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ETUDE DE FONCTIONS Partie 3 : Limites et asymptotes Le but de ce Une fonction f tend vers l'infini quand x tend vers un réel a si, pour tout réel M, f(x) > M

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Étude de fonctions, 6 Asymptotes horizontales, 12 asymptotes obliques, 12 Asymptotes verticales et trous, 9 division euclidienne polynomiale, 13 Domaine de 

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3° Sens de variation d'une fonction 4° Tangente II LIMITES D'UNE FONCTION 1° Asymptotes 2° Règles de calcul 3° Formes indéterminées I FONCTION 

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II) BRANCHES INFINIES 1) Asymptote verticale (rappelle) Définition : Si la fonction vérifie l'une des limites 

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6 sept 2011 · 7 Étude d'une fonction 14 7 1 Pland'étude Remarque : On dit que la droite y = a est une asymptote verticale à la courbe de f Exemple 

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Remarque : Une fonction n'a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsque x tend vers +∞ : f définie sur R par f(x) = cos(x) n'a de limite ni en −∞ ni en + 

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ÉTUDE D'UNE FONCTION 1 3 / 3 IUT GEII - Evry - Ma12 b asymptote horizontale y b = x lim f(x) →∞ ∞ 0 branche parabolique horizontale ∞ branche 

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Lire graphiquement une limite quand une asymptote est tracée • Etude de fonctions - Déterminer le domaine de définition d'une fonction - Etudier la parité  

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La fonction f n'admet alors pas d'asymptote horizontale en +∞ et l'on doit poursuivre l'étude pour étudier de plus pr`es le comportement de f(x) autour de + ∞

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ÉTUDE D'UNE FONCTION 1 1 / 3 IUT GEII - Evry - Ma12

ENSEMBLE DE DÉFINITION 1

DOMAINE D'ÉTUDE 2

On présente les premières étapes de l'étude d'une fonction numérique d'une variable réelle.

Définition :

On dit aussi "domaine de définition".

Exemples :

La fonction f est définie pour tout x : fD ,

De même, l'ensemble de définition de toute fonction polynôme est . La fonction g n'est pas définie pour x 0 : gD+ 0, Pour qu'une racine carrée existe il faut que le radicande soit positif. La fonction h n'est pas définie pour x 0 : hD* ,0 0, 0 De même, toute fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes) a pour ensemble de définition privé des valeurs de x qui annulent le dénominateur.

Il n'est pas toujours nécessaire d'étudier la fonction sur la totalité de son ensemble de définition.

Parité :

y x 1 1 f(x)2x h(x)1 x y x 1 1 g(x)x y x 1 1

ÉTUDE D'UNE FONCTION 1

L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe. On le note souvent fD. Une fonction numérique f, d'ensemble de définition fD, est paire si et seulement si pour tout fx D, fx D et f( x) f(x) Une fonction numérique f, d'ensemble de définition fD, est impaire si et seulement si pour tout fx D, fx D et f( x) ÉTUDE D'UNE FONCTION 1 2 / 3 IUT GEII - Evry - Ma12

LIMITES AUX BORNES ET BRANCHES INFINIES 3

La courbe représentative d'une fonction paire (par exemple x2x) est symétrique par rapport à

l'axe vertical.

La courbe représentative d'une fonction impaire (par exemple x 1/x) est symétrique par rapport à

l'origine. Dans les deux cas, on peut réduire le domaine d'étude à la partie positive de fD.

Périodicité :

Par exemple, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2 Une fonction périodique s'étudie sur un intervalle dont la longueur est égale à la période. La courbe représentative complète de f s'obtient alors par translations répétées du motif obtenu sur l'intervalle d'étude.

La détermination des limites aux bornes de l'ensemble de définition permet de déterminer si la

courbe représentant f comporte ou non des branches infinies. Dans cette partie, la notation désigne soit soit .

Asymptote verticale :

C'est le cas de f(x)1/x en Ox0. Les limites en Ox et en Ox peuvent être différentes.

Asymptote horizontale :

C'est le cas de x 1/x en et avec b0

Limite infinie à l'infini :

Quand xlimf(x) , la courbe présente une branche parabolique ou une asymptote oblique. Pour le déterminer, il faut commencer par déterminer x f(x)limx : Une fonction f est dite périodique, de période T, si T est le plus petit réel strictement positif tel que pour tout fx D, fx T D et f(x T) f(x) y x 2T T 3T 0 Si

Ox xlim f(x)

, alors la courbe représentant f admet comme asymptote verticale la droite d'équation Ox x

Si xlimf(x) b, alors la courbe représentant f

admet comme asymptote horizontale la droite d'équation y b y x y y x x xO xO xO y x y y x x b b b ÉTUDE D'UNE FONCTION 1 3 / 3 IUT GEII - Evry - Ma12 b asymptote horizontale y b xlim f(x)

0 branche parabolique horizontale

branche parabolique verticale x f(x)limx a 0 b asymptote oblique y ax b xlim f(x) ax branche parabolique de direction a

Cas 1 :

On peut dire que f tend vers l'infini beaucoup plus vite que x x

C'est le cas de f(x)2x

Cas 2 :

On peut dire que f tend vers l'infini beaucoup moins vite que x x

C'est le cas de f(x)x

Cas 3 : Si xlimf(x) et

x f(x)lim ax où a est un réel non nul, alors on ne peut pas conclure tout de suite, il faut d'abord déterminer xlim f(x) ax :

C'est le cas de f(x) x x avec a1

C'est le cas de f(x) x 1/x avec a1 et b0

Récapitulatif de la détermination de la nature d'une branche infinie en ou en :

Si xlimf(x) et

x f(x)limx alors la courbe représentant f admet une branche parabolique verticale

Si xlimf(x) et

x f(x)lim 0x alors la courbe représentant f admet une branche parabolique horizontale

Si xlimf(x) ,

x f(x)lim ax et xlimf(x) ax alors la courbe représentant f admet une branche parabolique de direction a

Si xlimf(x) ,

x f(x)lim ax et xlimf(x) ax b alors la courbe représentant f admet comme asymptote oblique la droite d'équation y ax b y x y x y x y x bquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12