[PDF] I Asymptote Oblique II Branches paraboliques - My MATHS SPACE PDF asymoblibranchparabol_p2

Il est possible de préciser la courbe représentative d'une fonction qui admet une limite infini en l'infini I Asymptote Oblique On dit que la droite d'équation y = ax

C la courbe représentative de la fonction f dans ce repère 1 Montrer que C admet une asymptote verticale D et une asymptote oblique ∆ 3 Soit I le point

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Il est possible de préciser la courbe représentative d'une fonction qui admet une limite infini en l'infini I Asymptote Oblique On dit que la droite d'équation y = ax

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On dit que la courbe C admet la droite ∆ pour asymptote oblique en + ∞ (on précise et on demande de démontrer que sa représentation graphique admet

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(a) Montrer que la courbe représentative de la fonction g, définie par g(x) = x3 + 4 x2 admet une asymptote oblique en +∞ (b) Déterminer sur quel ensemble

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d) Prouver que la courbe C admet une asymptote verticale et en donner une équation Exercice 2 f est la fonction définie sur Y* par f(x) = 1 – x – 1 x

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on dit que la droite D d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe Cf On peut de même définir une asymptote oblique au voisinage de −∞ si lim

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On dit qu'une fonction f admet l droite d'équation y = l est une asymptote horizontale à la y = ax + b est une asymptote oblique à la courbe représentative

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27 jan 2011 · 4) Prouver que la courbe Cf admet une asymptote verticale et donner une équation de cette asymptote Exercice IX : Position d'une courbe et

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vers 0 quand x tend vers a alors les deux courbes Cf et Cg sont asymptotes quand x tend vers a Dans ce qui suit, C 1 Asymptote verticale au graphe d'une fonction C 1 1 Définition fonction admet une asymptote oblique C 2 4 Exemple

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Alors la courbe représentative de admet une asymptote oblique d'équation On aurait également pu montrer la présence d'une asymptote verticale d'équation

Il est possible de préciser la courbe représentative d"une fonction qui admet une limiteinfinienl"infini.

I Asymptote Oblique

On dit que la droite d"équationy=ax+b(a?R?,b?R) est asymptote oblique en +∞(resp. en-∞) àCfsi lim x→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0 (resp.limx→-∞[f(x)-(ax+b)] = 0) O?i ?j y=ax+b

Exemple 1:f:R?-→R

x?-→2x+ 1 +1 x•Cfadmet-elle une droite comme asymptote en+∞? •Justifier.

Exemple 2:f:Df-→R

x?-→? x2-1 + 2x •DéterminerDf; •Prouver que la droited:y= 3xest asymptote àCfen+∞;

•Cfadmet-elle une asymptote oblique en-∞? (attendre ce qui suit pour répondre à cette question)

II Branches paraboliques

II.1 Branche parabolique de direction(Ox)

On dit queCfprésente unebranche parabolique de direction asymptotique(Ox) en +∞si : limx→+∞f(x) =±∞; limx→+∞f(x)x= 0 ; O?i ?j

II.2 Branche parabolique de direction(Oy)

On dit queCfprésente unebranche parabolique de direction asymptotique(Oy) en +∞si : limx→+∞f(x) =±∞; limx→+∞f(x)x=±∞; O ?j II.3 Branche parabolique de direction la droite d"équationy=ax On dit queCfprésente unebranche parabolique de direction asymptotique la droite d"équationy=axen +∞si : limx→+∞f(x) =±∞; limx→+∞f(x)x=a; limx→+∞f(x)-ax=±∞;O ?j y=ax

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P2:doc 3Asymptote Oblique, branches paraboliques, ...2014-2015

III Synthèse sur les branches infinies

III.1 Résumé

fest définie sur un intervalle ouvert ou une réunion d"intervalles ouverts

Au voisinage d"un pointc,

borne réelle de l"intervalleI.

Si lim

x→cf(x) =±∞

La droite d"équationx=c

est asymptote verticale àCf. Au voisinage d"une borne infinie de l"intervalleI, par exemple +∞. Si limx→+∞f(x) =l?R

La droite d"équation

y=lest asymptote horizontale àCf.

Si limx→+∞f(x) =±∞

On poursuit les investigations...en étudiant limx→+∞f(x)x -→Si limx→+∞f(x) x= 0, branche parabolique de direction asymptotique (Ox); -→Si limx→+∞f(x) x=±∞, branche parabolique de direction asymptotique (Oy); -→Si limx→+∞f(x) x=a, on poursuit notre recherche... Si limx→+∞f(x)-ax=±∞, branche parabolique de direc- tion asymptotique la droite d"équationy=ax; Si limx→+∞f(x)-ax=b?R, asymptote oblique d"équation y=ax+b;

III.2 Des exemples

0:R-?12?

-→R x?-→2x3 (2x-1)2?f

1: [0;+∞[-→R

x?-→1-⎷ x+x22?f

2: [1;+∞[-→R

x?-→x2+⎷2x-2

III.3 Des situations " marginales »

Certaines situations aboutissent à l"absence de limite. Par exemple : f3:R-→R x?-→x+ sin(2πx) f4:R-→R x?-→x(sin(2πx) + 2)

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