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Dé nition et propriété { sin(x) = y x ∈ [−π 2 , π 2 ] ⇔ { x = arcsin(y) y ∈ [-1,1] sin(arcsin(x)) = x Vx ∈ [-1,1] arcsin(sin(x)) = x Vx ∈ [-π 2 ,+π 2 ] arcsin (x) = 1

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2], arcsin(sin(x)) = x et ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x C'est la définition d'une fonction réciproque Donc ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x cos(arcsin(x)) : On 

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Arcsin sin x = x Par exemple : Arcsin sinπ = Arcsin 0 = 0 = π • Arccosinus n'est pas la réciproque de la fonction cosinus, mais celle de cos [0,π] VRAI : ∀x 

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2π/3 mais = π/3 Démonstration de la proposition : ∀ −π/2 ≤ x ≤ π/2, sin x = cosx ≥ 0, > 0 si −π/2

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Arcsin sin x Arccos cos x Arcsin sinx Arccos cosx h x + π = + π + + π = + = Donc h est 2π -périodique On peut donc restreindre son ensemble d'étude à un  

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Arcsin(sin x) = π − x + 2π E ( x 2π − 1 4) 3) Arccosx existe si et seulement si x est dans [−1, 1] Donc, cos(Arccosx) existe si et seulement si x est dans [−1, 

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La propriété ∀ x ∈ : Arcsin(sin x) = x est fausse Par exemple, Arcsin sin 5 π 6 = Arcsin 1

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arccos sin x arcsin cos x 2 2 2 arccos cos x arcsin sin x arccos cosx arcsin sinx arcsin cosx arccos sinx 2 2 arcsin cosx arccos sinx π π π − = − + − = − +

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10 oct 2015 · puis d'effectuer une symétrie de Cf par rapport `a l'axe des ordonnées • Pour tout x ∈ [0, π 2 ] , arccos(cos(x)) = x Ainsi, f(x) = arcsin(sin(x)) 

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11 sept 2020 · D'après la définition de la fonction arc-sinus, arcsin(sin(x)) est la seule solution z dans l'intervalle [−π 2 ; π 2 ] de l'équation sin(z) = sin(x)

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Pré-rentrée calcul

Deuxième partie

11 septembre 2020

Théorème et définition 2.19 - fonctionarcsin : [1;1]!R

Pour toutt2[1;1], il existe un unique réelx22

;2 tel quesin(x) =t. On note ce réelarcsin(t). Cela définit une fonction qu"on appelle "arc-sinus".

Valeurs numériques :

arcsin(1) =?

Ce nombre est la seule solutionxdans2

;2 de l"équation sin(x) =1:

Cette solution estx=2

Doncarcsin(1) =2

arcsin(0) = 0 arcsin(1=2) =6 arcsin(p3=2) =3 arcsin(1) =2

Proposition 2.21 :

1. Soity2[1;1]quelconque. Que vautsin(arcsin(y))?

D"après la définition de la fonction arc-sinus,arcsin(y)est la seule solutionxdans l"intervalle2 ;2 de l"équation sin(x) =y:

Doncsin(arcsin(y)) =y.

2. Soitx22

;2 quelconque. Que vautarcsin(sin(x))? 1 D"après la définition de la fonction arc-sinus,arcsin(sin(x))est la seule solutionzdans l"intervalle2 ;2 de l"équation sin(z) = sin(x): (Attention, ici,xest fixé; l"inconnue estz.) Orz=xest solution de cette équation etxappartient à2 ;2

Doncxest la solution dans2

;2 etarcsin(sin(x)) =x.

Attention

Dans la proposition précédente, la deuxième propriété est valableseulement pour lesx22 ;2

Par exemple,arcsin(sin(2)) = arcsin(0) = 06= 2.

Proposition 2.22 - dérivée dearcsinet propriétés importantes :

La fonctionarcsinest définie de[1;1]dans2

;2 . Elle est continue, impaire et strictement croissante sur[1;1]. De plus, elle est dérivable sur]1;1[et, pour touty2]1;1[, arcsin

0(y) =1p1y2:

Attention

La fonctionarcsinest définie en1et en1mais elle n"y est pas dérivable. Théorème et définition 2.23 - fonctionarccos : [1;1]!R Pour toutt2[1;1], il existe un unique réelx2[0;]tel quecos(x) =t. On note ce réelarccos(t). La fonction ainsi définie est appelée "arc-cosinus".

Proposition 2.25 -arccos(y)

Pour touty2[1;1], on a

arccos(y) =arccos(y): Explication: pour touty2[1;1],arccos(y)est le seul réelxdans[0;]tel que cos(x) =y: D"après les propriétés usuelles decos, sicos(x) =y, cos(x) =cos(x) =y: 2 De plus, sixest compris entre0et,xest aussi compris entre0et.

Doncxest la solutionzdans[0;]de l"équation

cos(z) =y:

Ainsi,arccos(y) =x=arccos(y).

