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Chapitre 21

CONVEXITÉ

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 21.1Que dire d"une fonction convexe et concave sur un intervalle? Exercice 21.2Que dire de la somme de deux fonctions convexes? D"une combinaison linéaire?

Exercice 21.3Soitf:R-→R, une fonction convexe et positive. On suppose quefa deux zérosaetbaveca < b.

Montrer quefest nulle sur le segment[a,b].

Exercice 21.4Soientfetgconvexes surI,que dire desup(f,g)et deinf (f,g)? Exercice 21.6Justifier, à l"aide de la convexité d"une certaine fonction quex?-→e x-1 xest croissante surR

Exercice 21.7Soientfetgconvexes surRavecgcroissante, montrer queg◦fest convexe. En déduire que si

h:R-→R +?est telle quelnhest convexe, alorshest convexe. Exercice 21.8Soitfconvexe surIetx < y < zdansI, montrer que? ?1x f(x)

1y f(y)

1z f(z)?

?≥0. Exercice 21.9Utiliser la fonctionf, définie sur]1,+∞[parf(x) = lnlnxpour montrer que : ?x,y?]1,+∞[,ln?x+y 2? ≥?ln(x)ln(y)

Exercice 21.10Soientn?N?eta1,..,an?R?

+, on définitA(a1,..,an) =1n n? k=1 ak(moyenne arithmétique) et G(a

1,..,an) =n

n? k=1 ak(moyenne géométrique).Montrer queA(a1,..,an)≥G(a1,..,an).

Applications : Démontrer les inégalités

1. Montrer que?(a,b,c)?R

+3, a

3+b3+c3≥3abc

(a+b+c)

3≥27abc

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 21. CONVEXITÉ

2. ?n?N Exercice 21.11Prouver la convexité def(x) = ln(1 +ex). Montrer que pour toutndansN?,?(x1,...,xn)? ]0,+∞[n, 1 +? n? k=1 xk ?1n n? k=1 (1 +xk) 1 n En déduire que pour toutndansN?,(a1,...,an)?R?n+,(b1,...,bn)?R?n+ ?n? k=1 (ak+bk)? 1 n n? k=1 ak ?1 n n? k=1 bk ?1 n Exercice 21.12Montrer que pour toutndansN?,(a1,...,an)?R?n+ n? k=1 ai≥1⎷n n? k=1 ⎷ai

En déduire que?x >1,?

x2n-1≥?x+ 1 x-1x n-1⎷n

Exercice 21.13

1. Soitfdéfinie parf(x) =e2x-cosx, montrer quefest convexe surR.

2. Soitf:I-→R

+,montrer quelnfconvexe=?fconvexe (Utilisez la concvité deln). Que pensez-vous de la réciproque? Application : prouver la convexité degdéfinie parg(x) = (1 +x) x.

Exercice 21.14Montrer que?a,b,x,y >0, on a

xlnx a+ylnyb≥(x+y)lnx+ya+b

2Les techniques

Exercice 21.15Soitf: ]0,+∞[-→Rconvexe. Montrer quef(x)xa une limite dansR?{+∞}lorsquextend vers

+∞. (On pourra utiliser la croissance des cordes).

1. Montrer quefest convexe et décroissante.

2. Montrer quefetf

?tendent vers0en+∞.

3. Soitgethdéfinies parg(x) =f(x)e

xeth(x) = (f?(x) +f(x))e-xpourx≥0. Etudier les variations dehet deg, ainsi que le signe deh. -x. -2/7-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

Chapitre 21

CONVEXITÉ

Solution des exercices

1Les basiques

Exercice 21.1Elle est au dessus et en dessous de ses cordes, donc coïncide avec chaque corde. Elle est donc affine

sur l"intervalle. Exercice 21.2Sifetgsont convexes, alors pour(x,y)?I2etλ?[0,1],on a d"où Pour une combinaison linéaire, cela ne marche plus.... Prendref(x) =e xetg(x) =e-x, la différence n"est pas convexe. Exercice 21.3La courbe est sous la corde[A,B]est est au dessus de l"axeOxcarfest positive!

