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[PDF] Cours de Mathématiques L1 Semestre 1

Dé nition et propriété { sin(x) = y x ∈ [−π 2 , π 2 ] ⇔ { x = arcsin(y) y ∈ [-1,1] sin(arcsin(x)) = x Vx ∈ [-1,1] arcsin(sin(x)) = x Vx ∈ [-π 2 ,+π 2 ] arcsin (x) = 1

[PDF] Corrigés et compléments

2], arcsin(sin(x)) = x et ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x C'est la définition d'une fonction réciproque Donc ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x cos(arcsin(x)) : On 

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Arcsin sin x = x Par exemple : Arcsin sinπ = Arcsin 0 = 0 = π • Arccosinus n'est pas la réciproque de la fonction cosinus, mais celle de cos [0,π] VRAI : ∀x 

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2π/3 mais = π/3 Démonstration de la proposition : ∀ −π/2 ≤ x ≤ π/2, sin x = cosx ≥ 0, > 0 si −π/2

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Arcsin sin x Arccos cos x Arcsin sinx Arccos cosx h x + π = + π + + π = + = Donc h est 2π -périodique On peut donc restreindre son ensemble d'étude à un  

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Arcsin(sin x) = π − x + 2π E ( x 2π − 1 4) 3) Arccosx existe si et seulement si x est dans [−1, 1] Donc, cos(Arccosx) existe si et seulement si x est dans [−1, 

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La propriété ∀ x ∈ : Arcsin(sin x) = x est fausse Par exemple, Arcsin sin 5 π 6 = Arcsin 1

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arccos sin x arcsin cos x 2 2 2 arccos cos x arcsin sin x arccos cosx arcsin sinx arcsin cosx arccos sinx 2 2 arcsin cosx arccos sinx π π π − = − + − = − +

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10 oct 2015 · puis d'effectuer une symétrie de Cf par rapport `a l'axe des ordonnées • Pour tout x ∈ [0, π 2 ] , arccos(cos(x)) = x Ainsi, f(x) = arcsin(sin(x)) 

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11 sept 2020 · D'après la définition de la fonction arc-sinus, arcsin(sin(x)) est la seule solution z dans l'intervalle [−π 2 ; π 2 ] de l'équation sin(z) = sin(x)

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hyperboliquesinverses.

1Simpli¯erdesexpressions

tervalle[¡1;1]dans[¡¼

8x2[¡1;1],sin(arcsin(x))=x.

fp

1¡x2;¡p1¡x2g:

2;¼2].C'estun

angleentre¡¼ possible: cos(arcsin(x))=p

1¡x2:

2Etudedef(x)=arcsin(2x2¡1)

4.Variationsdelafonction.

Allons-y:

¡1·2x2¡1·1,

0·2x2·2,

0·x2·1,

¡1·x·1:

DoncDf=[¡1;1].

1

µaf0(x)=u0g0(u)=4x

Variationsdef:

x01 f0k2+1k 2f%

¡¼2

eten1.Onadoncbesoindeslimites: lim x!0f0(x)=limx!04x p4x2¡4x4=limx!0p

16x2p4x2¡4x4

(carx¸0) =limx!01 q 1

4¡x24=1

q 1 4=2.

Celadonnela¯gure1.

3Etudedef(x)=argth(x).

Fig.1{f(x)=arcsin(2x2¡1)

estbijective.Petitrappelth(x)=sinh(x) cettepreuve. h0(h¡1(x)) quotient¡u v¢

Doncargth0(x)=1

x01 f0+ +1 f% 0 0.

Etvoilµaargth:Figure3.

4Exprimerexplicitementargsh,argchetargth

2.Onadoncx=

exp(y)¡exp(¡y) exp(y)=1Y.

Cequidonne2x=Y¡1

Y,2xY=Y2¡1.C'estunpolyn^omeenY:

Y f 2x+p 4x2+4

2;2x¡p

4x2+4

2g=fx+px2+1;x¡px2+1g.MaisY=exp(y)>0.

Orlasolutionx¡p

x2+1<0carx2Doncy=argsh(x)=ln(x+p x2+1).

2.Onadoncx=

exp(y)+exp(¡y) exp(y)=1Y.

Cequidonne2x=Y+1

Y,2xY=Y2+1.C'estunpolyn^omeenY:

Y

4x2¡4

2;2x¡p

4x2¡4

2g= fx+p lim qu'ilenestpourlesdeuxracines: lim x!+1x+p x2¡1=+1+(+1)=+1. lim x!+1x¡p x+px2¡1 =limx!+1x

2¡(x2¡1)

x+px2¡1=limx!+11x+px2¡1=1+1=0. x2¡1.

Doncy=argch(x)=ln(x+p

x2¡1).

Celle-ciestplussimple.

exp(y)+exp(¡y).Onadoncx= exp(y)¡exp(¡y) 1 unpolyn^omeenY:Y2(1¡x)=1+x,Y2=1+x

1¡x.Bon,maintenant,c'est

coursetl'exercice3):Y2fr 1+x

1¡x;¡r

1+x

1¡xg.Commeonl'avudanslecas

Y=r 1+x

1¡x.

Doncy=argth(x)=ln(r

1+xquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22