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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S (spécialité) Polynésie?

9 septembre 2015

EXERCICE1 Commun à tousles candidats 7 points

PartieA

1.Soitule nombre complexe 1-i.

|u|=?

12+(-1)2=?2; doncu=?2?1?2-1?2i?

=?2? ?2 2-? 2 2i? 2 2 sin(α)= -? 2

2Doncα=-π

4+k2πoùk?Z

L"écriture complexe du nombreu=1-i est donc?

2e-iπ4.

2.eiθ=cos(θ)+i sin(θ) donc

e iθ(1-i)=(cos(θ)+i sin(θ))(1-i)=cos(θ)+i sin(θ)-i cos(θ)-i2sin(θ) =(cos(θ)+sin(θ))+i(sin(θ)-cos(θ))(forme algébrique) 1-i=?

2e-iπ4donc eiθ(1-i)=eiθ×?2e-iπ4=?2ei?θ-π4?

(écriture exponentielle)

3.Le nombre complexe eiθ(1-i) s"écrit d"une part (cos(θ)+sin(θ))+i(sin(θ)-cos(θ))et d"autre

part?

2ei?θ-π4?

, c"est-à-dire?2? cos?

θ-π4?

+i sin?

θ-π4??

En identifiant les parties réelles, on obtient : cos(θ)+sin(θ)=? 2cos?

θ-π4?

C"est un résultat que l"on peut retrouver directement en développantcos? 4? au moyen de la formulecos(a-b)=cosacosb+sinasinb.

PartieB

On considère les fonctionsfetgdéfinies sur l"intervalle [0 ;+∞[ par :f(x)=e-xcos(x),g(x)=e-x.

On définit la fonctionhsur [0 ;+∞[ parh(x)=g(x)-f(x). Les représentations graphiquesCf,CgetChdes fonctionsf,gethsont données, en annexe, dans un repère orthogonal.

1.D"après les graphiques :

a.On peut conjecturer que les limites des fonctionsfetgen+∞sont égales à 0. b.La courbeCfsemble située en dessous de la courbeCg. c.L"écart entre les deux courbesCfetCgsemble maximal pourx=2.

2.g(x)-f(x)=e-x-e-xcos(x)=(1-cos(x))e-x

Pour tout réelx, e-x>0 et cos(x)?1 donc (1-cos(x))?0; donc, pour toutx,g(x)-f(x)?0 et donc la courbeCgest située au-dessus de la courbeCfsur l"intervalle[0;+∞[.

3.• Onsaitque limx→+∞e-x=0;donclacourbeCgadmetladroited"équationy=0comme asymp-

tote horizontale en+∞. • Pour toutx,-1?cos(x)?+1 et comme e-x>0,-e-x?e-xcos(x)?e-x. lim

x→+∞-e-x=limx→+∞e-x=0 donc, d"après le théorème des gendarmes, limx→+∞e-xcos(x)=0,

c"est-à-dire lim x→+∞f(x)=0. lim x→+∞f(x)=0 donc la courbeCfadmet la droite d"équationy=0 comme asymptote hori- zontale en+∞.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4. a.On noteh?la fonction dérivée de la fonctionhsur l"intervalle [0 ;+∞[.

h On a vu dans la partie A que, pour tout réelθ,? 2cos?

θ-π4?

=cos(θ)+sin(θ), donc 2cos? x-π4? =cos(x)+sin(x).

On peut donc en déduire queh?(x)=e-x??

2cos? x-π4? -1? b. • On se place dans l"intervalle?

0 ;π

2?

0?x?π

2

4?x-π4?π4

=?cos? x-π 4? 2 2 2cos? x-π4? ?1 2cos? x-π4? -1?0 O 4 4? 2 2 • On se place dans l"intervalle?π2; 2π?

2?x?2π

4?x-π4?2π-π4

=?cos? x-π 4? 2 2 2cos? x-π4? ?1 2cos? x-π4? -1?0 O? 2 2?? 4

2π-π

4 c.h(x)=g(x)-f(x)=e-x(1-cos(x)) h(0)=e0(1-cos(0))=1(1-1)=0 h?πquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5