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FONCTIONS CIRCULAIRES Définition La fonction cosinus est paire, la fonction sinus impaire, et : Réciproquement, pour tout couple (x, y) ∈ 2 pour lequel :
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Notes sur les fonctions circulaires réciproques Définition : La fonction arcsinus, notée arcsin, est l'application réciproque de l'application bijective g: [− π 2
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Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1] Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin−1 π 2 −
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Fonctions circulaires réciproques l'application sin admet donc une application réciproque, notée arcsin : [−1; 1] −→ ” −π 2 La fonction arcsin est impaire
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Thierry Champion - Univ. Toulon - 2019/202025
Pour certaines fonctions les transformations précédentes aboutissent au même graphe. C"est par exemple le cas des fonctions constantes surR, dont le graphe ne change pas par translation horizontale. On a aussi le cas des fonctions paires et impaires : Définition 25(Parité).Soitfune fonction numérique définie surDf, on dit que •fest une fonctionpairesi pour tout réelxdeDfon af(-x) =f(x); •fest une fonctionimpairesi pour tout réelxdeDfon af(-x) =-f(x).2.14. Propriété - Graphe des fonctions paires et impaires.Une fonction est paire si et seulement si son graphe est symétrique par
rapport à l"axeydes ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement son graphe est symétrique par rapport à l"origine du repère. Exemple 35.Lorsque l"entiernest pair la fonctionx?→xnest paire, lorsquenest impair la fonctionx?→xnest impaire. La fonction inverse est impaire.2.6 Fonctions circulaires
Définition 26.Lecercle trigonométrique, oucercle unité, est le cercle centré en l"ori- gine (point de coordonnées(0,0)) et de rayon1dans un repère orthonormé. Définition 27.Les fonctionscosinus, notéecos, etsinus, notéesin, sont définies sur Rde la manière suivante. Etant donné un nombre réelx, on construit le pointMdu cercle trigonométrique obtenu en parcourant le cercle trigonométrique dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d"une montre) à partir du point(1,0)sur une distancexsix≥0, et dans le sens inverse sur une distance|x|six <0. La valeurcos(x)est alors l"abscisse deM, etsin(x)est son ordonnée.
Les graphes de ces fonctions sont :xy
1π2π-2π0-π1
-1y= cos(x)y= sin(x)Remarque 23.Grâce au théorème de Pythagore on trouve que pour tout réelxon a
cos(x)2+ sin(x)2= 1Thierry Champion - Univ. Toulon - 2019/202026
et on peut ainsi calculer les valeurs suivantes : cos ?π6 =⎷3 2 ; sin?π6 =12 ; cos?π4 = sin?π4 =⎷2 2 cos ?π3 =12 ; sin?π3 =⎷3 2A noter que
π6 correspond à30degrés (radians),π4 correspond à45degrés etπ3 correspond à60degrés.
Remarque 24.Grâce au théorème de Thales, si le triangle ABC est rectangle en B alors on obtient : cos?[BAC?=ABAC =côté adjacenthypoténuse sin ?[BAC?=BCAC =côté opposéhypoténuseA partir de la définition sur le cercle trigonométrique on obtient aussi le formulaire suivant.
2.15. Propriété - Formulaire trigonométrique.Pour tous réelsxetyon a les identités suivantes :
cos(π-x) =-cos(x); sin(π-x) = sin(x); cos(π+x) =-cos(x); sin(π+x) =-sin(x); cos ?π2 -x? = sin(x); sin?π2 -x? = cos(x); cos ?π2 +x? =-sin(x); sin?π2 +x? = cos(x); cos(x+y) = cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y); sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y); et en particulier : cos(2x) = 2 cos(x)2-1; sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Définition 28.La fonctiontangente, notéetan, est définie pour tous les réelsxdansR\?π2
+kπ:k?Z?(c"est-à-dire les réelsxqui ne sont pas de la formeπ2 +kπaveckentier relatif) par la formule tan(x) =sin(x)cos(x)Le graphe de la fonction tangente est :
Thierry Champion - Univ. Toulon - 2019/202027xy
3π2-π-
π20π
2π3π2y= tan(x)Remarque 25.On déduit des formules de la remarque 24 que si le triangle ABC est rectangle
en B alors : tan?[BAC?=BCAB =côté opposécôté adjacentDéfinition 29.La fonctionarcsinus, notéearcsin, est définie sur[-1,1]et est la réciproque
de la fonction sinus restreinte à l"intervalle?-π2 ,π2 ?x?? -π2 ,π2 ,arcsin(sin(x)) =xet?x?[-1,1],sin(arcsin(x)) =x.Le graphe de la fonction arcsinus est :xy
1π 221y= arcsin(x)y= sin(x)y=xDéfinition 30.La fonctionarccossinus, notéearccos, est définie sur[-1,1]et est la
réciproque de la fonction cosinus restreinte à l"intervalle[0,π]: ?x?[0,π],arccos(cos(x)) =xet?x?[-1,1],cos(arccos(x)) =x.Le graphe de la fonction arccosinus est :
Thierry Champion - Univ. Toulon - 2019/202028xy
1π1y= arccos(x)y= cos(x)y=xRemarque 26.Puisquecos2(x) = 1-sin2(x)(et vice versa), on a aussi les formules :
?x?[-1,1],cos(arcsin(x)) =⎷1-x2etsin(arccos(x)) =⎷1-x2. Remarque 27.Les fonctions sinus et cosinus étant2π-périodiques, l"ensemble des solutions de l"équationsin(x) =α(où l"inconnue estx) est l"ensemble {arcsin(α) + 2kπ:k?Z} et l"ensemble des solutions de l"équationcos(x) =βest l"ensemble {arccos(β) + 2kπ:k?Z}. Définition 31.La fonctionarctangente, notéearctan, est définie surRet est la réciproque de la fonction tangente restreinte à l"intervalle?-π2 ,π2 ?x?? -π2 ,π2 ,arctan(tan(x)) =xet?x?R,tan(arctan(x)) =x.Le graphe de la fonction arctangente est :xy
π2π
2y= tan(x)y=xy= arctan(x)π
2Thierry Champion - Univ. Toulon - 2019/202029
3 Suites numériques
3.1 Introduction
Définition 32.Unesuite numériqueest une famille de nombres réels indexée par l"en- semble des entiers naturels. Notation 10.La suite(xn)n?N, qu"on peut aussi écrire(xn)n≥0, est la suite dont le premier terme estx0, le deuxième terme estx1,et cetera... La notation(yn)n≥1désigne la suite(xn)n≥0dont le terme de rangnestxn=yn+1. Remarque 28.Mathématiquement, on peut considérer qu"une suite(xn)n?Nest la fonction numériquefdéfinie surNqui associe à l"entiernle nombrexn, c"est-à-diref:?N→R n?→xn. Exemple 36.•suite constante :soitbun nombre réel fixé, la suite(xn)n?N= (b)n?Ndont tous les termes sont égaux àbest désignée comme étant lasuite constante égale à
b. On a donc :?n?N, xn=b. •suite arithmétique :soitaun réel non nul etbun réel fixé, la suite(xn)n?N= (an+b)n?Nest lasuite arithmétique de raisonaet de premier termeb.•suite géométrique :soitqun réel différent de0et de1, et soitcun réel non nul, alors
la suite(xn)n?N= (cqn)n?Nest lasuite géométrique de raisonqet de premier termec. •suite harmonique :lasuite harmoniqueest la suite(xn)n≥1dont le terme de rang n est donné par la formule x n= 1 +12 +13 +...+1n =n k=11k