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Limites de fonctions - 1 / 1 - cos x x Calculer lim x → +∞ f ( x ) Pour toux x ∈ IR+ * , on a : - 1 ≤ cos x ≤ 1 , donc – 1 x ≤ B ) COMPARAISON A L'INFINI

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Limite d'un produit de cosinus en nombre infini (Briot, géométrie analytique) Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 8 (1849), p 459-460

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Limites remarquable Fonctions trigonométrique lim x→0 sin(x) x = 1 lim x→0 1 − cos(x) x2 = 1 2 lim x→0 arcsin(x) x = 1 lim x→0 tan(x) x = 1 Fonctions 

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La fonction f(x) = sin(1/x) admet-elle une limite en 0? 3 cos(πx) 1 2x f) lim x1/2 (2x2+x1) tan(πx) g) lim x0 cosx 1 x2 h) lim x0 n'a pas de limite en l'infini 3

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Dans ce qui précède, on avait k (x) ∼ 1012f (x) ce qui traduit l'idée, qu'à un facteur près, le comportement à l'infini est le même 1 2 sinx ∼ x quand x → 0 Une 

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26 jui 2013 · 3 2 Application aux calculs de limites Définition 3 : On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : x ↦→ sin x et x ↦→ cos 

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limite l ∈ Ê Alors la suite (cos(n + 1)) converge également vers l On a et donc, en passant à la limite : Nous venons de montrer que f est bornée “à l'infini”

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On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini Exemple 5 Cherchons le DL4(0) de tan x Ona: tan x = sin x cos x = x − x3 6 + o (x4)

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être infini, ainsi que la limite, ce qu'on résume en écrivant : lim : (R → R⊥) x ) tend vers cos 1 Exo 3 Quelle est la limite quand x tend vers 0 de sin(sin x x )?

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NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUESLimited"unproduitdecosinusennombre infini(Briot,géométrieanalytique)

Nouvelles annales de mathématiques 1

resérie, tome 8 (1849), p. 459-460 © Nouvelles annales de mathématiques, 1849, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Nouvelles annales de mathématiques » implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

LIMITE D'UN PRODUIT DE COSINUS EN NOMBRE INFINI.

(BRIOT

Géométri

e analytique

THÉORÈME

La limite du produit infini a a acos a cos - cos - cos - <2 I2 2J smiaest

Démonstration

Soien t a a acos a cos - cos - • • • cos - = P,2 22 2" a a asm a sin - sm sm - = O :2 2' 2n ( 46o ) o n e n tire pa r voi e d e multiplication 2. n l asin - 2 d'o sin/ z 2 #I? = 2"-+- s m - 2 /2 n devenan t infini sin devien t

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l a - e t pa r l F a l a limitequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47