Les fonctions usuelles Objectif : Connaître les D'autres fonctions usuelles a) Réciproques des limite en +∞ de p(x)= limite en +∞ de x24 ▫ les polynômes
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Fonctions usuelles
Fonctions usuelles
Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
1Fonctions logarithme, exponentielle et puissance
La fonction logarithme
La fonction exponentielle
La fonction puissance
La fonction exponentielle de baseaCroissances comparées2Fonctions trigonométriques réciproques
Fonction Arc sinus
La fonction Arccosinus
La fonction Arctangente
Les équations trogonométriques
3Fonctions hyperboliques
Équations hyperboliques
Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
La fonction logarithme
Il existe une unique fonction ln: ]0,+∞[7!Rtelle que : ?x>0,ln0(x) =1x et ln1=0Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme
?a,b2R? +,ln(a.b) =lna+lnbÉ ?a2R? +,?n2Z,ln(an) =n.lnaÉLa fonction logarithme est une
bijection continue et strictement croissante de ]0,+∞[surR.É limx!0ln(1+x)x =1É ?x>0,lnxx1Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soita>0, on pose :f(x) =ln(ax).É f0(x) =aax =1x =ln0xÉ ?x>0,(fln)0(x) =0donc :fln est constante sur]0,+∞[donc :?x>0,ln(ax)lnx=kÉPourx=1 : lnaln1=kdonc :k=lnaÉ
Finalement :
?x>0,ln(ax)lnx=lna)ln(ax) =lnx+lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soita>0, on pose :f(x) =ln(ax).É f0(x) =aax =1x =ln0xÉ ?x>0,(fln)0(x) =0donc :fln est constante sur]0,+∞[donc :?x>0,ln(ax)lnx=kÉPourx=1 : lnaln1=kdonc :k=lnaÉ
Finalement :
?x>0,ln(ax)lnx=lna)ln(ax) =lnx+lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soita>0, on pose :f(x) =ln(ax).É f0(x) =aax =1x =ln0xÉ ?x>0,(fln)0(x) =0donc :fln est constante sur]0,+∞[donc :?x>0,ln(ax)lnx=kÉPourx=1 : lnaln1=kdonc :k=lnaÉ
Finalement :
?x>0,ln(ax)lnx=lna)ln(ax) =lnx+lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soita>0, on pose :f(x) =ln(ax).É f0(x) =aax =1x =ln0xÉ ?x>0,(fln)0(x) =0donc :fln est constante sur]0,+∞[donc :?x>0,ln(ax)lnx=kÉPourx=1 : lnaln1=kdonc :k=lnaÉ
Finalement :
?x>0,ln(ax)lnx=lna)ln(ax) =lnx+lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soita>0, on pose :f(x) =ln(ax).É f0(x) =aax =1x =ln0xÉ ?x>0,(fln)0(x) =0donc :fln est constante sur]0,+∞[donc :?x>0,ln(ax)lnx=kÉPourx=1 : lnaln1=kdonc :k=lnaÉ
Finalement :
?x>0,ln(ax)lnx=lna)ln(ax) =lnx+lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soita>0, on pose :f(x) =ln(ax).É f0(x) =aax =1x =ln0xÉ ?x>0,(fln)0(x) =0donc :fln est constante sur]0,+∞[donc :?x>0,ln(ax)lnx=kÉPourx=1 : lnaln1=kdonc :k=lnaÉ
Finalement :
?x>0,ln(ax)lnx=lna)ln(ax) =lnx+lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soita>0, on pose :f(x) =ln(ax).É f0(x) =aax =1x =ln0xÉ ?x>0,(fln)0(x) =0donc :fln est constante sur]0,+∞[donc :?x>0,ln(ax)lnx=kÉPourx=1 : lnaln1=kdonc :k=lnaÉ
Finalement :
