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Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1] Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin−1 π 2 − 

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Les fonctions cosinus, notée cos, et sinus, notée sin, sont définies sur R de la La fonction arcsinus, notée arcsin, est définie sur [−1,1] et est la réciproque

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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Fonctions usuelles

Bernard Ycart

Vous connaissez depuis longtemps les fonctions trigonométriques, l"exponentielle et le logarithme. Notre premier objectif sera de démontrer rigoureusement leurs propriétés. Nous introduirons aussi les fonctions hyperboliques ainsi que les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques et hyperboliques. Pour comprendre les démonstrations, vous aurez besoin des notions de base de l"analyse : limites, continuité, dérivabilité et convexité.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Entraînement 22

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Compléments 39

3.1 La trigonométrie des cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Napier ou Neper? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Logarithmes des nombres négatifs et imaginaires . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Euler et les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

19 novembre 2014

Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Fonctions puissance

Sinest un entier naturel, vous savez ce qu"est la puissancen-ième d"un nombre : le produit de ce nombre par lui-mêmenfois. a n=aa ... a???? nfacteurs. Rappelons que pour touta,a0= 1. Vous connaissez aussi la notationa-1pour l"inverse dea, et vous savez donc calculer des puissances entières négatives. a -n=1a n. À cause de la règle des signes, une puissance paire est toujours positive ou nulle. C"est la raison pour laquelle on ne définit de puissances fractionnaires que pour des réels positifs ou nuls. Le casa= 0n"est pas passionnant : pour toutx,0x= 0. Dans ce qui suit,adésigne un réelstrictement positif. Proposition 1.Etant donné un réel strictement positifa, et deux entiersp?Zet q?N?, il existe un unique réel strictement positifytel queyq=ap. Ce réel est noté a p/q.

Ainsi :

a

1/2=⎷a , a

3/2= (⎷a)3=⎷a

3, a2/3= (3⎷a)2=3⎷a

2. Démonstration: c"est une application du théorème de la bijection. L"application qui àyassocieyqest continue et strictement croissante de[0,+∞[dans lui-même. C"est donc une bijection. Nous rassemblons dans la proposition suivante les propriétés des puissances frac- tionnaires. Proposition 2.Soitaun réel strictement positif.

1. Soient(p,q),(p?,q?)?Z×N?, deux couples d"entiers tels quep/q=p?/q?. Alors :

a p/q=ap?/q?.

2. Soient(p,q),(p?,q?)?Z×N?, deux couples d"entiers. Alors :

a p/q+p?/q?=ap/qap?/q?. 1 Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenoble3. Soit(p,q)?Z×N?un couple d"entiers. Alors : a -p/q=1a p/q=?1a p/q

4. Soient(p,q),(p?,q?)?Z×N?, deux couples d"entiers tels quep/q < p?/q?. Alors :

sia >1, alorsap/q< ap?/q?, sia <1, alorsap/q> ap?/q?. Démonstration: elle consiste à se ramener aux propriétés connues des puissances entières. 1.pq =p?q ???pq?=p?q .

Donc :

a 2. a p/q+p?/q?=a(pq?+p?q)/qq?= (apq?+qp?)1/qq?

Orpq?etp?qsont deux entiers. Donc :

(apq?+qp?)1/qq?= (apq?ap?q)1/qq?=apq?/qq?ap?q/qq?=ap/qap?/q?.

3. En utilisant la relation précédente :

a p/q-p/q=a0= 1 =?a-p/q=1a p/q=?1a p? 1/q =?1a p/q

4. Poura >1:

pq On passe dea >1àa <1par la propriété3. Étant donné un rationnelr, il existe une infinité de manières de l"écrire comme rap- port de deux entiers. Le point1de la proposition 2 montre que la puissance fractionnaire ne dépend que du rapportp/q. Nous avons donc définiarpour toutrrationnel. Nous allons étendre la définition à tous lesxréels. Définition 1.Soitaun réel strictement positif. On appellefonction puissancede base ala fonction deRdansR+définie par : •poura>1: ?x?R, ax= sup{ar, r?Q∩]-∞,x[}. 2

Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenobleax

a=a=a=a=a= a= a= a= a=1/31/41/5 1/25 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 312345678910 xfonctions puissance

0.Figure1 - Fonctions puissancex?→axpour plusieurs valeurs dea.

