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Lycée Blaise Pascal TSI 1 année FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x −−−−−→ x→+∞ 0 x lnx −−−−−→ x→0+ 0 ln(x)

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Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7. Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.1. Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es7.1.1. Op´erations surF(I,IR)7.1.2. Relation d"ordre surF(I,IR)7.1.3. Fonctions major´ees, minor´ees, born´ees7.1.4. Extremums absolus (ou globaux)7.1.5. Applications monotones7.1.6. Applications paires ou impaires7.1.7. Applications p´eriodiques7.1.8. Axes et centres de sym´etrie

7.2. Limites des fonctions num

´eriques7.2.1. Propri´et´es vraies "au voisinage d"un point"7.2.2. Limite en un point7.2.3. Limite `a gauche ou `a droite7.2.4. Op´erations sur les limites7.2.5. Limites et relation d"ordre7.2.6. Formes ind´etermin´ees

7.3. Comparaisons locales7.3.1. D´efinitions7.3.2. Propri´et´es des relations f=o(g) et f=O(g)7.3.3. Propri´et´es des ´equivalents7.3.4. Quelques conseils7.3.5. Comparaisons usuellesJean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 1

Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.4. Continuit´e7.4.1. Continuit´e en un point7.4.2. Propri´et´es7.4.3. Continuit´e sur un intervalle7.4.4. Th´eor`eme de la bijection r´eciproque7.4.5. Continuit´e uniforme7.4.6. Applications lipschitziennes

7.5. Quelques fonctions usuelles7.5.1. Fonctions circulaires r´eciproques7.5.2. Fonctions logarithmes et exponentielles7.5.3. Fonctions hyperboliques7.5.4. Trigonom´etrie hyperboliqueJean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 2

Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7. Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.1. Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es

7.1.1. Op´erations surF(I,IR)

Dans l"´etude des fonctions num´eriques, on rencontre des applicationsf`a valeurs r´eelles, d´efinies

sur une partieDde IR appel´eedomaine de d´efinitiondef. L"ensembleDconsiste le plus souvent en une r´eunion d"intervalles d"int´erieur non vide. Par exemple, le domaine de d´efinition de l"applicationtangenteest la r´eunion des intervalles I k=]-π2+kπ,π2+kπ[, pour tout entier relatifk.

L"´etude d"une fonctionf(continuit´e, monotonie, extr´emums, etc.) doit cependant s"effectuer

intervalle par intervalle. C"est pourquoi, dans ce chapitre, on se limitera `a des applications `a valeurs r´eelles, d´efinies sur un intervalleIde IR d"int´erieur non vide. On noteF(I,IR), ou IRI, l"ensemble des applicationsf:I→IR. On rappelle que sifetgappartiennent `aF(I,IR) :f=g? ?x?I,f(x) =g(x).

Soientfetgdeux ´el´ements deF(I,IR). On d´efinit les applicationsf+getfgpar :??x?I,(f+g)(x) =f(x) +g(x)

?x?I,(fg)(x) =f(x)g(x)

Muni de ces deux op´erations + et×,F(I,IR) a une structure d"anneau commutatif :•Le neutre additif est l"application constantex→0.•L"oppos´ee d"une applicationfest l"application-fd´efinie par :?x?I,(-f)(x) =-f(x).•Le neutre multiplicatif est l"application constantex?→1.•Une applicationfest inversible pour le produit?elle ne prend pas la valeur 0.

Son inverse pour×est alors1f, d´efinie par :?x?I,1f(x) =1f(x). Soitαun r´eel. On note encoreαl"application constantex?→α. La notationαfd´esigne l"application d´efinie par :?x?I,(αf)(x) =αf(x). (c"est le produit defpar l"application constanteα).

7.1.2. Relation d"ordre surF(I,IR)

On d´efinit ainsi une relation d"ordrepartielsurF(I,IR).

D´efinitionSoientfetgdansF(I,IR).

On d´efinit les applications inf(f,g) et sup(f,g) de la mani`ere suivante :??x?I,inf(f,g)(x) = min(f(x),g(x))

?x?I,sup(f,g)(x) = max(f(x),g(x))Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 3 sup(f+h,g+h) = sup(f,g) +h•Siα >0?inf(αf,αg) =αinf(f,g) sup(αf,αg) =αsup(f,g)et siα <0?inf(αf,αg) =αsup(f,g) sup(αf,αg) =αinf(f,g)

En particulier?inf(-f,-g) =-sup(f,g)

(h≥feth≥g)?h≥sup(f,g)

sup(f,g) est le plus petit des majorants (laborne sup´erieure) de la paire{f,g}.•Les op´erations inf et sup sont des lois de composition associatives surF(I,IR).

On peut donc g´en´eraliser et d´efinir les applications inf(f1,f2,...,fn) et sup(f1,f2,...,fn).

D´efinition(Notationsf+,f-,|f|)Soitfun ´el´ement deF(I,IR).

