Chaque nouvelle injection entraîne une hausse de la concentration plasmatique de 20 µg L−1 Page 4 / 7 Centres Étrangers 201 7 - freemaths Bac - Maths -
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Exercice 3
Corrigé
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2017
MATHÉMATIQUES
SÉRIE S
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité D Ce sujet comporte 7 pages numérotées de la page 1/7 à la page 7/7. L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circu laire n° 99-186 du 16 novembre 1999.Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.BACCALAUR
AT GÉNÉRAL - Série SSESSION 2017
ÉPREUVE
MATHÉMATIQUES
SUJET C Page 1/717MASCSG11Durée : 4 heuresSujets Mathématiques Bac 2017 freemaths.fr freemaths.frfreemaths.frEXERCICE 3 (6 points )
(C ommun à tous les candidats)Lapharmacocinétiqueétudiel"évolutiond"unmédicamentaprès sonadministrationdansl"organisme,
en mesurant sa concentration plasmatique, c"est-dire sa concentration dans le plasma.On étudie dans cet exercice l"évolution de la concentration plasmatique chez un patient d"une même
dose de médicament, en envisageant différents modes d?administration.Partie A : administration par voie intraveineuse
On notef(t)la concentration plasmatique, exprimée en microgramme par litre (μg.L-1), du médica-
ment, au bout detheures après administration par voie intraveineuse. Le modèle mathématique est :f(t) = 20e-0,1t, avect?[0 ; +∞[. La concentration plasmatique initiale du médicament est doncf(0) = 20μg.L-1.1)La demi-vie du médicament est la durée (en heure) après laquelle la concentration plasmatique du
médicament est égale à la moitié de la concentration initiale.Déterminer cette demi-vie, notéet0,5.
2)On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieure
à0,2μg.L-1.
Déterminer le temps à partir duquel le médicament est éliminé. On donnera le résultat arrondi
au dixième.3)En pharmacocinétique, on appelle ASC (ou " aire sous la courbe»), enμg.L-1, le nombre
lim x→+∞? x 0 f(t)dt. Vérifier que pour ce modèle, l" ASC est égal à200μg.L-1.h.Partie B : administration par voie orale
au bout detheures après ingestion par voie orale. Le modèle mathématique est :g(t) = 20(e-0,1t-e-t), avect?[0 ; +∞[.Dans ce cas, l"effet du médicament est retardé, puisque la concentration plasmatique initiale est égale
à :g(0) = 0μg.L-1.
1)Démontrer que, pour tout t de l"intervalle[0 ; +∞[, on a :
g ?(t) = 20e-t?1-0,1e0,9t?.2)Étudier les variations de la fonctiongsur l"intervalle[0 ; +∞[. (On ne demande pas la limite
en+∞.)En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale.
On donnera le résultat à la minute près.
Partie C : administration répétée par voie intraveineuseOn décide d"injecter à intervalles de temps réguliers la même dose de médicament par voie intravei-
neuse. L"intervalle de temps (en heure) entre deux injections est choisi égal à la demi-vie du médica-
ment, c"est-à-dire au nombret0,5qui a été calculé en A - 1. Chaque nouvelle injection entraîne une hausse de la concentration plasmatique de20μg.L-1. Page 4 / 7Centres Étrangers 201 7 - freemaths . frBac - Maths - 201
7 - Série S
On noteunla concentration plasmatique du médicament immédiatementaprès lan-ième injection.
Ainsi,u1= 20et, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1, on a :un+1= 0,5un+ 20.On remarque qu"avec ce modèle, la concentration initiale dumédicament après la première injection,
soit20μg.L-1, est analogue à celle donnée par le modèle de la partie A, soitf(0).1)Démontrer par récurrence que, pour tout entiern?1:un= 40-40×0,5n.
2)Déterminer la limite de la suite(un)lorsquentend vers+∞.
3)On considère que l"équilibre est atteint dès que la concentration plasmatique dépasse 38μg.L-1.
Déterminer le nombre minimal d"injections nécessaires pour atteindre cet équilibre.Page 5 / 7
1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 71. Déterminons la demi-vie t
0, 5 Il s'agit ici de déterminer t tel que: f ( t ) = 10 . f ( t ) = 10 <=> 20 e - 0, 1 t = 10 <=> e - 0, 1 t 1 2 <=> e0, 1 t
= 2 <=> 0, 1 t = ln ( 2 ) => t 0, 5 = 10 x ln ( 2 ) .Au total, la demi-vie est: t
0, 5 = 10 x ln ( 2 ) cad t 0, 56, 9 heures .
6, 9 heures correspond en fait à: 6 heures et 54 minutes .
2. Déterminons le temps à partir duquel le médicament est élimi
né: Il s'agit ici de déterminer t tel que: f ( t ) 0, 2 . f ( t ) 0, 2 <=> 20 e - 0, 1 t 0, 2 <=> e - 0, 1 t 0, 01 <=> e0, 1 t
EXERCICE 3
Partie A:
A dministration par voie intraveineuseCentres Étrangers 201 7 ]
2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 Au total, le temps à partir duquel le médicament sera éliminé est: cad46, 1 heures ( arrondi au dixième ).
46, 1 heures correspond en fait à: 46 heures et 06 minutes .
3. Vérifions que l'ASC est égale à 200 g
L - 1 h:Il s'agit ici de calculer: lim
x x 0 f ( t ) dt.Soit: =
x 0 f ( t ) dt. f est continue sur [ 0 ; + [, elle admet donc des primitives sur [ 0 ; + [ et par conséquent: existe. x 0 f ( t ) dt x 0 20 e - 0, 1 t dt = 20 x - e - 0, 1 t 0, 1 x 0 => = 200 - 200e
0, 1 x
Dans ces conditions:
lim x x 0 f ( t ) dt = lim x = lim x 200 -200
equotesdbs_dbs2.pdfusesText_2