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Démontrer que la fonction inverse f est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[ Démonstration : Soit a et b dans ]−∞ ; 0[ tels que a < b f (a)− 

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La fonction inverse est la fonction définie sur ℝ*, qui à tout réel associe II) Sens de variation de la fonction inverse 2) Démonstration (non obligatoire)

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Théorème Inverse de fonction dérivable Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que f n'est jamais nulle sur I Si Démonstration : Soit a ∈ I lim x →a

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Si une fonction f définie sur ℝ a un taux de variation constant t pour tout x∈ℝ , Alors f est la fonction affine y = a x + b, avec a = t et b = f(0) Démonstration :

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Fonctions carré et fonction inverse

Table des matières

I Fonction carré1

I.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

I.2 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1

I.3 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

I.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.5 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

II Fonction inverse4

II.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

II.2 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

II.3 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

II.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.5 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

I Fonction carré

I.1 Définition

Définition

On appelle fonction carré la fonctionx?→x2

Propriété

La fonction carréx?→x2est définie surR. En effet, on peut calculerx2pour n"importe quelle valeur dex?R.

I.2 Parité

Définition

Une fonctionfdéfinie sur un ensembleIest paire si : •Iest symétrique par rapport à l"origineOdu repère (donc, pour toutx?I,-x?I).

•pour toutx?I,f(-x)=f(x)

1 tative d"une fonction paire est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Illustration graphique :

12345
-11 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6

×M(x;f(x))×M?(-x;f(-x)=f(x))

x-x

Propriété

La fonction carréf:x?→x2est paire

Démonstration

•fest définie surRetRest symétrique par rapport àO.

•Pour toutx?R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x)

I.3 Variations

Propriété

f:x?→x2est décroissante sur ]-∞; 0] et croissante sur [0 ;+∞[.

Démonstration :

•Sur [0 ;+∞[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de [0 ;+∞[ avec 0?x10?0 doncf(x1)?f(x2). En effet,x2+x1?0 comme somme de nombres positifs etx2-x1>0 car on a supposéx1Les images sont classées dans le même ordre que les antécédents, doncfest croissante sur [0 ;+∞[.

•Sur ]-∞; 0] : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]-∞; 0] avecx1Onalemêmecalcul:f(x2)-f(x1)=(x2+x1)? ?0× (x2-x1)???? >0?0(x1+x2?0)car les deux nombres sont négatifs.

Les images cette fois sont classées dans l"ordre inverse desantécédents : la fonction est décroissante.

Remarque: sur ]-∞; 0], on auraitpu utiliserlaparitéde lafonctionet la symétriede lacourbepar rapport

l"axe des ordonnées.

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7

Tableau de variation:

x-∞0+∞ f(x)????0??

I.4 Courbe représentative

à des valeurs positives et on construit les points symétriques par rapport à l"axe des ordonnées.

x01 2123
f(x)=x201 4149
La courbe représentative de la fonction carré est appeléeparabole.

123456789

-11 2 3-1-2-3

O×××××

I.5 Application

Exercice :comparer les carrés des nombres suivants : a) 0,2

2et 0,212

b) (-2,4)2et (-2,41)2 c) (-3,1)2et 4,2

Solution :

a) 0,2 et 0,21 sont positifs; sur [0 ;+∞[, la fonctionf:x?→x2est croissante.

0,2<0,21 doncf(0,2)

0,22<0,212

b) -2,4 et -2,41 sont négatifs; sur ]-∞; 0],fest décroissante. -2,4>-2,41; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-2,4)2<-2,412. c) (-3,1)2=3,12donc il suffit de comparer 3,12et 4,22.

3,1 et 4,2 sont positifs et 3,1<4,2; sur [0 ;+∞[,fest croissante, donc 3,12<4,22, d"où

(-3,1)2<4,22

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Exercice: résoudre graphiquement l"équationx2=3x+2.

On posef(x)=x2etg(x)=3x+2.

On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les

abscisses des points d"intersection de ces deux courbes.

Puisqu"il s"agit d"une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la

méthode pour trouver les valeurs exactes sera vue en Première.

123456789101112131415

-1 -21 2 3 4-1-2-3-4-5× x1x2 On trouve deux solutions :x1≈-0,5 etx2≈3,6

II Fonction inverse

II.1 Définition

Définition

On appelle fonction inverse la fonctionx?→1x

Propriété

La fonction inversex?→1xest définie surR?=R\{0}=]-∞; 0[?]0 ;+∞[.

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7

II.2 Parité

Définition

Une fonctionfdéfinie sur un ensembleIest impaire si : •Iest symétrique par rapport à l"origineOdu repère (donc, pour toutx?I,-x?I).

•pour toutx?I,f(-x)=-f(x)

Conséquence graphique :la courbe représentatived"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"ori-

gineOdu repère.

Illustration graphique :

123
-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4 ?M(x;f(x))

M?(-x;f(-x)=-f(x))

a

Propriété

La fonction inversef:x?→1xest impaire

Démonstration

•fest définie surR?etR?est symétrique par rapport àO.

•Pour toutx?R?,f(-x)=1

-x=-1x=-f(x)

II.3 Variations

Propriété

f:x?→x2est décroissante sur ]-∞; 0] et décroissante sur [0 ;+∞[.

Démonstration :

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•Sur [0 ;+∞[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]0 ;+∞[ avec 0?x1Il s"agit de comparer les nombresf(x1)=1

x1etf(x2)=1x2. f (x2)-f(x1)=1 x2-1x1=x1-x2x1x2. x

1-x2<0 carx10 comme produit de nombres positifs. Les images sont classées dans l"ordre

inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]0 ;+∞[. •Sur ]-∞; 0[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]-∞; 0[ avec?x1On a le mÍme calcul :f(x2)-f(x1)=1 x2-1x1=x1-x2x1x2. x

1-x2<0 carx10 comme produit de nombres négatifs. Les images sont classées dans l"ordre

inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]-∞; 0[. Remarque : sur ]-∞; 0], on aurait pu utiliser la symétrie de la courbe par rapport àO.

Tableau de variation:

0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.

x-∞0+∞ f(x) 0 ????0

II.4 Courbe représentative

dant à des abscisses positives en calculant les coor- données de quelques points. x1 4 1 2124
f(x)=1x4211 2 1 4 La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. Elle est constituée de deux branches. 1234
-1 -2 -3 -4 -51 2-1-2-3 O C

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II.5 Application

Exercice :comparer les nombres suivants :

a) 1

0,2et10,3

b)-1

2,4et-12,5

c)-1

3,1et14,2

Solution :

a) 0,2 et 0,3 sont positifs; sur ]0 ;+∞[, la fonctionf:x?→1xest décroissante.

0,2<0,3 doncf(0,2)>f(0,3) donc

1

0,2>10,3

b) -2,4 et -2,5 sont négatifs; sur ]-∞; 0[,fest décroissante. -2,4>-2,5; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-12,4)<-12,5. c)-3,1<0 et 4,2>0 donc-1

3,1<0 et14,2>0 donc-13,1<14,2.

Remarque: ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2

ne sont par dans les mêmes intervalles définitionde la fonction inverse.

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