On d´efinit les applications|f|,f+etf-de la fa¸con suivante :•?x?I,|f|(x) =|f(x)|.•?x?I,f+(x) = max(f(x),0) =?f(x) sif(x)≥0

0 sif(x)>0

Remarques et propri´et´es•Une d´efinition ´equivalente def+et def-est :?f+= sup(f,0)

f

-= sup(-f,0)•Les applicationsf+etf-sont `a valeurs dans IR+.•On v´erifie les ´egalit´es :?f=f+-f-

|f|=f++f-et on en en d´eduit? ?f +=12(|f|+f) f -=12(|f| -f)•Plus g´en´eralement :?(f,g)? F(I,IR),? ?sup(f,g) =12(f+g+|f-g|) inf(f,g) =12(f+g- |f-g|)Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 4

Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.1.3. Fonctions major´ees, minor´ees, born´ees

D´efinitionSoitfun ´el´ement deF(I,IR).

Cela revient `a dire quef(I) ={f(x),x?I}est une partie major´ee de IR.

On note alors sup

If, ou supx?If(x) la borne sup´erieure de l"ensemble imagef(I). On dit que cette quantit´e est la borne sup´erieure defsur l"intervalleI.

D´efinitionSoitfun ´el´ement deF(I,IR).

On dit quefestminor´ees"il existe un r´eelαtel que :?x?I,f(x)≥α. Cela revient `a dire quef(I) ={f(x),x?I}est une partie minor´ee de IR.

On note alors inf

If, ou infx?If(x) la borne inf´erieure de l"ensemblef(I). On dit que cette quantit´e est la borne inf´erieure defsur l"intervalleI.

D´efinitionSoitfun ´el´ement deF(I,IR). On dit quefestborn´eesifest major´ee et minor´ee.

D´efinitionSoitfun ´el´ement deF(I,IR). SoitJun sous-intervalle deI, d"int´erieur non vide.

On dit quefest major´ee (resp. minor´ee, resp. born´ee) surJsi la restriction def`aJest major´ee (resp. minor´ee, resp. born´ee).

On a alors les in´egalit´es :?

?inf sup x?If(x)≥sup x?J?If(x)

RemarquesSoientfetgdeux ´el´ements deF(I,IR).•fest born´ee si et seulement si|f|est major´ee.•Sifetgsont major´ees, alorsf+gest major´ee et sup

If+ sup

Ig.

Sifetgsont minor´ees, alorsf+gest minor´ee et infI(f+g)≥infIf+ infIg.•fmajor´ee (resp. minor´ee) si et seulement si-fminor´ee (resp. major´ee).

On a alors : inf

I(-f) =-sup

If, et sup

I(-f) =-infIf.•Soitαun r´eel strictement positif. Sifest major´ee alorsαfest major´ee et sup

I(αf) =αsup

If.

De mˆeme, sifest minor´ee alorsαfest minor´ee et infI(αf) =αinfIf.•Sifetgsont born´ees, alors :?(α,β)?IR2,αf+βgest born´ee.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 5

Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.1.4. Extremums absolus (ou globaux) D´efinitionSoitfune application d´efinie sur l"intervalleI, `a valeurs dans IR. Soita?I. On dit quefpr´esente unminimum absolu(ouglobal) enadeIsi :?x?I,f(x)≥f(a). Dans l"un ou l"autre cas, on dit quefpr´esente unextr´emum absoluena. Remarques•fpr´esente un maximum absolu ena?fest major´ee surIetf(a) = sup If. On exprime cela en disant que la borne inf´erieure defsurIestatteinteena. On peut alors noterf(a) = maxIfplutˆot quef(a) = sup If.•De mˆeme,fa un minimum absolu ena?fest minor´ee surIetf(a) = infIf. On dit alors quefatteint sa borne inf´erieure enaet on notef(a) = minIf. D´efinition(Maximum local)Soitfappartenant `aF(I,IR). Soitaun ´el´ement deI.

On dit quefpr´esente unmaximum localenasi :

(?au voisinage dea,fprend des valeurs toutes inf´erieures ou ´egales `af(a)) D´efinition(Minimum local)Soitfappartenant `aF(I,IR). Soitaun ´el´ement deI. De mˆeme on dit quefpr´esente unminimum localenasi : ?ε >0,?x?I∩[a-ε,a+ε],f(x)≥f(a).

Remarques•Un minimum ou un maximum local est aussi appel´e unextr´emum local.•Un extr´emum global (absolu) est bien sˆur un extr´emum local. La r´eciproque est fausse.

7.1.5. Applications monotones

strictement d´ecroissantesi :?(x,y)?I2,x < y?f(x)> f(y).•monotonesifest croissante ou d´ecroissante.

strictement monotonesifest strictement croissante ou strictement d´ecroissante.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 6

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesRemarques•Seules les applications constantes sont `a la fois croissantes et d´ecroissantes.•Pour exprimer qu"une applicationfn"est pas monotone, on peut ´ecrire :

?(x,y,z)?IR3tq :z?[x,y] maisf(z)/?[f(x),f(y)].•Soitfune application monotone. Dire quefn"est pas strictement monotone signifie qu"il

existe un segment [a,b] inclus dansI(aveca < b) sur lequelfgarde une valeur constante. Proposition(Sommes d"applications monotones)Soientfetgdeux applications monotones deIdans IR. Sifetgont mˆeme monotonie, alorsf+gest monotone de mˆeme monotonie. Si de plusfougest strictement monotone, alorsf+gest strictement monotone.

Proposition(Produits d"applications monotones)Soientfetgdeux applications monotones deIdans IR.•Sifetgsont positives croissantes,fgest positive croissante.

Sifetgsont positives d´ecroissantes,fgest positive d´ecroissante.•Sifetgsont n´egatives croissantes,fgest positive d´ecroissante.

