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On a besoin d'étudier la limite en  ( est un nombre réel ou l'infini) d'une fonction composée : f = v ° u Rien de plus simple si on se souvient de ce qu'est une fonction composée La fonction f est celle définie par: Départ  Arrivée Pour étudier la limite en  de f, on va se reposer à l'étape 1 avant de repartir

9 oct 2014 · 3 Limites des fonctions élémentaires 4 5 Limite d'une fonction composée 1) Limite en +∞ de la fonction f définie sur R∗ par : f(x) = x + 3 +

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X = 2 - Comme limite de fonctions composées, on a lim x→+∞ 4x −1

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Exemple 1: Déterminer la limite en +∞ de la fonction définie sur ℝ\{0} par ( ) = 1 3 2) Limite de la composée d'une suite et d'une fonction

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4) Limite d'une composée de deux fonctions On admettra le théorème suivant : Théorème 8 Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout réel

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Théor`eme (limite de la fonction composée ) Soient I et J deux intervalles, et f : I → J, g : J → R deux fonctions telles que

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Théorème 2 (continuité des fonctions composées) Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit g une Théorème 6 (limite d'une fonction composée)

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Soit f une fonction de R dans R et x ∈ Df Soit P une des propriétés Des théorèmes 2 et 3, on déduit que la somme, le produit, la composée de deux fonctions

Limites de fonctions composées

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie

On a besoin d'étudier la limite en  ( est un nombre réel ou l'infini) d'une fonction composée : f = v ° u.

Rien de plus simple si on se souvient de ce qu'est une fonction composée. On part d'un nombre: Départ On applique la fonction u: Étape 1 On applique la fonction v : Arrivée La fonction f est celle définie par: Départ  Arrivée. Pour étudier la limite en  de f, on va se reposer à l'étape 1 avant de repartir. Ce qui donne: On part de  et on détermine la limite de la fonction u en  limx u (x) =  ( est un nombre réel ou l'infini)

On est en  à l'étape, on repart de cette étape et on détermine la limite en  de la fonction v.

limtv (t) = l (l est un nombre réel ou l'infini)

On est arrivé.

Conclusion: limx f (x) = l

Exemples:

1) quelle est la limite en +∞ de la fonction f: x 

4x2-2x1 x21 ? f est la fonction composée v ° u avec u (x) = 4x2-2x1 x21 et v(t) = tlimx∞u (x) = 4 (limite d "e fonction rationnelle) et limt4t = 2 (continuité de la fonction  en 4), donc, limx∞f (x) = 2

2) Quelle est la limite en 0 de la fonction f: x  xx ?

On sait que f = v ° u avec u (x) = x ln x et v(t) = et

On a successivement:

limx0 u (x) = 0 (résultat du cours) et limt0et = 1 (continuité de la fonction exp en 0),

Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau

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Limites de fonctions composées

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie d'où, limx0f (x) = 1

3) Quelle est la limite en 1 de la fonction f : x  ln(x - 1)?

On a de façon évidente:

limx1 x1 (x - 1) = 0 et x - 1 > 0, puis, limt0lnt = -∞, d'où, limx1 x1 f (x) = -∞.

4) quelle est la limite en +∞ de f: x  x×ln(1 + 1

x)?

Quand x tend vers +∞, le nombre 1

x tend vers 0 .... cela doit vous rappeler quelque chose, on ajoute une quantité qui tend vers 0 ... et comme x = 1 1 x , on pense à la forme ln1t t en 0.

f est donc la composée de la fonction inverse suivie de la fonction v définie par v(t) = ln1t

Autrement écrit:

x  1 x = t  ln1t t = x×ln(1 + 1 x) limx∞ 1 x = 0 et limt0ln1t t = 1 (Nombre dérivé en 1 de la fonction ln), d'où, limx∞x×ln(1 + 1 x) = 1

Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau

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