0,05.Question 2: Sur un échantillon aléatoire de 50 bonbons issus de la machine A, quelle est la probabilité, arrondie au
centième, qu"au moins 2 bonbons soient déformés?Réponse a: 0,72
Réponse b: 0,28
Réponse c: 0,54Réponse d: On ne peut pas répondre car il manque des donnéesSoitZla variable aléatoire qui donne le nombre de bonbons déformés dans l"échantillon de 50. D"après
le texte, cette variable aléatoire suit une loi binomiale deparamètresn=50 etp=0,05. On chercheP(Z?2)=1-P(Z?1)≈0,72 (à la calculatrice).La machine A produit un tiers des bonbons de l"usine. Le restede la production est assuré par la machine B. Lorsqu"il
est produit par la machine B, la probabilité qu"un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à 0,02.
Dans un test de contrôle, on prélève au hasard un bonbon dans l"ensemble de la production. Celui-ci est déformé.
Question3: Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu"il soit produit par la machine B?
Réponse a: 0,02Réponse b: 0,67
Réponse c: 0,44
Réponse d: 0,01
On regroupe les données du texte dans un arbre pondéré : A 1 3 D 0,05 D 0,95 B 2 3R 0,02 A 0,98Baccalauréat SA. P. M. E. P.
On cherchePD(B)=P(D∩B)P(D).
P(D∩B)=P(B)×PB(D)=2
3×0,02=4300
D"après la formule des probabilités totales :3×0,05+23×0,02=5300+4300=9300
PD(B)=P(D∩B)
P(D)=4
3009
300=49≈0,44
La durée de vie de fonctionnement, exprimée en jour, d"une machine servant à l"enrobage, est modélisée par une
variable aléatoireYqui suit la loi exponentielle dont l"espérance est égale à 500 jours.Question 4: Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la durée de fonctionnement de la machine soit infé-
rieure ou égale à 300 jours?Réponse a: 0,45
Réponse b: 1
Réponse c: 0,55Réponse d: On ne peut pas répondre car il manque des données La loi exponentielle a pour espéranceE(Y)=500 et on sait queE(Y)=1λ; doncλ=1500=0,02.
On sait que si une variable aléatoireYsuit une loi exponentielle de paramètreλ,P(Y?t)=1-e-λt.
DoncP(Y?300)=1-e-300×0,002≈0,45.
L"entreprise souhaite estimer la proportion de personnes de plus de 20 ans parmi ses clients, au niveau de confiance
de 95%, avec un intervalle d"amplitude inférieure à 0,05. Elle interroge pour cela un échantillon aléatoire de clients.
Question5: Quel est le nombre minimal de clients à interroger?Réponse a: 40Réponse b: 400
Réponse c: 1600
Réponse d: 20
L"intervalle de confiance au niveau de confiance 95% est f-1 ?n;f+1?n? ; il est d"amplitude2?n.On doit donc avoir
2 ?n<0,05??20,051600 Exercice 2 Commun à tous les candidats 4 pointsL"espace est muni d"un repère orthonormé
O,-→ı,-→?,-→k?
On considère deux droitesd1etd2définies par les représentations paramétriques : d1:???x=2+t
y=3-t z=t,t?Retd2:???x= -5+2t? y= -1+t? z=5,t??R. On admet que les droitesd1etd2sont non coplanaires.1.Soit A le point de coordonnées (2; 3; 0).En prenant 0 pour valeur du paramètretdans la droited1, on obtient le point A donc A?d1.
2.D"après le cours et les expressions des représentations paramétriques des droitesd1etd2, on peut dire que la
droited1a pour vecteur directeur-→u1(1 ;-1 ; 1) et qued2a pour vecteur directeur-→u2(2 ;-1 ; 0).
3.Soit-→vle vecteur de coordonnées (1 ;-2 ;-3).
-→v.-→u1=1×1+(-2)×(-1)+(-3)×1=0 donc-→v?-→u1 •-→v.-→u2=1×2+(-2)×1+(-3)×0=0 donc-→v?-→u2Donc le vecteur
-→vest orthogonal aux vecteurs-→u1et-→u2.4.SoitPle plan passant par le point A, et dirigé par les vecteurs-→u1et-→v.
Centres étrangers - Corrigé213 juin 2017
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
a.Soit-→n(a;b;c) un vecteur normal au planP; alors-→nest orthogonal aux deux vecteurs-→vet-→u1directeurs
du planP. •-→n?-→u2??-→n.-→u2=0??a-2b-3c=0??a-2b=3c?a-b= -c a-2b=3c(L2←L1-L2)???a=b-c b= -4c???a= -5c b= -4c Toutvecteur decoordonnées(-5c;-4c;c)avecc?=0,estunvecteur normalauplanP,doncenparticulier le vecteur-→n(5 ; 4 ;-1) correspondant àc=-1.Le point M(x;y;z) appartient au planPsi et seulement si--→AM est orthogonal au vecteur-→n.--→AM?-→n??--→AM .-→n=0??5(x-2)+4(y-3)-z=0??5x-10+4y-12-z=0??5x+4y-z-22=0
Le planPa donc pour équation : 5x+4y-z-22=0.
b.Les coordonnées du point d"intersection de la droited2et du planPvérifient le système :??x= -5+2t?
y= -1+t? z=55x+4y-z-22=0
Cela n"est possible que si :
5(-5+2t?)+4(-1+t?)-5-22=0?? -25+10t?-4+4t?-27=0??14t?=56??t?=4.
Dans ce cas :x=-5+2t?=3,y=-1+t?=3 etz=5.
La droited2coupe le planPen un point B de coordonnées (3 ; 3 ; 5).5.On considère la droiteΔdirigée par le vecteur-→v(1 ;-2 ;-3), et passant par le point B (3; 3; 5).
a.D"après le cours, une représentation paramétrique de la droiteΔest :???x=3+t?? y=3-2t??t???R z=5-3t?? b.Les droitesd1etΔde représentations paramétriques respectives???x=2+t y=3-t t?R z=tet ?x=3+t?? y=3-2t??t???R z=5-3t??sont sécantes si on peut trouvertett??tels que???2+t=3+t??3-t=3-2t??
t=5-3t??Ce système équivaut à :
?2+(5-3t??)=3+t??3-(5-3t??)=3-2t??
t=5-3t??7-3t??=3+t?? -2+3t??=3-2t?? t=5-3t??4=4t??5t??=5
t=5-3t??1=t?? t ??=1 t=2On remplacetpar 2 dans la représentation paramétrique ded1et on obtient les coordonnées (4 ; 1 ; 2) du
point d"intersection C des deux droites sécantesd1etΔ. c.D"après les questions précédentes :