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Limites de fonctions - 1 / 1 - cos x x Calculer lim x → +∞ f ( x ) Pour toux x ∈ IR+ * , on a : - 1 ≤ cos x ≤ 1 , donc – 1 x ≤ B ) COMPARAISON A L'INFINI

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Limite d'un produit de cosinus en nombre infini (Briot, géométrie analytique) Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 8 (1849), p 459-460

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Limites remarquable Fonctions trigonométrique lim x→0 sin(x) x = 1 lim x→0 1 − cos(x) x2 = 1 2 lim x→0 arcsin(x) x = 1 lim x→0 tan(x) x = 1 Fonctions 

[PDF] Feuille 9 Limites et continuité des fonctions

La fonction f(x) = sin(1/x) admet-elle une limite en 0? 3 cos(πx) 1 2x f) lim x1/2 (2x2+x1) tan(πx) g) lim x0 cosx 1 x2 h) lim x0 n'a pas de limite en l'infini 3

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Dans ce qui précède, on avait k (x) ∼ 1012f (x) ce qui traduit l'idée, qu'à un facteur près, le comportement à l'infini est le même 1 2 sinx ∼ x quand x → 0 Une 

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26 jui 2013 · 3 2 Application aux calculs de limites Définition 3 : On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : x ↦→ sin x et x ↦→ cos 

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limite l ∈ Ê Alors la suite (cos(n + 1)) converge également vers l On a et donc, en passant à la limite : Nous venons de montrer que f est bornée “à l'infini”

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On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini Exemple 5 Cherchons le DL4(0) de tan x Ona: tan x = sin x cos x = x − x3 6 + o (x4)

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être infini, ainsi que la limite, ce qu'on résume en écrivant : lim : (R → R⊥) x ) tend vers cos 1 Exo 3 Quelle est la limite quand x tend vers 0 de sin(sin x x )?

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L1UCBL2016Ð2017 FondamentauxdesmathŽmatiquesI

Feuille9.Limites etcontinuitŽdes fonctions

Exercice1.Calculerleslimites suivantes:

a)lim x⇣+⌘ 2x+5

3x⇣4

b)lim x⇣2 x 2 ⇣4 x⇣2 c)lim x⇣1 x 3 ⇣1 x 2 ⇣1 d)lim x⇣1 1

1⇣x

1

1⇣x

2 e)lim x⇣0 1

1+x⇣1

f)lim x⇣+⌘ x 2 +2x+5⇣xg)lim x⇣q⌘ x 2 +2x+5⇣x h)lim x⇣+⌘ x 2 +x+1⇣(x+1)i)lim x⇣+⌘ x+5⇣ x⇣3j)lim x⇣+⌘ q x+ x⇣ x

Exercice2.

1.Quelleestla limiteen 0de

sinx x

2.Lafonction f(x)=s in(1 /x)admet-elleune limiteen0?

3.Calculezlim

x⇣0 xsin(1/x).

Exercice3.Calculerleslimites suivantes:

a)lim x⇣0 sin(2x) x b)lim x⇣0 sin(2x) sin(3x) c)lim x⇣0 tanx x d)lim x⇣0 x 2 sin(1/x) sinx e)lim x⇣1/2 cos(⇣x)

1⇣2x

f)lim x⇣1/2 (2x 2 +x⇣1)tan(⇣x)g)lim x⇣0 cosx⇣1 x 2 h)lim x⇣0 ln(cos(3x)) ln(cos(2x)) i)lim x⇣0 ln(1+x 2 sin 2 x j)lim x⇣+⌘ ln 2 x⇣ xk)lim x⇣+⌘ ln(x+1) lnx l)lim x⇣0 xln 3 xm)lim x⇣+⌘ exp(ln 2 x) x n ,nqZ Exercice4. Soitf:R(RunefonctionpŽriodique quiadmetune limiteen+%.Que peut-ondire def? Exercice5.EtudierlacontinuitŽ desfonctionssuivantes surleur domainededŽÞnition.

1.f:[0,2](RdŽÞnieparf(x)=

x 2 si0&x&1

2x⇣1si1

2.f:R(RdŽÞnieparf(x)=x+

x 2 x six'=0etf(0)= 1.