Sifetgsont n´egatives d´ecroissantes,fgest positive croissante.•Sifest positive croissante etgn´egative d´ecroissante,fgest n´egative d´ecroissante.

Sifest positive d´ecroissante etgn´egative croissante,fgest n´egative croissante.

Remarques•Dans les cas autres que ceux ´enum´er´es ci-dessus, on ne peut rien dire.•Soitfune application monotone deIdans IR.

Siα≥0,αfetfont la mˆeme monotonie.

Proposition(Inverse d"une application monotone)Soitfune application monotone deIdans IR. On suppose quefne s"annule pas surI, et qu"elle garde un signe constant. Alors

1fest monotone surI, de monotonie contraire `a celle def.

Proposition(Compositions d"applications monotones)SoientIetJdeux intervalles de IR, d"int´erieur non vide.

Soitfune application deIdans IR, telle quef(I) soit inclus dansJ.

Soitgune application deJdans IR. L"applicationg◦fest donc d´efinie surI.•Sifetgont la mˆeme monotonie, alorsg◦fest croissante.•Sifetgsont de monotonies contraires, alorsg◦fest d´ecroissante.

Les deux propri´et´es pr´ec´edentes restent vraies pour des monotonies strictes.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 7

Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.1.6. Applications paires ou impaires On consid`ere ici des applications d´efinies sur une partieDde IR. On suppose que l"ensembleDest sym´etrique par rapport `a 0 (x? D ? -x? D). Le cas le plus courant est celui d"un intervalle de centre 0, et notammentD= IR. D´efinitionOn dit quefestpairesi :?x? D,f(-x) =f(x).

On dit quefestimpairesi :?x? D,f(-x) =-f(x).

Proposition(Parties paire et impaire d"une application)Soitfune application deDdans IR. fs"´ecrit de mani`ere uniquef=p+i, o`upest paire etiest impaire. petisont d´efinies par :?x? D,p(x) =12(f(x) +f(-x)) eti(x) =12(f(x)-f(-x)) On dit quepest lapartie pairedefet queien est lapartie impaire.Remarques La seule application `a la fois paire et impaire est l"application nulle. Soient les applications ch et sh d´efinies sur IR par ch(x) =12(ex+e-x) et sh(x) =12(ex-e-x). ch et sh sont respectivement la partie paire et la partie impaire dex?→ex.

Proposition(Op´erations entre applications paires ou impairesSoientfetgdeux fonctions deIdans IR, paires ou impaires.•Sif,gont mˆeme parit´e,fgest paire. Si elles sont de parit´es contraires,fgest impaire.•L"application1fest de mˆeme parit´e quef.•Soit (α,β)?IR2: Sif,gsont paires (resp. impaires),αf+βgest paire (resp. impaire).•Sifest bijective deDsurDet impaire, alors sa bijection r´eciproquef-1est impaire.•Sifest paire, alorsh◦fest paire (quelque soit l"applicationh).

Sifest impaire, et sigest paire ou impaire, alorsg◦fa la mˆeme parit´e queg.

7.1.7. Applications p´eriodiques

D´efinitionSoientDune partie non vide de IR, etf:D →IR. SoitTun r´eel strictement positif.

L"applicationfest diteT-p´eriodiquesi :?x? D,x+T? Detf(x+T) =f(x)Propri´et´es SifestT-p´eriodique, alors pour toutnde IN,festnT-p´eriodique. SifetgsontT-p´eriodiques, alorsαf+βgetfgsontT-p´eriodiques. Sifest p´eriodique, alors1festT-p´eriodique.

SifestT-p´eriodique, alors pour toute applicationg,g◦festT-p´eriodique.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 8

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesRemarques•Sifest p´eriodique, il vaut mieux utiliser sa plus petite p´eriode positive (si elle existe).

Cette plus petite p´eriode n"existe pas toujours.

Par exemple, la fonction caract´eristique de lQ admet tout rationnel comme p´eriode.•Soitfune applicationT1-p´eriodique, etgune applicationT2-p´eriodique.

On suppose que le rapport

T1T2est rationnel. Alorsf+getfgsont encore p´eriodiques.

Par exemple : siT1=3π4etT2=π2, alorsf+getfgsont3π2-p´eriodiques.•SifestT-p´eriodique, alors l"applicationg:x?→f(αx+β) estT|α|-p´eriodique.

7.1.8. Axes et centres de sym´etrie

Parit´e, imparit´e et sym´etrieSoitfune applicationf`a valeurs r´eelles, d´efinie sur une partieDde IR.

La courbe repr´esentative Γ def(on dit aussi legraphedef) est l"ensemble des points

M(x,f(x)) dans le plan affineP(muni d"un rep`ereO,i,j),xd´ecrivant le domaine def.•L"applicationfest paire?son graphe Γ est sym´etrique par rapport `a l"axeOy.•De mˆeme,fest impaire?son graphe Γ est sym´etrique par rapport `a l"origineO.

Axes de sym´etrieSoitf:D →IR, le domaineD´etant sym´etrique par rapport au r´eela. La droitex=aest axe de sym´etrie du graphe Γ def ?Pour toutxdeD,f(2a-x) =f(x). ?Pour touthtel quea±happartienne `aD,f(a+h) =f(a-h). ?L"applicationgd´efinie parg(x) =f(a+x) est paire.