Exercice 21.4Soient(x,y)?I2etλ?[0,1],on a

Or si on poseh= sup(f,g)

de même donc ethest bien convexe.

En revanche pourinf (f,g),cela ne marche pas. Il suffit de prendref(x) =xetg(x) = 0qui sont convexes.

Exercice 21.5La fonctionf= expest convexe donc au dessus de sa tangente en0et en dessous de la corde. La

tangente en0a pour équation y=f(0) +f ?(0)(x-0) = 1 +x

La corde a pour équation?

?x-0 1-0 y-f(0)f(1)-f(0)? ?x-0 1-0 y-1e-1? ?= (e-1)x-y+ 1 = 0??y= 1 + (e-1)x

1. LES BASIQUESCHAPITRE 21. CONVEXITÉ

Exercice 21.6La fonctionexpest convexe, on sait que l"on a donc croissance des cordes issues d"un point. En

particulier du pointAd"abscisse0,la pente des cordes vaut alorsex-1 x-0qui est une fonction croissante surR

Exercice 21.7Soient(x,y)?R2etλ?[0,1],on a

On a donc, par croissance deg

Or?(u,v)?R

2etλ?[0,1]

Avecu=f(x)etv=f(y),on en déduit que

Pour la suite, on posef= lnh:R-→Retg= expqui sont convexe avecgcroissante. On en déduit queh=g◦f

est convexe. Exercice 21.8On ay?]x,y[,il existe doncλ?]0,1[tel quey=λx+ (1-λ)z. On a alors z-y=z-λx-(1-λ)z=λ(z-x) y-x=λx+ (1-λ)z-x= (1-λ)(z-x) et ?1x f(x)

1y f(y)

1z f(z)?

?=f(x)(z-y)-f(y)(z-x) +f(z)(y-x) =λ(z-x)f(x)-f(y)(z-x) + (1-λ)(z-x)f(z) ≥λ(z-x)f(x) + (1-λ)(z-x)f(z)-λ(z-x)f(x)-(1-λ)(z-x)f(z) = 0

Exercice 21.9La fonctionfest de classeC1sur]1,+∞[etf?(x) =1xlnx,est décroissant (produit de fonctions

positives décroissantes) ainsifest bien concave. On en déduit que lnln ?x+y 2? ≥ln(lnx) + ln(lny)2= ln?ln(x)ln(y) il suffit de passer à l"exponentielle qui, elle, est croissante.

Exercice 21.10La fonctionln :?

?]0,+∞]→R x?→ln(x)est concave (car sa dérivée seconde est négative).Donc-lnest convexe et d"après l"inégalité de Jensen on a avecλk=1 n -ln? n? k=1 ak n? n? k=1 1 n(-ln(ak)), en multipliant par-1puis en prenant l"exponentielle (qui est croissante) de chaque membre on a n? k=1 ak n≥? n? k=1 ak ?1 n soitA(a1,..,an)≥G(a1,..,an)

1. On applique à

?a

3,b3,c3?d"où

a

3+b3+c3

3≥

3⎷a3b3c3=abc

puis à(a,bc)d"où a+b+c

3≥

3⎷abcet on élève au cube

-4/7-

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CHAPITRE 21. CONVEXITÉ1. LES BASIQUES

2. Idem, on applique avecxi=id"où

1 n n? k=1 k=n+ 12≥ n⎷n! Exercice 21.11On commence par passer auln, on doit ainsi montrer que ln?

1 + (?

n k=1xk) 1n? = ln?1 + exp? 1 n ?n n ?n k=1ln(1 + exp(yk))où l"on a poséyk= ln(xk).

Posonsf(x) = ln(1 +e

x), l"inégalité demandée va découler de la convexité def. En effetf??(x) =ex

1+ex>0.Pour

finir on prendx k=akbk. Exercice 21.12La fonctionf(x) =x2est concave donc,?1 n ?n k=11n ?⎷ai?2=1 n ?n k=1ai, on passe ensuite à la racine carrée pour conclure.

