ETUDE DE FONCTIONS Partie 3 : Limites et asymptotes Le but de ce Une fonction f tend vers l'infini quand x tend vers un réel a si, pour tout réel M, f(x) > M
Remarque : Une fonction n'a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsque x tend vers +∞ : f définie sur R par f(x) = cos(x) n'a de limite ni en −∞ ni en +
Lire graphiquement une limite quand une asymptote est tracée • Etude de fonctions - Déterminer le domaine de définition d'une fonction - Etudier la parité
La fonction f n'admet alors pas d'asymptote horizontale en +∞ et l'on doit poursuivre l'étude pour étudier de plus pr`es le comportement de f(x) autour de + ∞
1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM Page 1 sur 9 G G FH I) CONCAVITE ; CONVEXITE ; POINTS DINFLEION 1) Activités : Activité 1 : Soit la fonction définie sur par : ; Soit un point de sa courbe représentative. 1. Dterminer luation de la tangente en . (En fonction de ) 2. Soit et deux points qui ont la même abscisse et qui appartiennent respectivement à et , Montrer que le signe de est positif quel que soit la valeur de . 3. Déterminer la dérivée seconde de . Activité 2 : Soit la fonction définie sur par : -. 1. Déterminer les dérivées première et seconde de la fonction . 2. Dresser le tableau de signe de . 3. La courbe représentative de est représentée ci-contre, étudier graphiquement La position relative de la courbe par rapport à ses tangentes. 4. Que peut-on conclure ? Activité 3 : Soit la fonction définie sur par : . 1. Déterminer le domaine de définition de et étudier sa parité. 2. Etudier les limites en et 3. Déterminer la fonction dérivée de la fonction et dresser le T.V 4. Dterminer luation de la tangente T en -- 5. Etudier les positions relatives de et la courbe 6. Tracer la courbe 2) Définition et propriétés. 2.1 Définitions : Définition : Soit une fonction dont la courbe représentative est . On dit que la courbe est convexe si elle se trouve au-dessus de toutes ses tangentes On dit que la courbe est concave si elle se trouve au-dessous de toutes ses tangentes. Un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité de la courbe
1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM Page 2 sur 9 Graphe dune fonction conee Graphe dune fonction concae Point dinfleion en Remarque : Si est dérivable en et traverse sa tangente en alors le point est un point dinfleion 2.2 Dérivée seconde et concavité. Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle et sa courbe représentative. Soient un élément de , et la tangente en , Soient et deux points qui ont le même abscisse et qui appartiennent respectivement à et , On a : . Soit : est dérivable sur ) (car - est une constante) est deux fois dérivable sur Si est positive sur , il en est de même pour et on aboutit au tableau suivant : On voit bien que si est deux fois dérivable et que - sur alors est positif ce qui signifie que est au-dessus de sa tangente en et ceci pour tout dans do : est convexe sur . De même si on suppose que est négative sur on conclut que est concave sur .
0 Signe de 0 0
1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM Page 3 sur 9 Théorème : Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle . Si est positive sur alors est convexe sur . Si est négative sur alors est concave sur . Si sannule en en changeant de signe alors admet un point dinfleion en Remarque : Les conditions du théorème précèdent sont suffisantes ; on peut avoir une courbe convexe, concave ou un point dinfleion sans leistence mme de la drie seconde. Exercice : (-(- 1. Montrer que est dérivable en 0. 2. Déterminer la fonction dérivée de la fonction sur . 3. Etudier la dérivabilité de en 0 ; est-elle deux fois dérivable en 0. 4. Tracer la courbe et remaruer uelle admet un point dinfleion en --. II) BRANCHES INFINIES. 1) Asymptote verticale (rappelle) Définition : Si la fonction rifie lune des limites suiantes : ; ; ou Alors, on dit que la droite est une asymptote verticale. Interprétations géométriques : 2) Asymptote horizontale. Définition : Si la fonction rifie lune des limites suiantes : ou Alors, on dit que la droite est une asymptote horizontale.
