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Le point B appartient au plan P si ses coordonnées vérifient le système de Pour montrer qu'une droite est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan, il suffit

Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite d Démonstration : Le point appartient à P donc ses coordonnées vérifient l' équation : 3 × (−1) − 3 1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants

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Le point B appartient au plan P si ses coordonnées vérifient le système de Pour montrer qu'une droite est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan, il suffit

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admet que la droite D a pour représentation paramétrique : x = 1+t y = −3+2t z = t ,t ∈ R a Montrer que le point I appartient à la droite D Le point de

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Caractérisations vectorielles et représentations paramétriques 3 Intersections Caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur dans le plan : M appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne

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zyx Représentation paramétrique de droites On a besoin du vecteur directeur de la droite et d'un point de la droite On a alors : Un point M(x ;y ;z) appartient à

Plans dans l"espace

(représentations paramétriques ou équations cartésiennes)

L"espace est muni d"un repère?

O,-→ı ,-→? ,-→k?

orthonormé. Ex 1 Soient trois pointsA(1; 1;-2),B(1;2;-1) etC(3; 1; 4).

1.Démontrer que les pointsA,BetCdéfinissent un plan.

Il faut vérifier que les pointsA,BetCne sont pas alignés.

AB(0; 1; 1) et-→AC(2; 0; 6).

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points ne sont pas alignés et déterminent un plan que l"on note

(ABC).

2.Déterminer une représentation paramétrique du plan(ABC).

Les vecteurs--→ABet-→ACsont deux vecteurs directeurs du plan(ABC)(car vecteurs non colinéaires).

y= 1 +k,k,t?R z=-2 +k+ 6t. Ex 2Soit la droite(d)passant parM(4; 1; 0) et de vecteur directeur-→w(2;-5; 11) y= 3k+ 4t,k,t?R z=-5 +k+ 2t.

1.Le pointB(1;-2; 1) appartient-il àP?

Le pointBappartient au planPsi ses coordonnées vérifient le système de représentation paramétrique du plan

3k+ 4t=-2

-5 +k+ 2t= 1a une solution pourkett.

3k+ 4t=-2

k+ 2t= 6 On commence par résoudre le système formé des deux premièreséquations?????2k-t=-2

3k+ 4t=-2

On multiplie la première équation par4, le système devient?????8k-4t=-8

3k+ 4t=-2.

Nathalie Arnaud - Lycée Théophile Gautier - Tarbes Plans dans l"espace - Correction 1/4 unimath.fr

Par addition des deux lignes on obtient11k=-10et donck=-1011.

Par substitution dekpar-10

11dans la première équation2k-t=-2, on en déduitt= 2k+ 2 =-2011+ 2 =211.

On regarde si les valeursk=-10

11ett=211conviennent, c"est-à-dire si elles vérifient la troisième équation.

On a :k+ 2t=-10

11+411=-611?= 6

donc le système de départ n"a pas solution pourkettet cela prouve que le pointBn"appartient pas au plan.

2.Donner deux vecteurs directeurs deP.

Par lecture du système de représentation paramétrique du plan, on en déduit deux vecteurs directeurs-→u(2; 3; 1)

(coefficients du paramètrek) et-→v(-1; 4; 2) (coefficients du paramètret) .

3.Démontrer que la droite(d)est perpendiculaire au planP.

Pour montrer qu"une droite est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan, il suffit de montrer qu"elle est orthogonale

à deux droites sécantes du plan, ce qui en terme de vecteurs revient à démontrer qu"un vecteur directeur de la droite

est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan. Vecteur directeur de la droite(d):-→w(2;-5; 11)

Vecteurs non colinéaires du plan :

-→u(2; 3; 1) et-→v(-1; 4; 2).

On a :

-→w·-→u= 4-15 + 11 = 0donc-→w?-→u

On a :

-→w·-→v=-2-20 + 22 = 0donc-→w?-→v Conclusion : la droite(d)est donc perpendiculaire au planP.

4.Déduire de la question précédente une équation du planP.

