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Dé nition et propriété { sin(x) = y x ∈ [−π 2 , π 2 ] ⇔ { x = arcsin(y) y ∈ [-1,1] sin(arcsin(x)) = x Vx ∈ [-1,1] arcsin(sin(x)) = x Vx ∈ [-π 2 ,+π 2 ] arcsin (x) = 1

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2], arcsin(sin(x)) = x et ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x C'est la définition d'une fonction réciproque Donc ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x cos(arcsin(x)) : On

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Analyse 1

Nombres réels - Bornes supérieure/inférieure - Arithmétique

On dit qu"une partie G non vide de

est un sous-groupe additif de si : 2 (x,x") G??, xx"G+? (G est stable par addition) ;

xG??, x G-?.

Pour tout réel α, on pose {n ,n }α=α?. Enfin, on dit qu"une partie A de est dense dans si 2 (a,b)?? tel que a b<, on a A [a,b]∩≠∅. L"objet de cet exercice est de prouver que tout sous-groupe additif de est soit de la forme α avec α?, soit dense dans . 1) Montrer que ?α?, α est un sous-groupe additif de . 2)

Soit G un sous-groupe additif de .

Prouver que 0 G?.

Prouver que

2 (x,y) G??, xyG-?. c.

Montrer que G?α?, Gα?.

Prouver que si G {0}≠, alors

G ∩ est non vide et justifier que inf (G )

α= ∩ existe et est positif ou nul.

Dans la suite, on considère G un sous-groupe additif de non réduit à {0} et on pose inf (G ) 3)

Dans cette question, on suppose que 0α>.

Justifier l"existence de

o xG? tel que o b.

Prouver que si

o x≠α, alors il existe 1 xG? tel que 1o que Gα?. c.

Montrer qu"alors G=α.

Dans cette question, on suppose que 0α=. Soit

2 (a,b)? tel que a b<. a.

Justifier l"existence de

o xG? tel que o

0x ba<<-.

Montrer qu"il existe un entier compris entre

o a x et o b x c.

En déduire que G est dense dans .

Analyse 1 : Corrigé

1) Soit

α?. α est clairement non vide (il contient α). D"après la définition donné dans l"énoncé, prouver que

α est un sous-groupe additif

de revient à prouver que 2 (x,x") ( )??α, x-?α et x x"+?α. Soit 2 (x,x") ( )?α. Il existe 2 (n,n")? tel que xn=α et x" n"=α. Alors : xn(n)-=-α=-α et comme n-?, on a x-?α ; x x" n n" (n n")+=α+α=+α et comme nn"+?, on a (n n")x+?α.

Ainsi :

, α est un sous-groupe additif de .

2) a. Par définition, G est non vide donc il existe G contient un élément x.

Alors, x G-? et x ( x) G+- ?. Comme x ( x) 0+- =, on a bien : 0G? b. 2 (x,y) G??, on a y G-?, donc x ( y) G+- ?, soit : 2 (x,y) G??, xyG-?. c. Soit Gα?. Prouver que Gα? revient à prouver que n??, n Gα?. Commençons par prouver par récurrence que n?? , n Gα?. On a 0 0 Gα= ? d"après la question a. Donc, la propriété est vraie pour n 0=. Supposons la propriété vraie à un rang n?. Par hypothèse de récurrence, n Gα? et comme Gα?, n (n 1) Gα+α= + α?.

Ainsi, la propriété est vraie au rang n 1+.

Finalement, la propriété est initialisée et héréditaire donc vraie n??

Alors n??

si n 0≥, n? et donc n Gα? d"après ce que l"on vient de voir ; si n 0<, n-? donc ( n) G-α? et ( n) n G-- α=α?.

Corrigé 9

Ainsi, n??

, n Gα?, soit :

Gα?

d. Si G {0}≠, alors x G?? tel que x 0≠.

Si x 0>, alors

Si x 0<, alors x 0-> et x G-?, donc

xG Dans les deux cas, on a trouvé un élément de G ∩ donc : G ∩ est non vide.

Alors,

G ∩ est une partie non vide de , incluse dans donc minorée par 0. Ceci prouve que G ∩ admet une borne inférieure α. De plus, comme G est minorée par 0 et α est le plus grand minorant de G, on a 0α≥.

Finalement :

inf (G )

α= ∩ existe et est positif ou nul.

3) a. Comme

inf (G )

α= ∩, on a

Supposons qu"il n"existe pas de

o xG? tel que o xG x2≥α. Ceci implique que 2α minore G minorant de G ∩). Comme 0α>, ceci est absurde et donc : o xG?? tel que o b. D"après la caractérisation de la borne inférieure :

0?ε>,

xG Si o x≠α, alors o x>α et on peut prendre o x0ε= -α>. Il existe alors 1 xG tel que : 1oo

Ainsi :

Il existe

1 xG? tel que 1o

10 Analyse 1

Si o x≠α, nous avons trouvé deux éléments de G , o x et 1 x tels que 1o

D"après la question 2.a.,

o1 xxG-?. Or : 1o o1

0x x 2<-<α-α=α.

Ainsi,

o1 xxG -?∩ et o1 xx-<α. Ceci est absurde car inf (G )

α= ∩, donc :

o x=α. Or, o xG?, donc :

Gα?

c. Comme Gα?, on a déjà Gα? d"après la question 2.c. Reste à prouver l"inclusion réciproque.

Soit x G?. Posons

xnE=α . On a : D"après ce que l"on vient de voir, n Gα? et comme x G?, n x Gα- ? d"après 2.b.

Alors, si n x 0α- ≠, on a

nxG α- ? ∩ et xn-α<α, ce qui est absurde car inf (G )

Ainsi, n x 0α- = et donc x n=α?α

. Ceci prouve que G?α.

Finalement, on a bien :

G=α

4) a. On a ici

inf (G ) 0 ∩=. Alors, d"après la caractérisation de la borne inférieure, on a ici :

[PDF] [PDF] Analyse 1

Analyse 1

On dit qu"une partie G non vide de

 xG??, x G-?.

Soit G un sous-groupe additif de .

Prouver que 0 G?.

Prouver que

Montrer que G?α?, Gα?.

Prouver que si G {0}≠, alors

α= ∩ existe et est positif ou nul.

Dans cette question, on suppose que 0α>.

Justifier l"existence de

Prouver que si

Montrer qu"alors G=α.

Dans cette question, on suppose que 0α=. Soit

Justifier l"existence de

0x ba<<-.

Montrer qu"il existe un entier compris entre

En déduire que G est dense dans .

Analyse 1 : Corrigé

1) Soit

α est un sous-groupe additif

Ainsi :

2) a. Par définition, G est non vide donc il existe G contient un élément x.

Ainsi, la propriété est vraie au rang n 1+.

Alors n??

Corrigé 9

Ainsi, n??

Gα?

Si x 0>, alors

Si x 0<, alors x 0-> et x G-?, donc

Alors,

Finalement :

α= ∩ existe et est positif ou nul.

3) a. Comme

α= ∩, on a

Supposons qu"il n"existe pas de

0?ε>,

Ainsi :

Il existe

10 Analyse 1

D"après la question 2.a.,

0x x 2<-<α-α=α.

Ainsi,

α= ∩, donc :

Gα?

Soit x G?. Posons

Alors, si n x 0α- ≠, on a

Ainsi, n x 0α- = et donc x n=α?α

Finalement, on a bien :

G=α

4) a. On a ici

0?ε>,

Comme le x ci-dessus doit être dans

0?ε>, x G?? tel que 0 x<<ε.

0x ba<<-.

Corrigé 11

xG??, x G-?.