Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite d Démonstration : Le point appartient à P donc ses coordonnées vérifient l' équation : 3 × (−1) − 3 1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET - maths et tiques
Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite d Démonstration : Le point appartient à P donc ses coordonnées vérifient l' équation : 3 × (−1) − 3 1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants
[PDF] Plans dans lespace (représentations paramétriques ou équations
Le point B appartient au plan P si ses coordonnées vérifient le système de Pour montrer qu'une droite est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan, il suffit
[PDF] Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes
Un point ( ; ; ) appartient à la droite si et seulement s'il existe un réel Remarque 2 : Une droite a une infinité de représentation paramétrique A l'aide du produit scalaire, nous pouvons démontrer la propriété suivante :
[PDF] Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - Freemathsfr
1) Vérifier que le point A(2 ; 3 ; 0) appartient à la droite d1 2) Donner un point B(3 ; 3 ; 5) a) Donner une représentation paramétrique de cette droite ∆
[PDF] Géométrie dans lespace Représentation paramétrique - Jaicompris
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DI) L'espace est 1 ) Démontrer que le point M appartient au plan (ACD) sans utiliser de rep`ere
[PDF] TS Contrôle 8 - Correction EX 1 : ( 5 points ) Lespace est muni dun
admet que la droite D a pour représentation paramétrique : x = 1+t y = −3+2t z = t ,t ∈ R a Montrer que le point I appartient à la droite D Le point de
[PDF] Representation parametrique droite geometrie espace - E-monsite
Exercice 1 : représentation paramétrique d'une droite connaissant un point et un vecteur directeur • Exercice 2 Comme ce point appartient à ( ), ses coordonnées en vérifient le système 1) Démontrer que les droites ( ) et ( ) sont sécantes
[PDF] FICHE DE RÉVISION DU BAC - Studyrama
Caractérisations vectorielles et représentations paramétriques 3 Intersections Caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur dans le plan : M appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne
[PDF] Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
zyx Représentation paramétrique de droites On a besoin du vecteur directeur de la droite et d'un point de la droite On a alors : Un point M(x ;y ;z) appartient à
[PDF] montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
[PDF] montrer qu'un triangle est rectangle avec les nombres complexes
[PDF] montrer qu'un triangle est rectangle repère orthonormé
[PDF] montrer qu'une courbe admet un centre de symétrie
[PDF] montrer qu'une courbe admet une asymptote oblique
[PDF] montrer qu'une droite et un plan sont sécants
[PDF] montrer qu'une equation admet une solution unique
[PDF] montrer qu'une fonction admet un maximum
[PDF] montrer qu'une fonction admet un point fixe
[PDF] montrer qu'une fonction est convexe
[PDF] montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle
[PDF] montrer qu'une fonction est majorée
[PDF] montrer qu'une matrice est diagonalisable
[PDF] montrer qu'une matrice est inversible et calculer son inverse
1
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES
ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗On a :
∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .Démonstration :
∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel queExemple :
La droite passant par le point
1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droiteVidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo
Soit les points
2 3 -1 et 1 -3 2Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère
2Correction
- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repèreDonc -1+3=0 soit =
Et donc :
=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0Le point a donc pour coordonnées Q
5 3 1 0 R.Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan
Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,
Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points
tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o
- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).
On note E l'ensemble des points
vérifiant l'équation +++=0Alors le point Q
0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.Soit un vecteur ⃗
. Pour tout point , on a : .⃗=V+W+
-0 -0E est donc l'ensemble des points
tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗
1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de planVidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le
point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1Correction
Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonalà un vecteur normal de l'autre.
4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculairesVidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc
Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :
2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.
Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.Correction
Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est
orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0Les vecteurs ⃗ et ′
sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.Partie 3 : Applications
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un planVidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE
Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.Soit
1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.Correction
a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.On a :
-2 0 3Comme :
.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas
parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5Le point
, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+32-+3-2=0
On a donc : 2
1-2
-2+3 -3+3 -2=05-11=0 soit =
D'où :
=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5 18 5 Ainsi la droite () et le plan sont sécants en 17 5 2 18 5 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droiteVidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU
Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 0 2 -1 2 1 et 0 1 -2Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ().
Correction
On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ().On a :
-2 2 -1 Une représentation paramétrique de () est : =1-2 =2 =2-Le point appartient à la droite () donc ses coordonnées vérifient les équations du
système paramétrique de ().On a ainsi :
1-2
2
2-
et donc1-2
2-1
2-+2
1-2
2-1
4-
Or,
et sont othogonaux, donc : =01-2
-22-1
×2+
4-
-1 =0 -2+4+4-2-4+=09-8=0
6 8 9Le point , projeté orthogonal du point sur la droite (), a donc pour coordonnées :
1-2×
8 9 2× 8 9 2- 8 9 7 9 16 9 10 9 Méthode : Déterminer l'intersection de deux plans - NON EXIGIBLE -Vidéo https://youtu.be/4dkZ0OQQwaQ
Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :
-+2+-5=0 et 2-+3-1=0.