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Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2010/2011T. D. n o5

Intervalles de confiance

Corrigé

Exercice 1.Les billes métalliques

1. On calcule la moyennebde l"échantillon :

b= 20: Calculons la variance corrigée puis l"écart-type corrigé de l"échantillon à partir de la moyenne de l"échantillon : s

2c=109

19;62+ 202++ 19;8210

202
= 0;04; puis s c=p0;04 = 0;2: Dans la table de la loi de Student, pour9ddl, on trouve

P[jTj>2;26] = 0;05ouP[jTj<2;26] = 0;95:

L"intervalle de confiance pour le poids moyen est donc :

202;260;2p10

;20 + 2;260;2p10 '[19;86;20;14]:

2. Si l"écart-type de la population est connu, on utilise la loi normale :

P[jUj>1;96] = 0;05ouP[jUj<1;96] = 0;95:

L"intervalle de confiance pour le poids moyen est donc :

201;960;2p10

;20 + 1;960;2p10 '[19;88;20;12]:

Exercice 2.La moyenne des notes

1. L"intervalle de confiance de la moyenne des200copies est :

111;962p7

;11 + 1;962p7 '[9;52;12;48]: 1

Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2010/20112. Si l"amplitude de l"intervalle de confiance est égale à2, on doit avoir :

1;962pn

= 1; ce qui donne n'15;4: En corrigeant16copies, l"enseignant peut situer la moyenne de ses étudiants.

3. Il faut que l"intervalle de confiance à99%soit égal à[10;12]. On doit donc

avoir :

2;5752pn

= 1; ce qui donne n'26;5: Si l"enseignant corrige27copies et qu"il trouve une moyenne égale à11, il peut dire que la moyenne de ses étudiants est supérieure à10, avec un risque d"erreur de1%.

Exercice 3.Les composants électroniques

1. La moyennede la population est estimée par la moyenne de l"échantillon

b=6000050 = 1200:

2. L"écart-typede la population est estimé à partir de l"écart-typescde

l"échantillon : s

2=7410650

12002= 40000:

s

2c=s25049

= 40816:

D"où

s c'202:

3. La variance de la population étant estimée, on utilise la loi de Student.

On trouve dans la table pour49ddl :

P[jTj>2;01] = 0;05ouP[jTj<2;01] = 0;95:

L"intervalle de confiance à95%de la moyenne est :

12002;01202p50

;1200 + 2;01202p50 '[1143;1257]:

On trouve dans la table pour49ddl :

P[jTj>2;68] = 0;01ouP[jTj<2;68] = 0;99:

L"intervalle de confiance à99%de la moyenne est :

12002;68202p50

;1200 + 2;68202p50 '[1123;1277]: 2

Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2010/20114. Puisque l"on souhaite avoir une amplitude de60heures, la taille de l"échantil-

lon est nécessairement supérieure à50et nous sommes dans les conditions d"utilisation de la loi normale.

On doit avoir :

1;96202pn

= 30 ce qui donne n'175:

Exercice 4.Un sondages politique

1. Avec1000personnes, on peut déterminer un intervalle de confiance.

L"intervalle de confiance à95%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Dupont est :"

0;51;96r0;50;51000

;0;5 + 1;96r0;50;51000 '[0;469;0;531]: L"intervalle de confiance à95%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Durand est :"

0;251;96r0;250;751000

;0;25 + 1;96r0;250;751000 '[0;223;0;277]: L"intervalle de confiance à95%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Duroc est :"

0;051;96r0;050;951000

;0;05 + 1;96r0;050;951000 '[0;036;0;064]: L"intervalle de confiance à99%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Dupont est :"

0;52;575r0;50;51000

;0;5 + 2;575r0;50;51000 '[0;459;0;541]: L"intervalle de confiance à99%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Durand est :"

0;252;575r0;250;751000

;0;25 + 2;575r0;250;751000 '[0;215;0;285]:3

Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2010/2011L"intervalle de confiance à99%de la proportion de personnes ayant l"intention

de voter pour Monsieur Duroc est :"

0;052;575r0;050;951000

;0;05 + 2;575r0;050;951000 '[0;032;0;068]:

2. Pour un échantillon de taillen(on supposen >1000), l"intervalle de confiance

à95%du pourcentage de personness ayant l"intention de voter Duval est"

0;171;96r0;170;83n

;0;17 + 1;96r0;170;83n Puisque l"on veut une précision de1%, cet intervalle de confiance doit être l"intervalle[0;16;0;18].

Et on doit avoir

1;96r0;170;83n

= 0;01 ce qui donne n'5420: 4quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16