6 sept 2011 · 7 Étude d'une fonction 14 7 1 Pland'étude Remarque : On dit que la droite y = a est une asymptote verticale à la courbe de f Exemple
ETUDE DE FONCTIONS Partie 3 : Limites et asymptotes Le but de ce Une fonction f tend vers l'infini quand x tend vers un réel a si, pour tout réel M, f(x) > M
Étude de fonctions, 6 Asymptotes horizontales, 12 asymptotes obliques, 12 Asymptotes verticales et trous, 9 division euclidienne polynomiale, 13 Domaine de
3° Sens de variation d'une fonction 4° Tangente II LIMITES D'UNE FONCTION 1° Asymptotes 2° Règles de calcul 3° Formes indéterminées I FONCTION
II) BRANCHES INFINIES 1) Asymptote verticale (rappelle) Définition : Si la fonction vérifie l'une des limites
6 sept 2011 · 7 Étude d'une fonction 14 7 1 Pland'étude Remarque : On dit que la droite y = a est une asymptote verticale à la courbe de f Exemple
Remarque : Une fonction n'a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsque x tend vers +∞ : f définie sur R par f(x) = cos(x) n'a de limite ni en −∞ ni en +
ÉTUDE D'UNE FONCTION 1 3 / 3 IUT GEII - Evry - Ma12 b asymptote horizontale y b = x lim f(x) →∞ ∞ 0 branche parabolique horizontale ∞ branche
Lire graphiquement une limite quand une asymptote est tracée • Etude de fonctions - Déterminer le domaine de définition d'une fonction - Etudier la parité
La fonction f n'admet alors pas d'asymptote horizontale en +∞ et l'on doit poursuivre l'étude pour étudier de plus pr`es le comportement de f(x) autour de + ∞
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Comportement asymptotiqueTable des matières
1 Limite infinie en l"infini 2
1.1 Limite positive infinie en + l"infini 2
1.2 Limite négative infinie en + l"infini 2
1.3 Limite positive infinie en - l"infini 3
1.4 Limite négative infinie en - l"infini 3
2 Limite infinie en a 4
2.1 Limite positive infinie en a 4
2.2 Limite négative infinie en a 4
2.3 Limite à droite et à gauche en a 5
3 Limite finie 5
3.1 Limite finie en l"infini 5
3.2 Limite finie en a 6
4 Limites des fonctions élémentaires 7
4.1 Limite en l"infini 7
4.2 Limite en zéro 7
5 Opération sur les limites et formes indéterminées 8
5.1 Somme de fonctions 8
5.2 Produit de fonctions 8
5.3 Quotient de fonctions 9
6 Limite en l"infini des fonctions polynômes et rationnelles 10
6.1 Fonction polynôme 10
6.2 Fonction rationnelle 11
6.3 Asymptote oblique 11
7 Étude d"une fonction 14
7.1 Plan d"étude 14
7.2 Une fonction très classique 15
7.3 Une fonction bornée 18
7.4 Fonction et point d"inflexion 19 PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 21 LIMITE INFINIE EN L"INFINILe but de ce chapitre est de déterminer le comportement d"une fonction aux bornes de son ensemble de définition.
1Limiteinfinieenl"infini 1.1Limitepositiveinfinieen+l"infini La fonctionfn"est pas majorée en+¥. Aussi grand que soitM, il existe un réel Aau delà duquelf(x)est plus grand queM
On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous :
8M>0,9Atel quex>A)f(x)>M On écrira dans ce cas :lim x!+¥f(x) = +¥Exemple :Soit la fonction carrée soit :f(x) =x2
On veut quex2>Msoitx>pM(pour x>0), on a donc : 8M>0 ,9A=pMtel quex>A)f(x)>M On a ainsi : lim x!+¥x2= +¥
1.2Limitenégativeinfinieen+l"infini La fonctionfn"est pas minorée en+¥. Aussi grand négatif que soitm, il existe un réelAau delà duquelf(x)est plus petit quem
On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous :
8m<0,9Atel quex>A)f(x) On écrira dans ce cas :lim x!+¥f(x) =¥Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surR+par :f(x) =3px On veut que 3px(m+3)2, on a donc : 8m<0 ,9A= (m+3)2tel quex>A)f(x) On a ainsi : lim x!+¥3px=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 1.3 LIMITE POSITIVE INFINIE EN-L"INFINI31.3Limitepositiveinfinieen-l"infini La fonctionfn"est pas majorée en¥.Aussi grand que soitM, il existe un réel Bau deçà duquelf(x)est plus grand queM On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8M>0,9Btel quexM On écrira dans ce cas :lim x!¥f(x) = +¥Exemple :Soit la fonction carrée soit :f(x) =x2 On veut quex2>M, x>pM(pour x<0),x 8M>0 ,9B=pMtel quexM On a ainsi : lim x!¥x2= +¥ 1.4Limitenégativeinfinieen-l"infini La fonctionfn"est pas minorée en¥. Aussi grand négatif que soitm, il existe un réelBau deçà duquelf(x)est plus petit quem On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8m<0,9Btel quex On écrira dans ce cas :lim x!¥f(x) =¥Exemple :Soit la fonction cube soit :f(x) =x3 On veut quex3 8m<0 ,9B=3pmtel quex On a ainsi : lim x!¥x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 42 LIMITE INFINIE EN A2Limiteinfinieena 2.1Limitepositiveinfinieena La fonctionfn"est pas majorée autour dea.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
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