Centres de sym´etrieSoitf:D →IR, le domaineD´etant sym´etrique par rapport au r´eela.

Le point Ω(a,b) est centre de sym´etrie du graphe Γ def ?Pour toutxdeD,f(2a-x) = 2b-f(x). ?Pour touthtel quea±happartienne `aD,f(a+h)-b=b-f(a-h). ?L"applicationgd´efinie parg(x) =f(a+x)-best impaire. P´eriodicit´eSoitf:D →IR, le domaineD´etant tel que :x? D ?x+T? D(T >0 donn´e).

L"applicationfestT-p´eriodique

?son graphe Γ est invariant dans toute translation de vecteurkT(1,0), (k?ZZ). Graphe de la bijection r´eciproqueSoitfune application bijective deDsurf(D).

Les graphes defet def-1sont sym´etriques par rapport `ay=x.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 9

Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.2. Limites des fonctions num´eriques

7.2.1. Propri´et´es vraies "au voisinage d"un point"

La d´efinition suivante permettra de simplifier certains ´enonc´es de ce chapitre. D´efinitionSoitIun intervalle de IR, d"int´erieur non vide. Soitaun ´el´ement deIou une extr´emit´e deI(´eventuellementa=±∞). SoitPun pr´edicat (une propri´et´e) de la variable r´eellex, d´efini surI. P(x) d´esigne donc une proposition, vraie ou fausse selon les valeurs dexdansI.

On dit quePest vraieau voisinage deasi l"une des situations suivantes est r´ealis´ee :•aest r´eel et?δ >0 tel que :?x?I∩]a-δ,a+δ[,P(x) est vraie.•a= +∞et?M?IR tel que :?x > M,P(x) est vraie.•a=-∞et?M?IR tel que :?x < M,P(x) est vraie.Remarques

Dans le premier cas, la clausex?In"est utile que siaest une extr´emit´e deI. En effet siaest int´erieur `aI, alors pour toutδassez petit, ]a-δ,a+δ[?I. Sifetgsont des applications d´efinies surI, on pourra par exemple ´ecrire des propositions

7.2.2. Limite en un point

D´efinition(Limite en un point de IR)Soitf:I→IR une application. Soitaun r´eel, ´el´ement ou extr´emit´e deI.

Soit?un r´eel. On dit que?est limite defenasi :

On dit que +∞est limite defenasi :

On dit que-∞est limite defenasi :

Dans les trois cas, la clausex?In"est pas n´ecessaire siaest int´erieur `aI.

Sia?Iet donc sifest d´efinie ena, la seule limitepossibledefenaest le r´eelf(a).Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 10

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesD´efinition(Limite en+∞)Soitf:I→IR une application. On suppose queI=]α,+∞[, ouI= [α,+∞[, ouI= IR.

Soit?un r´eel. On dit que?est limite defen +∞si :

On dit que +∞est limite defen +∞si :

?M?IR,?A?IR tel quex≥A?f(x)≥M.

On dit que-∞est limite defen +∞si :

D´efinition(Limite en-∞)Soitf:I→IR une application. On suppose queI=]- ∞,α[, ouI=]- ∞,α], ouI= IR.

Soit?un r´eel. On dit que?est limite defen-∞si :

On dit que +∞est limite defen-∞si :

On dit que-∞est limite defen-∞si :

Proposition(Unicit´e de la limite)Les d´efinitions pr´ec´edentes permettent de donner un sens `a la phrase?est limite defena,

o`u?etasont des ´el´ements deIR = IR?{-∞,+∞}(droite num´erique achev´ee), `a condition

queasoit ´el´ement de l"intervalleIou qu"il en soit une extr´emit´e. Si un tel ´el´ement?existe, alors il est unique. On l"appellelalimite defena, et on dit quef(x) tend vers?quandxtend versa.

On note lim

x→af(x) =?, ou limaf=?ouf(x)→? x→aRemarque

Il se peut qu"une application ne poss`ede pas de limite en un point. Par exemple?L"applicationx?→cosxn"a pas de limite en +∞.?L"applicationx?→E[x] n"a pas de limite en 0.Importance des limites nulles ou des limites en0

Si?est un r´eel, limx→af(x) =??limx→a(f(x)-?) = 0. Siaest un r´eel, limx→af(x) =??limh→0f(a+h) =?.

Proposition(Caract´erisation s´equentielle des limites)Soitfune application d´efinie sur l"intervalleI, `a valeurs r´eelles.

Soitaun ´el´ement deIR (´el´ement deIou extr´emit´e deI). Soit?un ´el´ement deIR.

lim

x→af(x) =??pour toute suite (un) deItendant versa, limn→∞f(un) =?.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 11

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesD´efinition(Limite par valeurs sup´erieures ou inf´erieures)On suppose que la limite defena(´el´ement deIR) est le r´eel?.

Quandxtend versa, on dit quef(x) tend vers?par valeurs sup´erieures (resp. inf´erieures)

On peut alors ´eventuellement noter : lim

x→af(x) =?+(resp. limx→af(x) =?-).

7.2.3. Limite `a gauche ou `a droite

D´efinition(Limite `a gauche)On suppose queaest r´eel et est int´erieur `a l"intervalleI. Soit?un ´el´ement deIR.

