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Fiche : DL
I) Développements limités usuels
Tous les DL usuels suivants sont au voisinage dex= 0Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles.
A) Famille exponentielle
exp(x) = 1 +x+x22! +x33! +x44! +...+xnn!+o(xn)(Taylor) ch(x)= 1 + x22! +x44! +...+x2n(2n)!+o(x2n)(c h(x) =partie paire deex) sh(x)= x+x33! +...+x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+1)(sh (x) =partie impaire deex) cos(x) = 1-x22! +x44! +...+ (-1)nx2n(2n)!+o(x2n) (cos(x) =?(eix)) sin(x) =x-x33! +...+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+1) (sin(x) =?(eix))B) Famille géométrique
11-x= 1 +x+x2+...+xn+o(xn)(série géométrique)
11 +x= 1-x+x2+...+ (-1)nxn+o(xn)(en remplaçantxpar-x)
ln(1-x) =-x-x22 -x33 +...-xn+1n+ 1+o(xn+1)(en intégrant la série géométrique) ln(1 +x) =x-x22 +x33 +...+ (-1)nxn+1n+ 1+o(xn+1)(au choix)Arctan(x) =x-x33
+x55 +...+ (-1)nx2n+12n+ 1+o(x2n+1)Le dernier s"obtient en remplaçantxparx2dans la série géométrique alternée puis en intégrant, car
Arctan
?(x) =11 +x2.C) Autres
(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2!x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+o(xn)S"obtient directement avec la formule de Taylor :
dkdxk(1 +x)α=α(α-1)···(α-k+ 1)(1 +x)α-kMoyen mnémotechnique : ressemble à une formule du binôme (et coïncide avec le binôme lorsqueα?N).