La droite(d)étant perpendiculaire au planP, on en déduit que le vecteur-→w(2;-5; 11) (vecteur directeur de la

droite) est normal au plan. Le planPa donc une équation cartésienne du type2x-5y+ 11z+d= 0

Pour déterminer la valeur ded, on utilise un point du planPque l"on déduit du système de représentation

paramétrique du plan. Soit le pointT(3; 0;-5) (pourk= 0ett= 0).

Les coordonnées deTvérifient l"équation cartésienne du plan donc6-0-55 +d= 0et doncd= 49.

Conclusion : le planPa pour équation cartésienne2x-5y+ 11z+ 49 = 0 Vérification :2x-5y+ 11z-49 = 2(3 + 2k-t)-5(3k+ 4t) + 11(-5 +k+ 2t)-49 Vérification :2x-5y+ 11z-49= 6 + 4k-2t-15k-20t-55 + 11k+ 22t+ 49

Vérification :2x-5y+ 11z-49= 0

Nathalie Arnaud - Lycée Théophile Gautier - Tarbes Plans dans l"espace - Correction 2/4 unimath.fr

Ex 3 y= 4-k,k?R z=-2 + 2k et le planPd"équation cartésienne2x-y+ 4z+ 1 = 0

1.Le pointAde coordonnées (3; 5;-1) appartient-il àP?

Le pointAappartient au planPsi ses coordonnées vérifient l"équation du plan. On a :2x-y+ 4z+ 1 = 6-5-4 + 1 =-2?= 0doncAn"appartient pas au plan.

2.Déterminer un vecteur normal au planP.

On déduit directement à partir de l"équation cartésienne duplan que le vecteur-→n(2;-1; 4) est normal au plan.

3.A l"aide du vecteur normal trouvé précédemment, démontrer que la droite(d)coupe le planP.

Pour démontrer que la droite(d)coupe le plan, il suffit de montrer que la droite n"est pas parallèle au plan.

Pour cela, il suffit de vérifier qu"un vecteur directeur de(d)n"est pas orthogonal au vecteur-→n.

Vecteur directeur de(d):-→u(1;-1; 2) (coefficients du paramètrek).

On a :

-→u·-→n= 2+1+8 = 11?= 0donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux et la droite(d)coupe donc le planP.

4.Calculer les coordonnées de leur point d"intersection.

Le point d"intersection appartient à la fois àPet à la droite(d)donc ses coordonnées vérifient la représentation

paramétrique de(d)et l"équation deP. Par substitution dex,yetzdans l"équation du plan, on a2(1 +k)-(4-k) + 4(-2 + 2k) + 1 = 0. donc2 + 2k-4 +k-8 + 8k+ 1 = 0et donc11k-9 = 0et donck=9 11 On en déduit alorsx= 1 +k= 1 +911=2011;y= 4-k= 4-911=3511etz=-2 + 2k=-2 +1811=-411 Conclusion : le point d"intersection a pour coordonnées ?20

11;3511;-411?

Ex 4Soit le planP1d"équation-x+ 6y+z-1 = 0et le planP2d"équation2x-5y+ 3z-2 = 0

1.Déterminer un vecteur normal au planP1et un vecteur normal au planP2puis en déduire que les plans sont sécants.

Vecteur normal àP1:-→n1(-1; 6; 1)

Vecteur normal àP2:-→n2(2;-5; 3)

Deux plans sont sécants s"ils ne sont pas parallèles. P

1etP2ne sont pas parallèles si-→n1et-→n2ne sont pas colinéaires.

1et-→n2ne sont pas colinéaires car-1

2?=6-5, donc les plans sont sécants.

Nathalie Arnaud - Lycée Théophile Gautier - Tarbes Plans dans l"espace - Correction 3/4 unimath.fr

2.Déterminer l"intersection de ces deux plans.

L"intersection des deux plans est une droite dont les coordonnéesdes points vérifient le système?????-x+ 6y+z-1 = 0

2x-5y+ 3z-2 = 0

Ce système a deux équations et trois inconnues.