Soitgla restriction def`a l"intervalleJ=I∩]- ∞,a[. Le r´eelaest donc l"extr´emit´e droite deJ, et n"appartient pas `aJ. On dit quefadmet?pour limite ena`a gauche sigadmet?pour limite ena.

On note alors lim

x→a-f(x) =?, ou lim a-f=?, ouf(x)→? x→a-D´efinitions ´equivalentes

Soit?un nombre r´eel.?????

???lim lim lim

D´efinition(Limite `a droite)On suppose queaest r´eel et est int´erieur `a l"intervalleI. Soit?un ´el´ement deIR.

Soitgla restriction def`a l"intervalleJ=I∩]a,+∞[. Le r´eelaest donc l"extr´emit´e gauche deJ, et n"appartient pas `aJ. On dit quefadmet?pour limite ena`a droite sigadmet?pour limite ena.

On note alors lim

x→a+f(x) =?, ou lim a+f=?, ouf(x)→? x→a+D´efinitions ´equivalentes

Soit?un nombre r´eel.?????

???lim lim lim La limite defena, `a gauche ou `a droite, si elle existe, est unique. De mˆeme, la plupart des

propri´et´es vraies pour les limites le sont encore s"il s"agit de limites `a gauche ou `a droite.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 12

Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.2.4. Op´erations sur les limites PropositionOn suppose que limx→af(x) =?et limx→ag(x) =??(avec??IR et???IR).

Alors lim

x→a(f+g)(x) =?+??(si?+??n"est pas une forme ind´etermin´ee∞ - ∞.)

De mˆeme, lim

x→a(fg)(x) =???(si???n"est pas une forme ind´etermin´ee 0× ∞.)Cas particulier Siλest un r´eel non nul, alors limx→aλf(x) =λ?. Proposition(Limite de l"inverse d"une fonction)On suppose que limx→af(x) =?.

Si??IR?, alors limx→a1f(x)=1?.

Si?=±∞, alors limx→a1f(x)= 0.

Si?= 0 et si, au voisinage dea,f(x)>0, alors limx→a1f(x)= +∞. Si?= 0 et si, au voisinage dea,f(x)<0, alors limx→a1f(x)=-∞.

Proposition(Composition des limites)On suppose que l"applicationg◦fest d´efinie au voisinage dea.

Si lim

x→af(x) =bet limx→bg(x) =?, alors limx→a(g◦f)(x) =?.

7.2.5. Limites et relation d"ordre

Proposition(Limite et valeur absolue)Si limx→af(x) =?, alors limx→a|f|(x) =|?|.

La r´eciproque est fausse, mais : lim

x→af(x) = 0?limx→a|f|(x) = 0.

Proposition(Cons´equences de l"existence d"une limite finie)Sifadmet une limite finie ena,fest born´ee au voisinage dea(r´eciproque fausse).

Sifadmet enaune limite r´eelle non nulle?, alors au voisinage dea:|f(x)| ≥|?|2.

Plus pr´ecis´ement :?

?Si? >0, alors au voisinage dea,f(x)>?2>0. Si? <0, alors, au voisinage dea,f(x)Les propri´et´es pr´ec´edentes sont utiles parce qu"elles pr´ecisent le signe defau voisinage dea

et permettent de majorer1|f(x)|au voisinage de ce point par2|?|.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 13

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesPropositionOn suppose que limx→af(x) =?et limx→ag(x) =??(avec??IR et???IR).

Par passage `a la limite, les in´egalit´es strictes "deviennent" donc des in´egalit´es larges.

Proposition(Principe des gendarmes)On suppose que limx→af(x) = limx→ag(x) =?(avec??IR.) ?Si lim x→af(x) = +∞, alors limx→ag(x) = +∞.

Si lim

x→ag(x) =-∞, alors limx→af(x) =-∞. PropositionOn suppose que limx→af(x) =?et limx→ag(x) =??(avec??IR et???IR). Si? < ??, alors, au voisinage deaon a l"in´egalit´ef(x)< g(x).

En particulier, siλest un nombre r´eel :•Si? < λ, alors on a l"in´egalit´ef(x)< λau voisinage dea.•Si? > λ, alors on a l"in´egalit´ef(x)> λau voisinage dea.

Proposition(Limite aux bornes, pour une application monotone)Soitfune application monotone de ]a,b[ dans IR (a < b,a?IR,b?IR).

Alors la limite?defenaet la limite??defenbexistent dansIR. Plus pr´ecis´ement :•Supposonsfcroissante.

Si elle est major´ee,??est un r´eel, sinon??= +∞. Si elle est minor´ee,?est un r´eel, sinon?=-∞.•Supposonsfd´croissante. Si elle est minor´ee,??est un r´eel, sinon??=-∞.

Si elle est major´ee,?est un r´eel, sinon?= +∞.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 14

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesProposition(Limite en un point int´erieur, pour une application monotone)Soitfune application monotone de ]a,b[ dans IR (a < b,a?IR,b?IR).

Soitcun r´eel de l"intervalle ]a,b[.

L"applicationfadmet encune limite `a gauche et une limite `a droite, toutes deux finies.

7.2.6. Formes ind´etermin´ees

On suppose que lim

x→af(x) =?et limx→ag(x) =??(avec??IR et???IR). On dit qu"on a affaire `a la forme ind´etermin´ee : ???????∞ - ∞si on veut calculer la limite enadef+get si?= +∞,??=-∞.