Ensuite, on posea

k=x2k. Alors??n k=1x2i=?x2(x2n-1) x2-1≥1⎷n ?n k=1xi=1⎷nx(x n-1) x-1ce qui donne le résultat.

Exercice 21.13

1. Un calcul simple,festC∞donne

f ??(x) =?cosx+ 4 + 4sinx+ sin2x?e2x-cosx Or cosx+ 4 + 4sinx+ sin

2x= (1 + cosx)????

≥0 +?3 + 4sinx+ sin2x? ≥0 carX2+ 4X+ 3 = (X+ 3)(X+ 1)est positif sur[-1,+∞[

On en déduit que

fest convexe surR Remarque :On peut aussi écrire quecosx+4+4sinx+sin

2x= cosx+(2 + sinx)2,or(2 + sinx)≥2-1 = 1

donccosx+ (2 + sinx)

2≥1 + cosx≥0.

Exercice 21.14Soientλ?R,(x,y)?R2alors

Mais par concavité du logarithme, on a

d"où par croissance de l"exponentielle, il vient ce qui est exactement la convexité def. La réciproque est fausse comme le prouve l"exemple def(x) =e

2x-cosxqui est convexe alors queln(f(x)) = 2x-cosx

a pour dérivée seconde la fonctioncosdonc n"est pas convexe.

Remarque :Attention, on ne sait rien sur la dérivabilité def.On ne peut donc pas tenir le raisonnement suivant

(très rapide!) (lnf) ??=?f f? =f ??f-f ?2 f2≥0 =?f??≥f ?2 f(fest positive carlnfest définie) -5/7-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 21. CONVEXITÉ

doncf??est positive, ainsifest convexe.

Application : on a facilement

d 2 dx2(ln(1 +x)x) =2 +x(1 +x)2≥0sur]-1,+∞[ ce qui prouve la convexité surI= ]-1,+∞[.

Exercice 21.15Soitf(z) =zlnz,alorsd

2 dz2f(z) =1z≥0surR +, l"inégalité demandée s"écrit alors af ?x a? =xlnxa bf?y a? =ylnyb x+y a+b=aa+bxa+ba+byb d"où f?a a+bxa+ba+byb? =x+ya+blnx+ya+b et l"inégalité demandée s"écrit alors a a+bf?xa? +ba+bf?ya? ≥f?aa+bxa+ba+byb? ce qui est vrai par convexité def.

2Les techniques

Exercice 21.16Soitτ:x?-→f(x)-f(1)x-1la pente des cordes issues du point d"abscisse1de la courbe def.On

sait queτest croissante sur]1,+∞[.Comme toute fonction croissante, ou bienτa une limite finie?en+∞, ou bien

τ(x)-----→

x→+∞+∞. Mais f(x) x=(x-1)τ(x) +f(1)x=(x-1)xτ(x) +f(1)x Ainsi f(x) xa la même limite queτdansR?{+∞}. ??doncf??≥0, ainsifest bien convexe. Ensuitefest au dessus de ses tangentes, ainsi?a≥0 f(x)≥f(a) +f ?(a)(x-a) Sif bien décroissante.

2. On en déduit quefest décroissante, minorée par0(car positive) donc admet une limiteLen+∞. SiL >0,

alors x 0 x 0

On en déduit que

f

On a donc

f(x)-----→ x→+∞0 -6/7-

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CHAPITRE 21. CONVEXITÉ2. LES TECHNIQUES

L ?en+∞. SiL?>0,on a f x 0

Conclusion, on a bien

f(x)-----→

3. On ag

?(x) =h(x)e2xeth?(x) = (f??(x)-f(x))e-x≥0. On en déduit quehest croissante et puisque h(x)-----→ x→+∞0 d"où gest décroissante surR

4. Il vient alors

-x -7/7-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19