Proposition 2.26

1. Pour touty2[1;1],cos(arccos(y)) =y.

2. Pour toutx2[0;],arccos(cos(x)) =x.

Proposition 2.27 - dérivée dearccoset propriétés importantes La fonctionarccosest définie de[1;1]dans[0;]. Elle est continue et strictement décroissante sur[1;1]. De plus, elle est dérivable sur]1;1[et, pour touty2]1;1[, arccos

0(y) =1p1y2:

Théorème et définition 2.28 - fonctionarctan :R!R:

Pour toutt2R, il existe un unique réelx22

;2 tel quetan(x) =t. On note ce réelarctan(t). La fonction ainsi définie est appelée "arc-tangente".

Proposition 2.30 :

1. Pour touty2R,tan(arctan(y)) =y.

2. Pour toutx22

;2 ,arctan(tan(x)) =x. Proposition 2.31 - dérivée dearctanet propriétés importantes :

La fonctionarctanest définie deRvers2

;2 . Elle est continue, strictement croissante surRet impaire. Elle admet les limites suivantes : arctan(x)x!1! 2 arctan(x)x!+1!2

Elle est dérivable surRet, pour touty2R,

arctan

0(y) =11 +y2:

3

Exercice 2.23 :

Résoudre dansRles équations suivantes.

(b)sin(jarcsin(x)j) =x Cette équation a un sens lorsquexest dans le domaine de définition dearcsin, càd lorsquex2[1;1]. Cherchons les solutionsx2[1;1]telles quearcsin(x)0. [Remarque :arcsin(x)0si et seulement six2[0;1]. Justification : arcsin(0) = 0etarcsinest strictement croissante. Donc pour toutx2 [0;1],arcsin(x)arcsin(0) = 0et pour toutx2[1;0[,arcsin(x)< arcsin(0) = 0.]

Pour toutx2[0;1], puisquearcsin(x)0,

(sin(jarcsin(x)j) =x)()(sin(arcsin(x)) =x) ()(x=x)(Prop. 2.21) ()(x= 0):

Une seule solution sur[0;1]:0.

Cherchons les solutionsx2[1;1]telles quearcsin(x)<0. [Remarque :arcsin(x)<0si et seulement six2[1;0[.]

Pour toutx2[1;0[,

(sin(jarcsin(x)j) =x)()(sin(arcsin(x)) =x) ()(sin(arcsin(x)) =x) ()(sin(arcsin(x)) =x) ()(x=x)(Prop 2.21): L"équation(x=x)est satisfaite par tous les réelsxdans[1;0[.

Solutions sur[1;0[:[1;0[.

Conclusion: l"ensemble des solutions est

f0g [[1;0[= [1;0]: (c)arccos(sin(x)) =x Ici, raisonner par équivalence est difficile. On va plutôt raisonner paranalyse- synthèse. Analyse: on cherche des propriétés simples que doivent vérifier les solutions, pour restreindre l"ensemble des solutions possibles. 4 Soitx2Rsolution de l"équationarccos(sin(x)) =x. Alorscos(arccos(sin(x))) = cos(x). Donc, par la proposition 2.26,sin(x) = cos(x), càd tan(x) = 1: [On peut diviser parcos(x)carcos(x)6= 0: par l"absurde, sicos(x) = 0, sin(x) = 1ousin(x) =1doncsin(x)6= cos(x).]

L"équationtan(x) = 1a une seule solution sur2

;2 , qui est4 . Par- périodicité detan, puisquetan(x) = 1, alors x=4 +kpour un certaink2Z:

Fixonsk2Ztel quex=4

+k.

Puisquearccos(sin(x)) =x, on doit avoir

arccos sin4 +k =4 +k doncarccos (1)ksin4 =4 +k:

Donc, sikest pair,arccossin4

=4 +k. Orsin4 =1p2 donc arccossin4 = arccos 1p2 4 . Donc 4 =4 +k:

Donck= 0.

Maintenant, sikest impair,arccossin4

=4 +k. Or, d"après la proposition 2.25,arccossin4 =arccossin4 =4 =34

Donc34

=4 +k:

Donck= 1=2. Impossible puisquekest un entier.

La seule valeur possible pourkest0donc

x=4 +k=4 Nous avons donc montré que sixest une solution de l"équation, alorsx=4 Donc 4 est la seule solution possible.

Synthèse: on vérifie si

4 est solution. 5 arccos sin4 =4 doncx=4 est bien solution dearccos(sin(x)) =x.

Conclusion: l"ensemble des solutions est

4

Exercice 2.25 :

Dans cet exercice, on va montrer que pour touty2[1;1], cos(arcsin(y)) = sin(arccos(y)) =p1y2: Ce résultat pouvant servir à calculer les dérivées des fonctionsarccosetarcsin, nous n"utiliserons pas la dérivée de ces fonctions dans l"exercice.

1. (a) Montrer que, pour touty2[1;1], on acos2(arcsin(y)) = 1y2.

Pour touty2[1;1],

cos

2(arcsin(y)) = 1sin2(arcsin(y))

= 1(sin(arcsin(y))2 = 1y2: (b) En déduire que, pour touty2[1;1], on acos(arcsin(y)) =p1y2. Puisque(cos(arcsin(y)))2= 1y2,cos(arcsin(y)) =p1y2oup1y2. Pour montrer quecos(arcsin(y)) =p1y2, il suffit de montrer quecos(arcsin(y)) 0.

On sait quearcsin(y)22

;2 et quecosest positive sur2 ;2 . Donc cos(arcsin(y))0.

Donccos(arcsin(y)) =p1y2.

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