Fonctions trigonométriques réciproques 1 Définitions Les fonctions sinus, cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Synthèse de cours PanaMaths → Fonctions circulaires réciproques
Synthèse de cours PanaMaths → Fonctions circulaires réciproques PanaMaths [1-4] Août 2010 Définition La fonction sinus définit une bijection de l'intervalle
[PDF] FONCTIONS CIRCULAIRES - Christophe Bertault
FONCTIONS CIRCULAIRES Définition La fonction cosinus est paire, la fonction sinus impaire, et : Réciproquement, pour tout couple (x, y) ∈ 2 pour lequel :
[PDF] Notes sur les fonctions circulaires réciproques Table des mati`eres 1
Notes sur les fonctions circulaires réciproques Définition : La fonction arcsinus, notée arcsin, est l'application réciproque de l'application bijective g: [− π 2
[PDF] FONCTIONS CIRCULAIRES - Free
Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1] Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin−1 π 2 −
[PDF] Fonctions trigonométriques réciproques
Fonctions trigonométriques réciproques 1 Définitions Les fonctions sinus, cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par
[PDF] Fonctions circulaires réciproques
Fonctions circulaires réciproques l'application sin admet donc une application réciproque, notée arcsin : [−1; 1] −→ ” −π 2 La fonction arcsin est impaire
[PDF] 26 Fonctions circulaires - Thierry Champion
Les fonctions cosinus, notée cos, et sinus, notée sin, sont définies sur R de la La fonction arcsinus, notée arcsin, est définie sur [−1,1] et est la réciproque
[PDF] Chapitre 8 Bijections et fonctions circulaires réciproques Points de
Bijections et fonctions circulaires réciproques Points de cours les plus importants • Définition de bijection (et de "réalise une bijection") • Résultat sur la
[PDF] Fonctions usuelles
19 nov 2014 · 1 4 Fonctions circulaires réciproques Maths en Ligne Fonctions usuelles UJF Grenoble 1 Cours 1 1 Fonctions puissance Si n est un
[PDF] limite arctan en 0
[PDF] le pouvoir du peuple par le peuple pour le peuple
[PDF] fonctions trigonométriques réciproques pdf
[PDF] shlomo sand livres
[PDF] le peuple est il souverain dissertation
[PDF] exercices corrigés fonction arctangente
[PDF] fonction circulatoire définition
[PDF] comment la terre d'israël fut inventée pdf
[PDF] origine des juifs d'israel
[PDF] appareil circulatoire cours
[PDF] système circulatoire
[PDF] comment la terre d'israël fut inventée
[PDF] appareil circulatoire schéma
[PDF] histoire peuple hebreu
1
Fonctions trigonométriques réciproques
1 Définitions
Les fonctions sinus, cosinus définies de dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par définition,
c'est à dire : y [-1 ;1], x tel que sin(x) = y et cos(x) = y .La fonction tangente définie de - {x x =
2 + k , k } dans est une application surjective par définition .A condition de restreindre judicieusement leurs ensembles de définition, on peut définir des fonctions qui sont
injectives et par conséquent bijectives. Pour la fonction sinus, on restreint son domaine de définition à l'intervalle [- 2 2 ] et on a : sin : [- 2 2 ] [-1 ;1] x sin(x) Alors cette fonction " sin " est bijective et on peut définir sa fonction réciproque appelée arc sinus ainsi : arcsin : [-1;1] [- 2 2 x arcsin(x) avec l'équivalence : y = arcsin(x) x = sin(y)La représentation graphique
1 f d'une fonction f -1 réciproque d'une applicatio bijective est toujours symétrique de f par rapport à la bissectrice d du premier et troisième quadrant d'équation d : y = x . 1 f f 2 Pour la fonction cosinus, on restreint son domaine de définition à l'intervalle [0 ;] et on a : cos : [0 ;] [-1 ;1] x cos(x) Alors cette fonction "cos" est bijective et on peut définir sa fonction réciproque appelée arc cosinus ainsi : arccos : [-1;1] [0 ;] x arccos(x) avec l'équivalence : y = arccos(x) x = cos(y) Pour la fonction tangente, on restreint son domaine de définition à l'intervalle ]- 2 2 [ et on a : tan : ]- 2 2 x tan(x) Alors cette fonction "tan" est bijective et on peut définir sa fonction réciproque appelée arc tangente ainsi : arctan : ]- 2 2 x arctan(x) avec l'équivalence : y = arctan(x) x = tan(y)Exemples : arcsin(1) =
2 , car sin( 2 ) = 1 arccos( 213 , car cos( 3 21
; arctan(-1) = - 4 , car tan(- 4 ) = -1
2 Remarques :
1) Soit f : A B une application bijective et f
-1 : B A sa réciproque avec y = f -1 (x) x = f(y) .On a alors : f
of -1 = id B et f -1 of = id A , c'est à dire : xB , : fof -1 (x)= id B (x) = x et yA , : f -1 of(y)= id A (y) = y . Ainsi : x [-1 ;1] , sin[arcsin(x)] = x et cos[arccos(x)] = x y [- 2 2 ] , arcsin[sin(y)] = y et y [0 ;] , arccos[cos(y)] = y et x , tan[arctan(x)] = x y ]- 2 2 [ , arctan[tan(y)] = y .2) On a aussi : x[-1 ;1] , arcsin(-x) = -arcsin(x) et x
, arctan(-x) = -arctan(x) ; les fonctions arcsin et arctan sont donc impaires.( car sin et tan sont impaires) preuve : y = arcsin(-x) -x = sin(y) x = -sin(y) x = sin(-y) -y = arcsin(x) y = -arcsin(x) y = cos(x) y = arctan(x) y = tan(x) y = arccos(x) 33 Dérivées
On a démontré le théorème de dérivation d'une fonction réciproque d'une application bijective :
Si f est une fonction bijective et continue sur un intervalle ouvert contenant y 0 et si f est dérivable en y 0 et si f '(y 0 ) 0 , alors la bijection réciproque f -1 est dérivable en x 0 = f(y 0 ) et on a (f -1 )'(x 0 )('f1 0 y.En posant y = f
-1 (x) = arcsin(x) et x = f(y) = sin(y) on obtient : (f -1 )'(x) = [arcsin(x)]' = x- 1 1 * (x))cos(arcsin1 cosy1 (siny)'1 )y('f1 2 , x ]-1 ;1[ .(* cf. exercice 3a)Exercices : démontrer que : [arccos(x)]' =
x- 1 1- 2 x ]-1 ;1[ et [arctan(x)]' = 2 x 1 1 , x . remarque : la fonction arcsin n'est pas dérivable en x = -1 et en x = 1 ; calculons f d (1) et f ' g (-1) : f d (1) =01 x- 1 1 lim
21xet f g (-1) =
01 x- 1 1 lim
21xinterprétation géométrique : les tangentes au graphique de la fonction arcsin en 1 x et en 1 x sont verticales : 4