1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM Page 4 sur 9 Interprétation géométrique : Remarque : La position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale se détermine par le signe de : Si - alors est au-dessus de Si - alors est au-dessous de Exercice : Soit la fonction définie par : ( 1. Dterminer lensemble de dfinition de . 2. Déterminer les limites de aux bornes de . 3. Interpréter géométriquement les résultats obtenues. 3) Asymptote oblique. Activité : Soit la fonction définie par : 1. Dterminer lensemble de dfinition . 2. Déterminer les limites aux bornes de 3. Effectuer la division de - sur puis en déduire que - 4. Déterminer - On dit que la droite - est une asymptote oblique à la courbe au voisinage de Définition : Soit une fonction définie au voisinage de , on dit que la droite où - est une asymptote oblique à la courbe au voisinage de si : - Exemple : La courbe de la fonction : a pour asymptote oblique au voisinage de , la droite -. Remarque : Si la courbe admet la droite comme
1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM Page 5 sur 9 asymptote oblique alors la position de la courbe se déduit par le signe de . Si - alors est au-dessus de Si - alors est au-dessous de . Si - alors est coupe . Propriété : Soit une fonction définie au voisinage de . La courbe admet la droite (- ) comme asymptote oblique au voisinage de si et seulement sil eiste une fonction tel que : - Preuve : Il suffit de poser : . Exercice : En utilisant la division euclidienne montrer que En déduire que la fonction admet une asymptote oblique au voisinage de et au voisinage de Propriété : Soit une fonction définie au voisinage de . La droite (- ) est une asymptote oblique au voisinage de si et seulement si : - Preuve : Daprs la proprit prcdente : On peut écrire où - Donc : et donc (car : - ) Dautre part : où - donc 4) Branches paraboliques. 4.1) Vers lae Soit la fonction définie par : ( On a : ; ( et ( On dit que la courbe admet une branche paraboliue ers lae au voisinage de Définition : Soit une fonction définie au voisinage de ; on dit que la courbe admet une branche parabolique vers lae au voisinage de si .
1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM Page 6 sur 9 Interprétations géométriques : 4.2) Vers lae Soit la fonction définie par : On a : ; et - On dit que la courbe admet une branche parabolique vers lae au voisinage de Définition : Soit une fonction définie au voisinage de ; on dit que la courbe admet une branche parabolique vers lae au voisinage de si -. Interprétations géométriques.
1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM Page 7 sur 9 4.3) Vers lae Activité : Soit la fonction définie sur par : On a : Mais On dit que la courbe de la fonction admet une branche parabolique vers la droite . Définition : Soit une fonction définie au voisinage de ; si , - et alors on dit que : la courbe de la fonction admet une branche parabolique vers la droite . III) DEMI-TANGENTE VERTICALE Introduction : Soit la fonction définie sur par : ) On a : ; la fonction nest pas dérivable à droite de 0. Soient - et un point de la courbe la droite à pour coefficient directeur donc elle a pour vecteur directeur le vecteur est aussi vecteur directeur de la droite si on fait tendre vers 0 (à droite) La droite "tend" pour une position limite vers une droite de vecteur directeur - donc sera parallle lae .
1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM Page 8 sur 9 Propriété : Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme Si est continue à droite de et alors la courbe admet une demi-tangente verticale à droite de . Exercice : Soit la fonction définie sur par : 1. Tracer la courbe de la fonction sur --. 2. Etudier la limite 3. Que remarquer vous ?. Interprétation géométriques IV) LES ELEMENTS DE SYMETRIE DUNE COURBE. 1) Axe de symétrie : Activité : Soit la fonction - 1. Déterminer ensemble de définition de la fonction . 2. Montrer que - 3. Montrer que - Propriété : Soit une fonction numriue dont lensemble de dfinition est . La droite est un axe de symétrie de la courbe si et seulement si : - - Preuve : Soit un élément de et -, si - est le symétrique de par rapport à alors ( est le centre de linteralle de bornes et ) do : - et puisque alors ce que signifie : -
1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM Page 9 sur 9 2) Centre de symétrie. Propriété : Soit une fonction numriue dont lensemble de dfinition est . Le point est un centre de symétrie de la courbe si et seulement si : - -- Preuve : étant centre de symétrie de la courbe , si est un point de alors sont symétrique par rapport à est un point de . soit on a : et car est le centre de linteralles de bornes et est le centre de linteralles de bornes Par suite : - et - et finalement : -- Exercice : Soit la fonction définie sur par : Montrer ue le point dinfleion de est son centre de symétrie. (cest alable uniuement pour ces fonctions)
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