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ETUDE DE FONCTIONS Partie 3 : Limites et asymptotes Le but de ce Une fonction f tend vers l'infini quand x tend vers un réel a si, pour tout réel M, f(x) > M

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Étude de fonctions, 6 Asymptotes horizontales, 12 asymptotes obliques, 12 Asymptotes verticales et trous, 9 division euclidienne polynomiale, 13 Domaine de

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3° Sens de variation d'une fonction 4° Tangente II LIMITES D'UNE FONCTION 1° Asymptotes 2° Règles de calcul 3° Formes indéterminées I FONCTION

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II) BRANCHES INFINIES 1) Asymptote verticale (rappelle) Définition : Si la fonction vérifie l'une des limites

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6 sept 2011 · 7 Étude d'une fonction 14 7 1 Pland'étude Remarque : On dit que la droite y = a est une asymptote verticale à la courbe de f Exemple

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Remarque : Une fonction n'a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsque x tend vers +∞ : f définie sur R par f(x) = cos(x) n'a de limite ni en −∞ ni en +

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ÉTUDE D'UNE FONCTION 1 3 / 3 IUT GEII - Evry - Ma12 b asymptote horizontale y b = x lim f(x) →∞ ∞ 0 branche parabolique horizontale ∞ branche

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Lire graphiquement une limite quand une asymptote est tracée • Etude de fonctions - Déterminer le domaine de définition d'une fonction - Etudier la parité

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La fonction f n'admet alors pas d'asymptote horizontale en +∞ et l'on doit poursuivre l'étude pour étudier de plus pr`es le comportement de f(x) autour de + ∞

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Partie 3 : Limites et asymptotes

Le but de ce chapitre est d"étudier la fonction aux " bornes » de son domaine de définition.

I. Généralités - Définitions

· Une fonction f tend vers l"infini quand x tend vers l"infini si, pour tout réel M, f(x) > M quand x est assez grand.

· Une fonction f tend vers l"infini quand x tend vers un réel a si, pour tout réel M, f(x) > M

quand x est assez proche de a. · Une fonction f tend vers un réel a quand x tend vers l"infini si, f(x) appartient à tout intervalle contenant a, quand x est assez grand.

II. Calculs sur les limites

(Dans la suite, FI veut dire Forme Indéterminée).

1) Somme

Lim f l l l +

Lim g l" +¥ -¥ +¥ -¥ -¥

Lim f+g l + l" +¥ -¥ +¥ -¥ FI

2) Produit

Lim f l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0

¥+ ¥- ¥+ 0

Lim g l" ¥+ ¥- ¥+ ¥- ¥+ ¥- ¥- ¥± Lim fxg l.l" ¥+ ¥- ¥- ¥+ ¥+ ¥+ ¥- FI

3) Quotient

Lim f l l

¥+ ¥+ ¥- ¥- ¥+ ou

Lim g l" ¹ 0 ¥+ ou

¥- l" > 0 l" < 0 l" > 0 l" < 0

¥+ ou

Lim gf "l

l 0 ¥+ ¥- ¥- ¥+ FI Lim f l > 0 ou ¥+ l > 0 ou ¥+ l < 0 ou ¥- l < 0 ou ¥- 0 Lim g

0+ 0- 0+

0- 0

Lim gf

¥+ ¥- ¥- ¥+ FI

4) Les formes indéterminées sont donc :

¥¥- ; 0 ´¥ ; ¥

¥ ; 0

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III. Théorème de comparaison dit Théorème des gendarmes a) si g(x)

£ f(x) £ h(x)

alors ax®limg(x) £ ax®limf(x) £ ax®limh(x) a Î R ou a = ±¥ b) ce théorème est utile si ax®limg(x) = ax®limh(x) donc on peut en déduire que ax®lim f(x) c) on l"utilise aussi si lxf-)(£g(x) et ax®limg(x) = 0 alors ax®limf(x) = l

IV. Limite et taux de variation

· si g est dérivable en a et que f(x) = ax

agxg alors ax®limf(x) = g"(a) si g est dérivable en a et que f(x) = x agxag)()(-+ alors

0lim®xf(x) = g"(a)

V. Polynôme

La limite en

¥+ ou ¥- d"un polynôme est la limite en ¥+ ou ¥- de son terme de plus haut degré.

VI. Asymptotes

Soient a et l deux réels

si ax®limf(x) = + -¥ alors x = a est asymptote verticale à la courbe de f si ±¥®xlim f(x) = l alors y = l est asymptote horizontale à la courbe de f en ¥±

si ±¥®xlim (f(x) - (ax + b)) = 0 alors D : y = ax + b est asymptote oblique à la courbe de f

Autre présentation : si f(x) = ax + b + e(x) avec ±¥®xlime(x) = 0 alors D : y = ax + b est

asymptote oblique à la courbe de f en si f(x) - (ax + b) > 0 Cf au dessus de D si f(x) - (ax + b) < 0 Cf en dessous de D Remarque : Si on cherche à savoir si f admet une asymptote oblique en +¥ (même raisonnement en - condition : il faut que +¥®xlim f(x) = ¥± si tel est le cas, calculer +¥®xlim x xf)( si +¥®xlimx xf)( = ¥±, il n"y a pas d"asymptote oblique si +¥®xlimx xf)(= a, on calcule +¥®xlim (f(x) - ax) = b et D : y = ax + b est asymptote oblique en +quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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Partie 3 : Limites et asymptotes

I. Généralités - Définitions

II. Calculs sur les limites

1) Somme

Lim f l l l +

Lim g l" +¥ -¥ +¥ -¥ -¥

Lim f+g l + l" +¥ -¥ +¥ -¥ FI

2) Produit

Lim f l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0

¥+ ¥- ¥+ 0

3) Quotient

Lim f l l

¥+ ¥+ ¥- ¥- ¥+ ou

Lim g l" ¹ 0 ¥+ ou

¥- l" > 0 l" < 0 l" > 0 l" < 0

¥+ ou

Lim gf "l

0+ 0- 0+

Lim gf

¥+ ¥- ¥- ¥+ FI

4) Les formes indéterminées sont donc :

¥¥- ; 0 ´¥ ; ¥

¥ ; 0

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IV. Limite et taux de variation

· si g est dérivable en a et que f(x) = ax

0lim®xf(x) = g"(a)

V. Polynôme

La limite en

VI. Asymptotes

Soient a et l deux réels