3.f:R(RdŽÞnieparf(x)=xE(1/x)six'=0etf(0)=1 ,oEdŽnotelapartie

4.f:[⇣2,2](RdŽÞnieparf(x)=x

2 sin(⇣/x)six'=0etf(0)= 0. 1 L1UCBL2016Ð2017 FondamentauxdesmathŽmatiquesI

1.Tracerleursgraphesr espectifs,etconstaterquÕilssedŽduisent lÕundelÕautr epar

unesymŽtrie.

2.Cesapplications sont-ellesrŽciproqueslÕunedelÕautr e?

3.Pourchacunede cesapplications,prŽciser sielleest continuesurson domainede

dŽÞnition. Exercice7.Montrerquesif:R(Restunefonction continuetelleque lim x⇣q⌘ f(x)= ⇣%etlim x⇣+⌘ f(x)=+%,alorsfestsurjective. Exercice8. MontrerquÕilexistexq[3⇣/4,⇣]telque tanx+ x 3 =0

Exercice9.

1.Montrerquetoutpolyn™meˆ coefÞcients rŽelsetde degrŽimpairadmet aumoins

uneracine dansR.

2.Donneruncontr e-exempledepolyn™me ˆcoefÞcientsrŽelsetde degrŽpairqui

nÕadmetaucuneracine dansR. Exercice10. SoitfunefonctiondŽÞnie etcontinuesur lesegment[0,1]ettelle que

0&f(x)&1,)xq[0,1]

MontrerquÕilexisteau moinsunpoint x

0 q[0,1]telquef(x 0 )=x 0 n :[1,+%[(RdonnŽe par f n (x)=x n ⇣x⇣1

1.MontrerquÕilexisteununique x

n >1telquef n (x n )=0.

2.Montrerquef

n+1 (x n )>0.

3.EndŽduire quelasuite(x

n n%2 estdŽcroissante etconvergeversunelimite l.

4.DŽterminerl.

Exercice12. Montrerquesif:[a,b](Restinjectiveet continue,alorselle eststric- tementmonotone.Mme questionavecune fonctiondŽÞniesur unintervallequel- conque. 2 L1UCBL2016Ð2017 FondamentauxdesmathŽmatiquesI Exercice13.Soientaetbdeuxnombres rŽelstelsquea1.Onsuppose quepourtout(x,y)q[a,b]+[a,b]ona

|f(x)⇣f(y)|&|x⇣y| Montrerquefestcontinue.En dŽduirequÕil existexq[a,b]telquef(x)=x.

2.Onsuppose maintenantquepourtout(x,y)q[a,b]+[a,b]avecx'=yona

|f(x)⇣f(y)|<|x⇣y| MontrerquÕilexisteun uniquexq[a,b]telquef(x)=x.

Exercice14. Vraioufaux?

1.Sifestcontinuesur unintervalle fermŽbornŽ[a,b]versR,alorsf([a,b])estun

intervallefermŽbornŽ.

2.Sifestcontinuesur unintervalle ouvertbornŽ]a,b[versR,alorsf(]a,b[)estun

intervalleouvertbornŽ.

3.Sifestcontinuesur unintervalle ouvertbornŽ]a,b[versR,alorsf(]a,b[)estun

intervalleouvert,mais pasforcŽment bornŽ.

4.Sifestcontinuesur unintervalleouvert bornŽ]a,b[versR,alorsf(]a,b[)estun

intervalle,mais pasforcŽment ouvertnibornŽ. Exercice15. SoientfetgdeuxfonctionsdŽÞnies surR.

1.AlÕaidede lavaleurabsolue, trouver uneformuleexplicite quicalculela fonction

sup(f,g).

2.Montrerquesifetgsontcontinues,alors sup(f,g)lÕestaussi.

Exercice16.Quellessontles fonctionsf:R(RcontinuesdontlÕimage estcontenue dansQ? Exercice17.DŽterminertoutes lesfonctions f:R(RvŽriÞantf(x+y)=f(x)+f(y) pourtous(x,y)qR 2

1.ensupposant fcontinue,

2.ensupp osantfcroissante,

3.ensupposant fcontinueen 0.

Exercice18.

1.Soitf:R(Runefonctioncontinue etpŽriodique. Montrerque festbornŽe.

2.Enutilisant lerŽsultatprŽcŽdent,calculerlalimite

lim x⇣+⌘ lnx x(sin 8 x+cos 14 x) 3 L1UCBL2016Ð2017 FondamentauxdesmathŽmatiques I

Feuille9.Correction

Exercice1.

1.lim x⇣+⌘ 2x+5

3x⇣4

=lim x⇣⌘quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47