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FONCTIONS CIRCULAIRES Définition La fonction cosinus est paire, la fonction sinus impaire, et : Réciproquement, pour tout couple (x, y) ∈ 2 pour lequel :

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Notes sur les fonctions circulaires réciproques Définition : La fonction arcsinus, notée arcsin, est l'application réciproque de l'application bijective g: [− π 2

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Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1] Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin−1 π 2 − 

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Fonctions trigonométriques réciproques 1 Définitions Les fonctions sinus, cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par  

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Fonctions circulaires réciproques l'application sin admet donc une application réciproque, notée arcsin : [−1; 1] −→ ” −π 2 La fonction arcsin est impaire

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Les fonctions cosinus, notée cos, et sinus, notée sin, sont définies sur R de la La fonction arcsinus, notée arcsin, est définie sur [−1,1] et est la réciproque

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BTS DOMOTIQUEFonctions circulaires2008-2010

FONCTIONS CIRCULAIRES

Table des matières

I Fonctions circulaires2

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2

I.2 Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2

I.3 Variations et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3

II Fonctions circulaires réciproques3

II.1 definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3

II.2 Fonction arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

II.3 arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4

II.4 arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5

IIIFonctionse

iteteat6 IVDérivée et primitive d"une fonction à valeurs complexes6 http://mathematiques.daval.free.fr-1-

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I Fonctions circulaires

I.1 Définitions

Définition 1

Soitxun réel, il lui correspond un unique pointMsur le cercle trigonométrique tel quexsoit une mesure

en radians de l"angle(?-→i ,--→OM). dex, notécosx, est l"abscisse deMdans le repère(O;-→i;-→j). dex, notésinx, est l"ordonnée deMdans le repère(O;-→i;-→j). dex, notéetanx, est le rapportsinxcosxpourx?=π2+kπ. cosxet sinxsont donc respectivement l"abs- cisse et l"ordonnée du pointMdans le repère (O;-→i;-→j)

On note :M

cosx sinx M x cosxsinx

A0-→

j -→i

Propriété 1

©cos

2x+ sin2x= 1

©-1?cosx?1 et-1?sinx?1

I.2 Valeurs remarquables

0 6 4 3 2 5π 6 3π 4 2π 3 7π 6 5π

44π

33π

2

11π

6 7π

45π

3 1

2⎷2

2⎷

3 20-1 2- ⎷2 2- ⎷3 21

2⎷

2

2⎷

3 2 -1 2 ⎷2 2- ⎷3 2 http://mathematiques.daval.free.fr-2-

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x0π 6 4 3 2 sinx01 2 ⎷2 2 ⎷3 21
cosx1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tanx0 ⎷3

31⎷3∅

I.3 Variations et courbe représentative

La fonction sinus est impaire

et 2π-périodique. x0π2π 1 sin(x)? ? 0 0

La fonction cosinus est paire

et 2π-périodique. x0π2π 1 cos(x)0 -1

La fonction tangente est impaire

etπ-périodique. x0π2 tanx 0 123
-1 -2 -3 -4

2π-π2

-2π-2π

I.4 Dérivation

Propriété 2

Les fonctions sinus et cosinus sont définies et dérivables surR, la fonction tangente est définie et dérivable

sur tout intervalle ne contenant pasπ

2+kπ, et on a :

©cos

?(x) =-sin(x).

©sin

?(x) = cos(x).

©tan

?(x) =1cos2(x)= 1 + tan 2(x). http://mathematiques.daval.free.fr-3-

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II Fonctions circulaires réciproques

II.1 definitions

Considérons une fonctionfdéfinie sur un intervalleIet à valeurs dansRqui à un réelxdeIassocie un

réely. Nous voudrions savoir si nous pouvons définir une fonction "retour » qui permette, à partir dey, de

revenir àx.

Définition 2

SoientIetJdeux intervalles deRetf:I→June fonction continue strictement monotone.

Il existe une unique fonctionf

-1:J→Itelle que pour toutx?Iet pour toutx?J: f -1◦f(x) =f-1(f(x)) =xetf◦f-1(x) =f(f-1(x)) =x. Cette fonction est appelée fonction réciproque def.

Remarque 1

Graphiquement, la courbe de la fonction réciproquef -1d"une fonctionfs"obtient en appliquant une symé- trie d"axe la droite d"équationy=x.

C"est le cas, par exemple, pour les fonctions logarithme et exponentielle surR, où encore pour les fonctions

carré et racine carrée sur [0;+∞[.

II.2 Fonction arc sinus

Définition 3

La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l"intervalle[-

2;π

2]. Elle admet donc sur cet

intervalle une fonction réciproque définie sur[-1;1].

Cette fonction est appelée arc sinus

et notéearcsinou parfoissin-1.

2-π

2 2π 2 y= sinx y= arcsinx y= arcsinxsignifie queyest le réel (l"arc) compris entre-

2et-π

2dont le sinus vautx.

?x?[-1;1],arcsin ?x=1⎷1-x2

Exemple 1

Ôarcsin?1

2? =π6carsin?π6? =12.

Démonstration de la dérivée :

Pour toutxde [-1;1], on a sin(arcsin(x)) =x.

En dérivant les deux membres, on obtient :

arcsin(x) ?×cos(arcsin(x)) = 1 d"où arcsin(x)?=1cos(arcsin(x)).

Comme cos(arcsin(x)) =?

1-sin2(arcsin(?x)) =⎷1-x2, on obtient le résultat cherché.

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II.3 arc cosinus

Définition 4

La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l"intervalle[0;π]. Elle admet donc sur cet

intervalle une fonction réciproque définie sur[-1;1].

Cette fonction est appelée arc cosinus

et notéearccosou parfoiscos-1. -1 -1π 11 y= cosx y= arccosx y= arccosxsignifie queyest le réel (l"arc) compris entre 0 etπdont le cosinus vautx. ?x?[-1;1],arccos ?x=-1⎷1-x2

II.4 arc tangente

Définition 5

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l"intervalle]-

2;π

2[. Elle admet donc sur

cet intervalle une fonction réciproque définie surR.

Cette fonction est appelée arc tangente

et notéarctanou parfoistan-1.

1 2 3-1-2-3-4

12 -1 -2 -3 y= tanx y= arctanx y= arctanxsignifie queyest le réel (l"arc) compris entre-π

2etπ2dont la tangente vautx.

?x?R,arctan ?x=11 +x2 http://mathematiques.daval.free.fr-5-

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III Fonctionseiteteat

Définition 6

Pour tout nombre réelθet tout nombre complexea=α+iβ, on pose : iθ= cosθ+isinθ. at=eαt[ cos(βt) + ßsin(βt) ]

Démonstration de la seconde égalité :

eat=e(α+iβ)t=eαteiβt=eαt[ cos(βt) +isin(βt) ].

Remarque 2

On peut retrouver ainsi les formules de Moivre et d"Euler, pour toutθ?Retn?N: (cosθ+isinθ)quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8