?x>0,ln(ax)lnx=lna)ln(ax) =lnx+lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soita>0, on pose :f(x) =ln(ax).É f0(x) =aax =1x =ln0xÉ ?x>0,(fln)0(x) =0donc :fln est constante sur]0,+∞[donc :?x>0,ln(ax)lnx=kÉPourx=1 : lnaln1=kdonc :k=lnaÉ
Finalement :
?x>0,ln(ax)lnx=lna)ln(ax) =lnx+lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme
?a,b2R? +,ln(a.b) =lna+lnbÉ ?a2R? +,?n2Z,ln(an) =n.lnaÉLa fonction logarithme est une
bijection continue et strictement croissante de ]0,+∞[surR.É limx!0ln(1+x)x =1É ?x>0,lnxx1Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1.P ourn2N: par récurrence1.1ln a1=lna1.2Hypothèse de r écurrence: pour 1 pn,ln(ap) =p.lna1.3ln (an+1) =lna.(an)=lna+n.lna= (n+1).lna2.P ourn2Z:2.1ln (an.an) =ln1=02.2D"autr epart : ln (an.an) =lnan+lnandonc : lnan=n.lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1.P ourn2N: par récurrence1.1ln a1=lna1.2Hypothèse de r écurrence: pour 1 pn,ln(ap) =p.lna1.3ln (an+1) =lna.(an)=lna+n.lna= (n+1).lna2.P ourn2Z:2.1ln (an.an) =ln1=02.2D"autr epart : ln (an.an) =lnan+lnandonc : lnan=n.lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1.P ourn2N: par récurrence1.1ln a1=lna1.2Hypothèse de r écurrence: pour 1 pn,ln(ap) =p.lna1.3ln (an+1) =lna.(an)=lna+n.lna= (n+1).lna2.P ourn2Z:2.1ln (an.an) =ln1=02.2D"autr epart : ln (an.an) =lnan+lnandonc : lnan=n.lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1.P ourn2N: par récurrence1.1ln a1=lna1.2Hypothèse de r écurrence: pour 1 pn,ln(ap) =p.lna1.3ln (an+1) =lna.(an)=lna+n.lna= (n+1).lna2.P ourn2Z:2.1ln (an.an) =ln1=02.2D"autr epart : ln (an.an) =lnan+lnandonc : lnan=n.lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1.P ourn2N: par récurrence1.1ln a1=lna1.2Hypothèse de r écurrence: pour 1 pn,ln(ap) =p.lna1.3ln (an+1) =lna.(an)=lna+n.lna= (n+1).lna2.P ourn2Z:2.1ln (an.an) =ln1=02.2D"autr epart : ln (an.an) =lnan+lnandonc : lnan=n.lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1.P ourn2N: par récurrence1.1ln a1=lna1.2Hypothèse de r écurrence: pour 1 pn,ln(ap) =p.lna1.3ln (an+1) =lna.(an)=lna+n.lna= (n+1).lna2.P ourn2Z:2.1ln (an.an) =ln1=02.2D"autr epart : ln (an.an) =lnan+lnandonc : lnan=n.lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1.P ourn2N: par récurrence1.1ln a1=lna1.2Hypothèse de r écurrence: pour 1 pn,ln(ap) =p.lna1.3ln (an+1) =lna.(an)=lna+n.lna= (n+1).lna2.P ourn2Z:2.1ln (an.an) =ln1=02.2D"autr epart : ln (an.an) =lnan+lnandonc : lnan=n.lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1.P ourn2N: par récurrence1.1ln a1=lna1.2Hypothèse de r écurrence: pour 1 pn,ln(ap) =p.lna1.3ln (an+1) =lna.(an)=lna+n.lna= (n+1).lna2.P ourn2Z:2.1ln (an.an) =ln1=02.2D"autr epart : ln (an.an) =lnan+lnandonc : lnan=n.lnaParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme
?a,b2R? +,ln(a.b) =lna+lnbÉ ?a2R? +,?n2Z,ln(an) =n.lnaÉLa fonction logarithme est une
bijection continue et strictement croissante de ]0,+∞[surR.É limx!0ln(1+x)x =1É ?x>0,lnxx1Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