0× ∞si on veut calculer la limite enadefget si?= 0,??=±∞.

00si on veut calculer la limite enadefget si?=??= 0.

∞∞si on veut calculer la limite enadefget si?=±∞et??=±∞.

Le calcul de lim

a(fg) donne lieu aux formes ind´etermin´ees :? ?1 ∞si?= 1 et??=±∞.

0si?= +∞et??= 0.

0

0si?=??= 0.

Toutes ces formes ind´etermin´ees peuvent se ramener `a∞ - ∞ou `a 0× ∞. Pour les trois derni`eres il suffit en effet de poserfg= exp(glnf). Dans une forme ind´etermin´ee, tous les r´esultats sont possibles. Chaque probl`eme doit donc ˆetre r´esolu individuellement. Comme on dit, il fautleverla forme ind´etermin´ee.

7.3. Comparaisons locales

Dans ce paragraphe, on consid`ere un intervalleIde IR, d"int´erieur non vide, et des applications qui sont d´efinies surIet `a valeurs r´eelles. On d´esigne paraun ´el´ement ou une extr´emit´e deI(a?IR).

7.3.1. D´efinitions

D´efinition(Fonction domin´ee par une autre)Soientf,gdeux applications deIdans IR. On dit quefestdomin´eepargau voisinage du pointa(ou ena) si :

On note alorsf= O(g), ou ´eventuellementf= Oa(g).Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 15

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesD´efinition(Fonction n´egligeable devant une autre)Soientf,gdeux applications deIdans IR.

On dit quefestn´egligeabledevantgau voisinage du pointa(ou ena) si : On note alorsf= o(g), ou ´eventuellementf= oa(g).

D´efinition(Fonction ´equivalente `a une autre)On dit quefest ´equivalente `agau voisinage dea(ou ena) si :

L"applicationf-gest n´egligeable devantgau voisinage dea. On note alorsf≂g, ou ´eventuellementf≂ag.D´efinitions ´equivalentes On suppose quegne s"annule pas au voisinage dea(sauf ´eventuellement ena). fest domin´ee pargau voisinage dea?fgest born´ee au voisinage dea. fest n´egligeable devantgau voisinage dea?fgtend vers 0 ena. fest ´equivalente `agau voisinage dea?fgtend vers 1 ena.

Remarques•f≂gd´efinit une relation d"´equivalence sur l"ensemble des applications deIdans IR.

La sym´etrie permet donc dire :fetgsont ´equivalentes au voisinage dea.•Dans les notationsf= o(g),f= O(g) etf≂g, le pointan"apparait pas en g´en´eral.

Le contexte doit donc ˆetre clair.

7.3.2. Propri´et´es des relations f=o(g) et f=O(g)

Dans les r´esultats suivants, les relations de comparaison sont ´etablies au voisinage dea. Fonctions domin´ees par1ou n´egligeables devant1f= O(1)?fest born´ee au voisinage dea. f= o(1)?la limite defau pointaest 0. Propri´et´es de transitivit´eSif= o(g), alorsf= O(g).

Sif= O(g) etg= O(h), alorsf= O(h).

Sif= o(g) etg= O(h), ou sif= O(g) etg= o(h), alorsf= o(h).

Sommes de fonctions domin´ees ou n´egligeables devant une autreSif= O(h) etg= O(h), alorsf+g= O(h), et pour tout r´eelα,αf= O(h).

Sif= o(h) etg= o(h), alorsf+g= o(h), et pour tout r´eelα,αf= o(h).Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 16

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesProduits de fonctions domin´ees ou n´egligeables devant une autreSif= O(h) etg= O(k), alorsfg= O(hk).

Sif= o(h) etg= O(k), alorsfg= o(hk).

Sif= o(h), alors pour toutα >0,fα= o(hα) (en supposantf,h >0 siα /?IN).

7.3.3. Propri´et´es des ´equivalents

Dans les r´esultats suivants, les relations de comparaison sont ´etablies au voisinage dea. Propri´et´es de transitivit´eSif≂getg= O(k), alorsf= O(k).

Sif≂getg= o(k), alorsf= o(k).

Sif≂get sig≂h, alorsf≂h.

Conservation du signeSif≂g, alorsfetggardent le mˆeme signe au voisinage dea. Conservation de la limiteSif≂g, et si limx→ag(x) =?, alors limx→af(x) =?(??IR).

R´eciproquement : si lim

x→af(x) = limx→ag(x) =?, avec?r´eel non nul, alorsf≂g. Equivalences dans un produitSif1≂f2etg1≂g2, alorsf1g1≂f2g2.

Equivalences dans un quotientOn suppose queg1etg2ne s"annulent pas au voisinage dea(sauf peut-ˆetre ena).

Sif1≂f2etg1≂g2, alorsf1g1≂f2g2.G´en´eralisation

Les deux propri´et´es pr´ec´edentes peuvent ˆetre g´en´eralis´ees `a des produits ou des quotients de

fonctions en nombre quelconque. Dans un tel produit (ou quotient), on peut remplacer tout

ou partie des fonctions par un ´equivalent : l"expression obtenue est ´equivalente `a l"expression

initiale (en particulier, la limite ´eventuelle enaest la mˆeme).

Puissances d"´equivalentsSif≂galors?α,fα≂gα(siα /?ZZ, on supposef,g >0). En particulier,1f≂1g.