On se ramène à un système2×2en considérant comme inconnues principalesxetyet :?????-x+ 6y= 1-z

2x-5y= 2-3z

L"objectif est d"exprimerxetyen fonction dez.

On multiplie la première équation par2, le système devient?????-2x+ 12y= 2-2z

2x-5y= 2-3z

Par addition des deux lignes on obtient7y= 4-5zet doncy=4 7-57z Par substitution deypary=47-57zdans la première équation-x+ 6y= 1-z on a-x+ 6?4

7-57z?

= 1-z donc-x+24

7-307z= 1-z

donc-x= 1-24

7-z+307z

soit-x=-17

7z+237et doncx=-237+177z

7+177k

y=4

7-57k,k?R

z=k On reconnait la représentation paramétrique d"une droite. La droite d"intersection des deux plans est donc la droite passant par le pointM?-23

7;47; 0?

et de vecteur directeur -→w?17

7;-57; 1?

Vérification : pourk= 1, on a le pointA?-6

7;-17;1?

Ce point appartient àP1car-x+ 6y+z-1 =6

7-67+ 1-1 = 0

Ce point appartient àP2car2x-5y+ 3z-2 =-12

7+57+ 3-2 =-1 + 3-2 = 0

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quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Plans dans l"espace

L"espace est muni d"un repère?

O,-→ı ,-→? ,-→k?

1.Démontrer que les pointsA,BetCdéfinissent un plan.

AB(0; 1; 1) et-→AC(2; 0; 6).

2.Déterminer une représentation paramétrique du plan(ABC).

1.Le pointB(1;-2; 1) appartient-il àP?

3k+ 4t=-2

3k+ 4t=-2

3k+ 4t=-2

3k+ 4t=-2.

Par substitution dekpar-10

11dans la première équation2k-t=-2, on en déduitt= 2k+ 2 =-2011+ 2 =211.

On regarde si les valeursk=-10

11ett=211conviennent, c"est-à-dire si elles vérifient la troisième équation.

On a :k+ 2t=-10

11+411=-611?= 6

2.Donner deux vecteurs directeurs deP.

3.Démontrer que la droite(d)est perpendiculaire au planP.

Vecteurs non colinéaires du plan :

On a :

On a :

4.Déduire de la question précédente une équation du planP.

Vérification :2x-5y+ 11z-49= 0

1.Le pointAde coordonnées (3; 5;-1) appartient-il àP?

2.Déterminer un vecteur normal au planP.

3.A l"aide du vecteur normal trouvé précédemment, démontrer que la droite(d)coupe le planP.

On a :

4.Calculer les coordonnées de leur point d"intersection.

11;3511;-411?

1.Déterminer un vecteur normal au planP1et un vecteur normal au planP2puis en déduire que les plans sont sécants.

Vecteur normal àP1:-→n1(-1; 6; 1)

Vecteur normal àP2:-→n2(2;-5; 3)

1etP2ne sont pas parallèles si-→n1et-→n2ne sont pas colinéaires.

1et-→n2ne sont pas colinéaires car-1

2?=6-5, donc les plans sont sécants.

2.Déterminer l"intersection de ces deux plans.

2x-5y+ 3z-2 = 0

2x-5y= 2-3z

L"objectif est d"exprimerxetyen fonction dez.

2x-5y= 2-3z

7-57z?

7-307z= 1-z

7-z+307z

7z+237et doncx=-237+177z

7+177k

7-57k,k?R

7;47; 0?

7;-57; 1?

Vérification : pourk= 1, on a le pointA?-6

7;-17;1?

Ce point appartient àP1car-x+ 6y+z-1 =6

7-67+ 1-1 = 0

Ce point appartient àP2car2x-5y+ 3z-2 =-12

7+57+ 3-2 =-1 + 3-2 = 0

On regarde si les valeursk=-10

Vérification :2x-5y+ 11z-49= 0

Vérification : pourk= 1, on a le pointA?-6