1.?x>0,ln0x=1x>0donc : la fonction logarithme est
strictement croissante pourx>0.2.Alors : ln 2>ln1=0,la suiteun=n.ln2=ln(2n)a donc pour limite+∞.Donc : limx!+∞lnx= +∞3.lim
x!0(lnx) =limx!+∞ln(1x ) =limx!+∞(lnx) =∞Donc : ln:I=]0,+∞[7!Rest une fonction continue strictement croissante. Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
1.?x>0,ln0x=1x>0donc : la fonction logarithme est
strictement croissante pourx>0.2.Alors : ln 2>ln1=0,la suiteun=n.ln2=ln(2n)a donc pour limite+∞.Donc : limx!+∞lnx= +∞3.lim
x!0(lnx) =limx!+∞ln(1x ) =limx!+∞(lnx) =∞Donc : ln:I=]0,+∞[7!Rest une fonction continue strictement croissante. Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
1.?x>0,ln0x=1x>0donc : la fonction logarithme est
strictement croissante pourx>0.2.Alors : ln 2>ln1=0,la suiteun=n.ln2=ln(2n)a donc pour limite+∞.Donc : limx!+∞lnx= +∞3.lim
x!0(lnx) =limx!+∞ln(1x ) =limx!+∞(lnx) =∞Donc : ln:I=]0,+∞[7!Rest une fonction continue strictement croissante. Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
1.?x>0,ln0x=1x>0donc : la fonction logarithme est
strictement croissante pourx>0.2.Alors : ln 2>ln1=0,la suiteun=n.ln2=ln(2n)a donc pour limite+∞.Donc : limx!+∞lnx= +∞3.lim
x!0(lnx) =limx!+∞ln(1x ) =limx!+∞(lnx) =∞Donc : ln:I=]0,+∞[7!Rest une fonction continue strictement croissante. Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
1.?x>0,ln0x=1x>0donc : la fonction logarithme est
strictement croissante pourx>0.2.Alors : ln 2>ln1=0,la suiteun=n.ln2=ln(2n)a donc pour limite+∞.Donc : limx!+∞lnx= +∞3.lim
x!0(lnx) =limx!+∞ln(1x ) =limx!+∞(lnx) =∞Donc : ln:I=]0,+∞[7!Rest une fonction continue strictement croissante. Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
1.?x>0,ln0x=1x>0donc : la fonction logarithme est
strictement croissante pourx>0.2.Alors : ln 2>ln1=0,la suiteun=n.ln2=ln(2n)a donc pour limite+∞.Donc : limx!+∞lnx= +∞3.lim
x!0(lnx) =limx!+∞ln(1x ) =limx!+∞(lnx) =∞Donc : ln:I=]0,+∞[7!Rest une fonction continue strictement croissante. Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
1.?x>0,ln0x=1x>0donc : la fonction logarithme est
strictement croissante pourx>0.2.Alors : ln 2>ln1=0,la suiteun=n.ln2=ln(2n)a donc pour limite+∞.Donc : limx!+∞lnx= +∞3.lim
x!0(lnx) =limx!+∞ln(1x ) =limx!+∞(lnx) =∞Donc : ln:I=]0,+∞[7!Rest une fonction continue strictement croissante. Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Fonctions usuellesLa fonction logarithme
Rappel
Théorème :SoitIun intervalle etf:I7!Rune fonction continue et strictement monotone .1.f(I)est un intervalleetfest une bijection deIsurf(I). 2.Si aetbsont les bornes de l"intervalleI, alors :
limx!af(x)et limx!bf(x)sont les bornes de l"intervallef(I).3.La bijection r éciproquede fest continue, strictement
monotone et de même sens de variation quef.Théorème également vrai si on remplaceaetbpar∞Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1