Equivalents dans une sommeAttention !! Sif1≂f2etg1≂g2, alors on n"a pas, en g´en´eral,f1+g1≂f2+g2.

Cependant : sif≂hetg= o(f), alorsf+g≂h.

Plus simplement :g= o(f)?f+g≂f.

G´en´eralisation : sif2,f3,...,fnsont des o(f1) alorsf1+f2+···+fn≂f1.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 17

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesChangement de variableSoit?une application deJdansI, qui tend versaquandxtend versbdansJ.

Sifest domin´ee pargena, alorsf◦?est domin´ee parg◦?enb. Sifest n´egligeable devantgena,f◦?est n´egligeable devantg◦?enb. Sifetgsont ´equivalentes ena,f◦?etg◦?sont ´equivalentes enb.Remarque C"est surtout cette derni`ere propri´et´e qui est utilis´ee. Par exemple, du fait que sinx≂xen 0, on a : sinx2≂x2en 0. Toujours grˆace `a sinx≂xen 0, on trouve : sin1x≂1xen±∞. Sachant que ln(1 +x)≂xen 0, alors lnx≂x-1 en 1.

7.3.4. Quelques conseils•Les ´equivalents servent essentiellement au calcul de limites :

On transforme une expressionf(x), dont on cherche la limite?en un pointa, en une expres-

sion ´equivalenteg(x) dont la limite en ce point est ´evidente (si la limite?est r´eelle, il est

courant qu"on aboutisse `ag(x) =?).

Les outils essentiels sont les ´equivalents classiques (voir plus loin) et la possibilit´e qu"on a de

remplacer les facteurs d"un produit (d"un quotient) par des ´equivalents.•L"erreur la plus fr´equente consiste `a utiliser les ´equivalents dans des sommes. La seule

propri´et´e concernant les ´equivalents et les sommes peut s"´ecrire :g= o(f)?f+g≂f.•On ´evitera d"utiliser un ´equivalent d"une fonctionfsous la formef≂g+h, avech= o(g),

et surtout de donner un rˆole `ah: on se contentera def≂g. Ecrire par exemple cos(x)≂1-x22(en 0) n"est pas faux mais dangereux si on utilise-x22. En effet, on a aussi : cos(x)≂1 +x2≂1-36x2...

Pour cet exemple, la solution est sans doute d"´ecrire : 1-cos(x)≂x22.•Soit?un r´eel non nul, et si limx→af(x) =?, alorsf(x)≂?en ce point.

Mais si?= 0, on n"´ecrira pasf(x)≂0 !

En effet, seule la fonction nulle au voisinage deaest elle-mˆeme ´equivalente `a 0 ena.•Sif≂g(fetg´etant positives et ne tendent pas vers 1) alors ln(f)≂ln(g).

C"est faux sifetgtendent vers 1.

Par exemple, (1 +x)≂(1 +x2) enx= 0, mais en ce point?ln(1 +x)≂x ln(1 +x2)≂x2•On ´evitera surtout de prendre des " exponentielles " d"´equivalents :

En effet e

f≂eg?f-g→0, ce qui n"´equivaut pas du tout `af≂g.

Exemples :xetx2en 0, ou encorexetx+ 1 en +∞.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 18

Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.3.5. Comparaisons usuelles Exponentielles, puissances et logarithmesSoientα,βetγdes r´eels strictement positifs.

On a : lim

+∞xβe-αx= 0, lim-∞|x|βeαx= 0, lim+∞x-βlnγ(x) = 0, lim0+xβ|lnγ(x)|= 0.

Autrement dit :?xβ= o(eαx) en +∞eαx= o(|x|-β) en-∞.?ln(x)γ= o(xβ) en +∞ |ln(x)|γ= o(x-β) au voisinage de 0.

Equivalents classiquesSifest d´erivable en 0 et v´erifief(0) = 0 etf(0) = 1, alorsf(x)≂xen 0.

En particulier, en 0 : sin(x)≂x, tan(x)≂x, ln(1 +x)≂x, et ex-1≂x. Toujours `a l"origine : (1 +x)m-1≂mx, et 1-cos(x)≂x22. On peut aussi ´ecrire, au voisinage dex= 1 :xm-1≂m(x-1) et ln(x)≂x-1.

Polynˆomes et fractions rationnellesSoitP(x) =amxm+am+1xm+1+···+an-1xn-1+anxnun polynˆome (an?= 0,am?= 0).

Au voisinage de l"origine,P(x)≂amxm(monˆome de plus bas degr´e). Au voisinage de±∞,P(x)≂anxn(monˆome de plus haut degr´e). Soitf(x) =P(x)Q(x)une fraction rationnelle (PetQdeux polynˆomes). Au voisinage de 0,f(x) est ´equivalente au quotient des monˆomes de plus bas degr´e. Au voisinage de∞,f(x) est ´equivalente au quotient des monˆomes de plus haut degr´e.

7.4. Continuit

´e

7.4.1. Continuit´e en un point

D´efinitionSoientf? F(I,IR) eta?I. On dit quefestcontinueenasi la limite defenaexiste. Au vu des d´efinitions cette limite ne peut ˆetre ´egale qu"`af(a). Autrement dit :fest continue ena?limx→af(x) =f(a) D´efinition(Continuit´e `a gauche en un point)Soitfun ´el´ement deF(I,IR). Soitaun ´el´ement deI, qui ne soit pas l"extr´emit´e gauche deI. Soitgla restriction def`a l"intervalleJ=I∩]- ∞,a] On dit quefestcontinue `a gaucheenasigest continue ena.

