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Exercice 5Corrigé

OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2015

MATHÉMATIQUES

Série S

Candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de

spécialité

Durée de l"épreuve : 4 heures

Coefficient : 7

Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7 dont une annexe en page 7/7 qui est à rendre avec la copie.

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation

en vigueur. Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. Le candidat doittraiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte

pour aborder les questions suivantes, à condition de l"indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète

ou non fructueuse, qu"il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront

prises en compte dans l"appréciation de la copie.

15 MASCOPO1Page 1/7

EXERCICE5 (5 points)

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturelnnon nul. On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturelnnon nul par : S n=n? k=1v k=v1+v2+···+vn. Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).

Partie A Conjectures à l"aide d"un algorithme

1.Recopier et compléter l"algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur deSnpour

une valeur denchoisie par l"utilisateur :

Variables :n,kentiers

S,vréels

Initialisation : Saisir la valeur den

vprend la valeur ...

Sprend la valeur ...

Traitement : Pourkvariant de ... à ... faire

... prend la valeur ... ... prend la valeur ...

Fin Pour

Sortie : Afficher S

2.À l"aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs deSn. Les valeurs arrondies au

dixième sont données dans le tableau ci-dessous : n101001 00010 000100 0001 000 000

Sn2,44,66,99,211,513,8

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).

Partie B Étude d"une suite auxiliaire

Pour tout entier naturelnnon nul, on définit la suite (un) parun=evn.

1.Vérifier queu1=2 et que, pour tout entier naturelnnon nul,un+1=2-1

un.

2.Calculeru2,u3etu4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

3.Démontrer que, pour tout entier naturelnnon nul,un=n+1

n.

Partie C Étude de(Sn).

1.Pour tout entier naturelnnon nul, exprimervnen fonction deun, puisvnen fonction

den.

2.Vérifier queS3=ln(4).

3.Pour tout entier naturelnnon nul, exprimerSnen fonction den. En déduire la limite

de la suite (Sn).

15 MASCOPO1Page 6/7

1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2015 1.

Recopions et complétons l'algorithme:

L'algorithme recopié et complété est le suivant:

Initialisation:

Saisir la valeur de n

V prend la valeur ln ( 2 )

S prend la valeur 0

Traitement:

Pour k variant de 1 à n faire

S prend la valeur S + V

V prend la valeur ln ( 2 - e

V

Fin Pour

2. Émettons une conjecture quant au comportement de la suite ( S n D'après les données du tableau, on pourrait, a priori, penser q ue: la suite S n ) est croissante et semble converger vers + .

EXERCICE 5

Partie A: Conjectures à l'aide d'un algorithme

[ Polynésie 2015 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2015

Partie B: Étude d'une suite auxiliaire

1.

Vérifions que U

1 = 2 et que, pour tout n *, U n 1 = 2 - 1 U n Ici: U 1 = e V 1 = e ln 2 = 2 ; U n 1 = e V n 1 = e ln 2quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5