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Dérivée d"une fonction inverse

Note :Ce résumé est écrit par T. Zwissig. Il est ce qu"attend cet enseignant lors de l"oral de maturité.

Ce résumé n"est pas une référence pour les autres enseignants, leurs attentes sont sans doute différentes.

ThéorèmeInverse de fonction dérivable

Soitfune fonction définie sur un intervalleItelle quefn"est jamais nulle surI.

Sifest dérivable surI

Alors1) la fonction1f

est dérivable surI, 2 )1f 0 (x) =f0(x)f

2(x)8x2I.

Démonstration

: Soita2I. lim x!a1f (x)1f (a)xa= limx!a1f(x)1f(a)xapar définition de la fonction1f = lim x!a f(a)f(x)f(x)f(a)1(xa) en mettant les fractions au même dénominateur et en transformant la division en produit. = lim x!a f(x)f(a)xa1f(x)1f(a) par réarrangement des termes et mise en évidence de1.

On alimx!a(1) =12R.

Par hypothèse,fest dérivable ena, donclimx!af(x)f(a)xa=f0(a)2R. Puisquefest dérivable sur I, elle est continue sur I et commef(x)6= 0la fonction inverse1f est continue sur I, donclimx!a1f(x)=1f(a)2R. Puisquefest définie surIet qu"elle n"est jamais nulle, on a1f(a)2R. On peut donc décomposer la limite ci-dessus ainsi: = lim = (1)f0(a)1f(a)1f(a)=f0(a)f

2(a)qui est un nombre donc

1f 0 (a)le nombre dérivé existe.

Commef0(a)f

2(a)2Rla limitelimx!a

1f (x) 1f (a)xaexiste dansR, on conclut que la fonction1f est dérivable enaet que1f 0 (a) =f0(a)f

2(a). Comme cette conclusion est indépendante du choix de

a2I, on peut généraliser ce résultat àI. On conclut que la fonction1f est dérivable surIet que 1f 0 (x) =f0(x)f

2(x)pour toutx2I.

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