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Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1] Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin−1 π 2 −

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Synthèse de cours PanaMaths

Fonctions circulaires réciproques

PanaMaths [1-4] Août 2010

Définition

La fonction sinus définit une bijection de l'intervalle 22
dans l'intervalle @1; 1, la fonction cosinus définit une bijection de l'intervalle

0; dans l'intervalle @1; 1 et la

fonction tangente définit une bijection de l'intervalle ;22 dans . On peut donc définir les fonctions réciproques correspondantes :

La fonction réciproque de la fonction sinus est appelée " arc sinus » et est notée arcsin.

Pour tout réel x dans l'intervalle 1; 1, on a : arcsin ; et sin22yxy yx La fonction réciproque de la fonction cosinus est appelée " arc cosinus » et est notée arccos. Pour tout réel x dans l'intervalle 1; 1, on a : >@arccos 0; et cosyxy yx La fonction réciproque de la fonction tangente est appelée " arc tangente » et est notée arctan. Pour tout réel x, on a : arctan ; et tan22yxy yx Remarque : en tenant compte du fait que les fonctions sinus et cosinus sont

2périodiques

et respectivement impaire et paire et du fait que la fonction tangente est périodique, il vient : sin arcsin 2 ou arcsin 2 cos arccos 2 tan arctanxyy xk y xk xyy xk xyy xk k étant un entier www.panamaths.net

Fonctions circulaires réciproques

PanaMaths [2-4] Juin 2012

Parité

Les fonctions arc sinus et arc tangente sont impaires sur leurs domaines de définition respectifs.

Continuité

Les fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente sont continues sur leurs domaines de définition respectifs.

Limites

lim arctan lim arctan22 xx xx

Equivalences

00 arcsin arctanxxx

Sens de variation

Les fonctions arc sinus et arc tangente sont strictement croissantes sur leurs domaines de définition respectifs. La fonction arc cosinus est strictement décroissante sur son domaine de définition. www.panamaths.net

Fonctions circulaires réciproques

PanaMaths [3-4] Juin 2012

Dérivées

La fonction arc sinus est dérivable sur 1; 1 et on a, pour tout réel x dans cet intervalle : 2 arcsin 1arcsin'1dxxdx x La fonction arc cosinus est dérivable sur 1; 1 et on a, pour tout réel x de cet intervalle : 2 arccos 1arccos'1dxxdx x La fonction argument tangente hyperbolique est dérivable sur et on a, pour tout réel x : 2 arctan 1arctan'1dxxdx x

Courbes représentatives

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Fonctions circulaires réciproques

PanaMaths [4-4] Juin 2012

Remarque : sur la figure ci-dessus, on a fait apparaître : Les deux asymptotes horizontales (à la courbe représentative de la fonction arc tangente) d'équations 2x et 2x

La tangente, d'équation

yx, à l'origine aux courbes représentatives des fonctions arc sinus et arc tangente.

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