•poura61: ?x?R, ax= inf{ar, r?Q∩]-∞,x[}. La figure 1 montre le graphe des fonctions puissance pour plusieurs valeurs dea. Voici la liste des propriétés des fonctions puissances. Théorème 1.Soitaun réel strictement positif.

1. La fonction puissance de baseaest un morphisme du groupe additif(R,+)vers

le groupe multiplicatif(R?,×). ?x,y?R, ax+y=axay.(1)

2. (a) Sia= 1, alors pour toutx?Rax= 1,

(b) sia >1, alorsx?→axest strictement croissante, et : lim x→-∞ax= 0etlimx→+∞ax= +∞, (c) sia <1, alorsx?→axest strictement décroissante, et : lim x→-∞ax= +∞etlimx→+∞ax= 0.

3. La fonctionx?→axest convexe.

4. La fonctionx?→axest dérivable et sa dérivée estx?→Laax, oùLaest une

constante.

5. La fonctionx?→axest indéfiniment dérivable surR.

Démonstration: elle consiste essentiellement à vérifier les propriétés souhaitées sur les

rationnels, puis à les étendre aux réels par passage à la limite. Pour simplifier, nous supposonsa>1. Les démonstrations poura61s"en déduisent facilement. 3

Maths en LigneFonctions usuellesUJF Grenoble1. Soientxetydeux réels. Soient(un)et(vn)les suites des approximations décimales

par défaut dexety. Ce sont deux suites croissantes de rationnels, qui convergent respectivement versxety. La suite(un+vn)est elle-aussi une suite croissante de rationnels, et elle converge versx+y. Or nous connaissons déjà la propriété pour les rationnels : ?n?N, aun+vn=aunavn. Par définition de la borne supérieure, et comme la fonction puissance est crois- sante pour les rationnels, les suites(aun),(avn)et(aun+vn)convergent respecti- vement versax,ayetax+y. D"où le résultat.

2. Soitxun réel, et(un)la suite de ses approximations décimales :1xest la limite

de la suite(1un). Or pour toutn,1un= 1. D"où le résultat. Passons au casa >1. Soientxetydeux réels tels quex < y. Il existe un rationnelrtel quex < r < y. Soient(un)et(vn)les suites des approximations décimales par défaut dexety. Il existe un certain rangn0tel que pour tout n>n0,un< r < vn. Poura >1, les suites(aun)et(avn)sont croissantes. etaun< ar< avn. Par passage à la limite,ax6ar< ay. Doncx?→axest strictement croissante poura >1. Toute fonction croissante admet une limite en -∞et en+∞. Pour identifier ces limites, il suffit de considérer une suite tendant vers-∞et une suite tendant vers+∞, par exemple les suites d"entiers(-n)et (n). Or : lim n→∞a-n= 0etlimn→∞an= +∞.

D"où le résultat.

Poura <1, inutile de refaire les démonstrations : il suffit d"utiliser la formule a -x= 1/ax, conséquence de (1).

3. Nous souhaitons montrer que pour toutx < y, et pour toutλ?[0,1],

a

λx+(1-λ)y6λax+ (1-λ)ay.(2)

Il existe plusieurs démonstrations, mais l"auteur est tellement fan de celle qui suit, qu"il ne résiste pas au plaisir de vous la servir.

Nous allons d"abord montrer que pour toutn?N?:

?(x1,...,xn)?Rn, a(x1+···+xn)/n61n ?ax1+···+axn?.(3) La démonstration de (3) est une récurrence curieuse. Observons d"abord que (3) est trivialement vraie pourn= 1. Montrons qu"elle est vraie pourn= 2. Par application de (1) et puisqueax>0, on a :quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6