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Démontrer que la fonction inverse f est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[ Démonstration : Soit a et b dans ]−∞ ; 0[ tels que a < b f (a)− 

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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques FONCTION INVERSE I Définition et allure de la courbe Vidéo https://youtu be/Vl2rlbFF22Y

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La fonction inverse est la fonction définie sur ℝ*, qui à tout réel associe II) Sens de variation de la fonction inverse 2) Démonstration (non obligatoire)

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II Fonction inverse 4 II 1 Définition Une fonction f définie sur un ensemble I est paire si : • I est symétrique par rapport Démonstration • f est définie sur R et  

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Théorème Inverse de fonction dérivable Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que f n'est jamais nulle sur I Si Démonstration : Soit a ∈ I lim x →a

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démonstration • f est bien entendu surjective de I sur f(I) ; • Supposons f strictement croissante sur I Soient Iba ∈ , , avec ba ≠ 

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Si une fonction f définie sur ℝ a un taux de variation constant t pour tout x∈ℝ , Alors f est la fonction affine y = a x + b, avec a = t et b = f(0) Démonstration :

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Fonctions carrées, racine carrée et inverse Propriété : La fonction carrée est définie sur Elle est décroissante sur ∞; 0 et croissante sur 0; ∞ Démonstration  

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1

FONCTION INVERSE

Partie 1 : Définition et allure de la courbe

Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y

1) Définition

Définition : La fonction inverse ��� est définie sur ℝ\ 0 par ���

2) Représentation graphique

Remarque : La courbe d'équation ���=

de la fonction inverse, appelée hyperbole de centre

O, est symétrique par rapport à l'origine.

Partie 2 : Dérivée et sens de variation

1) Dérivée

Propriété : La dérivée de la fonction inverse ��� est définie sur ℝ\ 0 par ��� -2 -1 0,25 1 2 3 -0,5 -1 4 1 0,5 1 3 2

Démonstration (pour les experts) :

Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk

Or : lim

= lim 1 Pour tout nombre ���, on associe le nombre dérivé de la fonction ��� égal à - Ainsi, pour tout ��� de ℝ\{0}, on a : ��� 1 2

2) Variations

Propriété : La fonction inverse est décroissante sur -∞;0 et sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout ��� de ℝ\

< 0.

Donc ��� est décroissante sur

-∞;0 et sur

0;+∞

Partie 3 : Comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition

1) En +∞

On s'intéresse aux valeurs de ���

lorsque x devient de plus en plus grand. x 5 10 100 10000 ...

0,2 0,1 0,01 0,0001 ?

On constate que ���

se rapproche de 0 lorsque x devient de plus en plus grand. On dit que la limite de f lorsque x tend vers +∞ est

égale à 0 et on note :

lim =0.

Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus

grandes, la courbe de ��� se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses. 3

2) En -∞

On s'intéresse aux valeurs de ���

lorsque x devient de plus en plus " grand dans les négatifs » x ... -10000 -100 -10 -5 ? -0,0001 -0,01 -0,1 -0,2

On constate que ���

se rapproche de 0 lorsque x devient de plus en plus " grand dans les négatifs ». On dit que la limite de ��� lorsque ��� tend vers -∞ est égale à 0 et on note : lim =0. Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus " grandes dans les négatifs », la courbe de ��� se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses. On dit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction inverse en -∞ et en +∞.

3) Au voisinage de 0

L'image de 0 par la fonction ��� n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de ��� lorsque x se rapproche de 0. x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 ... 0,001 0,01 0,1 0,5 -2 -10 -100 -1000 ? 1000 100 10 2

A l'aide de la calculatrice, on constate que :

- Pour ���>0 : ��� devient de plus en plus grand lorsque ��� se rapproche de 0. On dit que la limite de ��� lorsque ��� tend vers 0 pour ���>

0 est égale à +∞ et on note :

lim Graphiquement, pour des valeurs positives, de plus en plus en proches de 0, la courbe de ��� se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées. 4 - Pour ���<0 : ��� devient de plus en plus " grand dans les négatifs » lorsque ��� se rapproche de 0. On dit que la limite de ��� lorsque ��� tend vers 0 pour ���<0 est égale à -∞ et on note : lim

Graphiquement, pour des valeurs négatives, de

plus en plus en proches de 0, la courbe de ��� se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées. On dit que l'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction inverse. - Si ���′(���)≤0, alors ��� est décroissante. - Si ���′(���)≥0, alors ��� est croissante. Méthode : Étudier une fonction obtenue par combinaisons linéaires de la fonction inverse et d'une fonction polynomiale

Vidéo https://youtu.be/P3Ui9-Pk8p8

Soit la fonction ��� définie sur ℝ∖ 0 par��� =1-2���-

1) Calculer la fonction dérivée de ���.

2) Déterminer le signe de ���′ en fonction de ���.

3) Dresser le tableau de variations de ���.

4) Représenter la fonction ��� dans un repère.

Correction

1) On a : ���

=1-2���-2×

Rappels sur les formules de dérivation :

Fonction f Dérivée f '

=0 =2��� 0 =3��� 5

Donc : ���

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