Cela ´equivaut `a dire que : lim

x→a-f(x) =f(a) ou encore :

Limites et continuit´e. Fonctions usuellesD´efinition(Continuit´e `a droite en un point)Soitfun ´el´ement deF(I,IR). Soitaun ´el´ement deIqui n"est pas l"extr´emit´e droite deI.

Soitgla restriction def`a l"intervalleJ=I∩[a,+∞[. On dit quefestcontinue `a droiteenasigest continue ena.

Cela ´equivaut `a dire que : lim

x→a+f(x) =f(x) ou encore : Soitaun point int´erieur `a l"intervalleI. Soitfune application deIdans IR. fest continue enasi et seulement sifest continue `a droite et `a gauche ena.

D´efinition(Discontinuit´e de premi`ere esp`ece)Soitfun ´el´ement deF(I,IR). Soitaun point deI.

Sifn"est pas continue ena, on dit quefestdiscontinueen ce point. Siaest int´erieur `aI, sifest discontinue ena, mais si les limites `a gauche et `a droite ena existent et sont finies, on dit quefpr´esente enaunediscontinuit´e de premi`ere esp`ece.

D´efinition(Prolongement par continuit´e)Soitfun ´el´ement deF(I,IR). Soitaun r´eel, extr´emit´e deImais n"appartenant pas `aI.

On dit quefest prolongeable par continuit´e enasi?= limafexiste et est finie. Cela signifie quegd´efinie surI?{a}parg(x) =f(x) six?Ietg(a) =?est continue ena. On dit que l"applicationgest leprolongement par continuit´edefena.

7.4.2. Propri´et´es

Proposition(Op´erations sur applications continues en un point)Soientfetgdeux ´el´ements deF(I,IR). Soitaun ´el´ement deI.

Sifetgsont continues ena, il en est de mˆeme pourfgetαf+βg(αβ?IR). Sifest continue enaet sif(a)?= 0, alors1fest continue ena. Sifest continue enaet sigest continue enb=f(a), alorsg◦fest continue ena.

Proposition(Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e)Soitfun ´el´ement deF(I,IR). Soitaun ´el´ement deI.

fest continue enasi et seulement si, pour toute suite (un) deIconvergeant versa, la suite de terme g´en´eralf(un) converge versf(a).Remarques

La propri´et´e pr´ec´edente est utile pour montrer qu"une applicationfn"est pas continue en

un pointa: on construit une suite (un) convergeant versa, mais telle que la suite de terme g´en´eral (f(un)) ne converge pas versf(a).

De mˆeme si le r´eelaest une extr´emit´e deI(n"appartenant pas `aI), si la suite (un) converge

versa, mais si la suite de terme g´en´eralf(un) n"a pas de limite (ou si sa limite est infinie),

on peut dire quefn"est pas prolongeable par continuit´e au pointa.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 20

Limites et continuit´e. Fonctions usuelles7.4.3. Continuit´e sur un intervalle

D´efinitionSoitfun ´el´ement deF(I,IR).

On dit quefest continue surIsifest continue en tout point deI. On noteC(I,IR) (ouC(I)) l"ensemble des applications continues surI, `a valeurs r´eelles. Propri´et´es et exemples•Toute application constante est continue sur IR.

Il en est de mˆeme des applicationsx?→xetx?→ |x|.•Soientfetgdeux applications continues surI.

Pour tous scalairesαetβ,αf+βgest continue surI.

Il en est de mˆeme de l"applicationfg.

Signe s"annule pas surI,1getfgsont continues surI.•Les applications polynˆomiales sont continues sur IR.

Une application rationnelle (quotient de deux applications polynˆomiales) est continue sur

chaque intervalle de son domaine de d´efinition.•Les applications usuellesx?→sin(x),x?→cos(x),x?→tan(x),x?→exp(x),x?→ln(x) et

x?→xαsont continues sur chaque intervalle de leur domaine.•Soientf? C(I,IR),g? C(J,IR), avecf(I)?J. Alorsg◦f? C(I,IR).•Sifest continue surI, alors les applications|f|,f+etf-sont continues surI.

Sifetgsont continues surI, alors inf(f,g) et sup(f,g) sont continues surI.•Sifest continue surI, alors la restriction def`a tout intervalleJ?Iest continue surJ.Remarques

Pour d´emontrer qu"une application est continue sur un intervalleI, on ne revient pratique- ment jamais `a la d´efinitionepsilonesque. Le plus souvent, la fonction `a ´etudier est en effet uncocktailde fonctions continues classiques et les propri´et´es pr´ec´edentes permettent de conclure.

La continuit´e, mˆeme sur un intervalle, reste unepropri´et´e locale, ce qui signifie qu"elle n"est

que le bilan de la continuit´e defen chacun des points deI.

Th´eor`eme(Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires)Soitfune application continue sur l"intervalleI.

Soienta,bdeux ´el´ements deI(a < b).

Soityun r´eel compris entref(a) etf(b).

Alors il existe un r´eelx, compris entreaetb, tel quef(x) =y.Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr, 19 novembre 2000 Page 21

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